乘除法中的巧算.docx
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乘除法中的巧算
乘除法中的巧算
乘除法中的巧算;
如何灵活运用乘,除法的运算定律和运算性质进行巧算的方法与策略。
乘法交换律gxb=bXa
乘法结合律;(aXb)Xc=aX(bXc)
乘法分配律;(a?
b)Xc=aXc?
bXc
乘法性质;
1(两个数的差与一个数相乘,可以用被减数和减数分别与这个数相乘,再把所得的积相减。
(a-b)Xc=aXc-bXc
2(—个数与两个数商相乘,可以用这个数先与商里的被除数相乘,再除
以商里的的除数;或用这个数先除以商里的除数,再与商里的被除数相乘。
aX(b?
c)=aXb?
c=a?
cXb
特殊数字的乘积;
5X2二1025X4=100125X8=100037X3=111625X16=1000075
X4=300375X8=3000
1
例;125X(98X8)
利用乘法结合律,先交换8与98的位置,使125和8结合得出1000c
125X(98X8)
=(125X8)X98
=1000X98
=98000
例;48X625X37
利用数的分解,把48转化成36的形式,再把16与625,3与37结合。
48X625X37
=3X16X625X37
=(16X625)X(3X37)
=10000X111
=1110000
例;43X76+76X57
运用乘法分配律,先提出两个乘法算式中的公因数76,再使43和57结合,然后与76相乘。
43X76+76X57
=(43+57)X76
=100X76
=7600
2
例;493X72+27X495+495
先把加数495改写成495X1,这样三个乘法算式中都有公因数495,提取公,因数再把其它儿个因数相结合。
495X72+27X495+495
二495X72+27X495+495X1=495X(72+27+1)
二495X100
二49500
例;791X9+81
先把81分解成9X9的形式,这样就使两个乘法算式中都有公因数9。
然后按,乘法分配律进行计算。
791X9+81
=791X9+9X9
=(791+9)X9
二800X9
=7200
例;72X(846?
9)
利用乘法运算性质进行计算gX(b?
c)=aXb?
c=a?
cXb先使
72?
9的商与846相乘。
72X(846?
9)
=72?
9X846
=8X846=6768
3
例;64X125
运用积的变化规律;一个因数扩大儿倍,另一个因数缩小相同的倍数。
它们的积不变。
根据积的变化规律64X8,125X8它们的积不变。
64X125
二(64?
8)X(125X8)
二8X1000
二8000
例1;3456X998
因998接近1000,可以根据乘法分配律进行巧算。
解;3456X998
二3456X(1000-2)
=3456X1000-3456X2
=3456000-6912
=3449088
例2;96X125X25
因为1258,254以及52可以一凑整II,可以先将96分解成
8X4X3,再根据乘法交换律和结合律进行巧算。
解;96X125X25
=8X4X3X125X25
=(8X125)X(4X25)X3
4
=1000X100X3
=3000000
例3;22222X99999+99999X33333
加号两边都有相同的乘数99999,因此,可利用乘法分配律,将99999提取出来进行讣算要简便些。
22222X99999+99999X33333
二99999X(22222+33333)
=99999X55555
=(100000-1)X55555
=100000X55555-IX55555
=5555500000-55555
=55555444445
例4;111111X111111
先观察以下儿个算式;
IXl=1
IIXll=121
111X111=12321
1111Xllll=1234321可以发现这一个规律;11。
ool(n个1)X
11。
。
…l(n个1)=
二123。
。
。
n..321(n?
9时),根据这个规律,计算起来轻而易举了。
解;111111X111111=12345654321
5
例5;1999X1998-1998X1997—1997X1996+1996X1995
这样想;(a+b)Xc=aXc+bXc这道题可以灵活应用
乘法分配律进行巧算。
X1996+1996X19951999X1998-1998X1997—1997
=1998X(1999-1997)-1996X(1997-1995)
=1998X2-1996X2
=(1998-1996)X2
=2X2
二4
例6;1234X100010001
可以先把100010001分解为100000000+10000+1,然后再利用乘法
分配律进行巧算。
1234X100010001
=1234X(100000000+10000+1)
=1234X100000000+1234X10000+1234X1
=123400000000+12340000+1234
123412341234
6
除法中的速算
(1),数的积除以另一个数,可以先用积里的任何一个因数除以这个数,所得的商与其它因数相乘。
(aXbXc)?
m=a?
mXbXc
=aX(b?
m)Xc
=aXbX(c?
m)
(2),一个数除以两个数的积,可以用这个数依次除以积里的各个因数。
a?
(bXc)=a?
b?
c
(3),一个数除以两个数的商,要以用这个数除以商里的被除数,再乘以
商里的除数或者用这个数乘以商里的除数,再除以里的被除数。
a?
(b?
c)=a?
bXc
(4),两个或儿个数的和除以一个数,可以把和里的各个数除以这个数,再把它们的商相加。
(a+b+c)?
m=a?
m+b?
m+c?
m
(5)两个数的差除以一个数,可以用被减数,减数分别除以这个数,再把所有的商进行相减。
(a,b)?
c=a?
c,b?
c
(6),商不变的性质,如果被除数各除数同时扩大或是缩小相同的倍数,它们的商不变。
a?
b=c
7
=(aXm)?
(bXm)=c
=(a?
m)?
(b?
m)=c(m?
0)
(7),乘除混合运算的交换性质;在乘除混合运算中,带着数字前面的运算符号交换乘数,除数的位置,结果不变。
aXb?
c=a?
cXb
=b?
cXa
除法的运算性质g?
b?
c=a?
(bXc)
例;(81+72)?
9
根据除法运算性质,用和中的81与72分别除以9,再把两个商相加。
(81+72)?
9
=81?
9+72?
9
二9+8
=17
例;37500?
4?
25
此题是根据对一个数除以两个数的积这个除法运算性质的反应用,可以用25乘以4再进行计算。
37500?
4?
25
=37500?
(4X25)
=37500?
100
=375
8
例4;2400?
25
这题既可以根据商不变的性质,被除数和除数同时乘4,然后把所得的积进行相除,还可以先把2400分解成24与100,先用100除以25。
所得的商再和24相乘。
解1;2400?
25解2;2400?
25
=(2400X4)?
(25X4)=24X100X25
二9600?
100=24X(100?
25)
二96=24X4=96
例;1344?
24+2088?
4+144?
24
运用儿个数的和除以另一个数的逆用,把儿个被除数相加的和再除以相同的除数24。
1344?
24+2088?
24+144?
24
二(1344+2088+144)?
24
=3576?
24
=149
例;623X27?
54
根据乘除混合运算交换结合的性质,先交换54与27的位置。
使54与27结合,除号后面添上括号,要改变原来的符号。
623X27?
54
二632?
54X27
=632?
(54?
27)
9
二632?
2
=316
总结;在乘法,除法各乘除混合运算中,根据运算的定律和运算的性质,可以归纳为;
括号前面是乘号,去掉括号不变号。
乘号后面添括号,括号里面不变号。
括号前面是除号,去掉括号要变号。
除号后面添括号,括号里面要变号。
注;号指数字前面的运算符号。
10
等差数列求和;
数列是指按一定规律顺序排成的一列数,如果一个数列中从笫二个数开始,每一个数减去前一个数所得的差都是相等的话,我们就把这样的一列数叫做等差数列。
等差数列中每一个数都叫做项数,第一个数叫第一项,通常也叫:
一首项II笫二个数叫第二项,第三个数叫第三项——最后一项叫做一末项II
等差数列中相邻两项的差叫做一公差II。
等差数列中项的个数叫做一项数II。
例;1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
从上面可以看出每两个数为一组的和都是11,共有5组,山此可以得出。
1是首项,10是末项,项数有10个。
总和二(首项+末项)X项数?
2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)X10?
2
=11X10?
2
=110?
2
=55
11
例2;10+11+12+13+14+99最小的两位数是10,最大的两位数是99。
相
邻两个数之间的差都是1,
所有两位数之和是指首项10,末项是99,公差是1的一个等差数列之和。
项数二(末项一-首项)?
公差+1
项数=(99—10)?
1+1=90
总和二10+11+12+13+14+99
二(10+99)X90?
2
二109X90?
2
=4905
12
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