最优捕鱼策略.docx
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最优捕鱼策略.docx
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最优捕鱼策略
1996年A题最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼(鯷鱼)的最优捕捞策略:
假设这种鱼分4个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(克),各年龄组鱼自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105(个),3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵。
产卵和孵化期为每年的最后3个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为1.221011/(1.221011n)。
渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数。
通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.421,渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量)。
2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。
已知承包时各年龄组的鱼群的数量分别为:
122,29.7,10.1,3.29(109条),如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.
基本假设:
1、 鱼群生活在稳定的环境中,不考虑鱼群的迁入和迁出,也不考虑鱼群的空间分布;
2、 1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼、4龄鱼均可以在一年即一个周期的任意时间内死亡;
3、成活的i龄鱼(i=1,2,3)每经过一年即一个周期变为(i+1)龄鱼,而4龄鱼不变;
4、假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的,即第T年底第i年龄组的鱼的条数等于第T+1年初第i+1年龄组的鱼的条数;
5、各年龄组鱼的平均重量和自然死亡率稳定,不考虑由于饲养技术、环境等因素引起变化;
6、只考虑采用固定努力量捕捞方式下的捕捞策略。
主要符号说明:
符号
意义
说明
单位
r
对4龄鱼的捕捞强度
变量
1/年
t
时间
变量
年
t时刻i龄鱼的数量(i=1,2,3,4)
变量
条
n3
3龄鱼在第四季度的平均产卵量
未知量
个
n4
4龄鱼在第四季度的平均产卵量
未知量
个
平衡捕捞时各j龄鱼年初的数量(j=1,2,3,4)
未知量
条
模型建立:
一、各龄鱼的变化规律
解之得:
一年内的捕捞量f(r)为(单位:
g):
对于平衡捕捞,有:
四龄鱼经过一年后还是四龄鱼
由
可得:
由
将
对承包五年的情况,分两种情形处理。
第一种:
假定五年中捕捞强度r 一直保持不变,且第6年初的各龄鱼数与平衡捕捞时的年初值
的偏离不超过
的ε倍(如ε=0.05即5%):
第二种:
假定五年中各年的捕捞强度不同,设ri为第i年的捕捞强度,且第6年初的各龄鱼数与平衡捕捞时的年初值
的偏离不超过
的ε倍(如ε=0.05即5%):
模型求解:
(1)最高的年收获量
r=17.0243最大年捕捞量3.8767e+009
可持续捕捞鱼群的大小(
条):
N11.1951N20.5370N30.2413N40.0009
(2)五年r不变时的结果
r=17.1446捕捞量1.6011e+009
N10.9989N20.9987N30.9997N40.9500
(3)五年r变动时的结果
r=13.001813.940621.654021.597117.2248捕捞量1.6290e+009
N10.9989N20.9500N30.9500N40.9500
附:
MATLAB程序
%最优捕鱼策略,2005年八月调试通过.
functionfishf()
globalx0
x=zeros(6,4);
r1=0;r2=100;
[r,v1]=fminbnd(@fish1,r1,r2);%解第1问.
ee=exp(-0.8);
x10=f1(r);
x0
(1)=x10;
x0
(2)=x10*ee;
x0(3)=x10*ee*ee;
x0(4)=x10/(1-exp(-0.8-2*r/3))*exp(-2.4-0.84*r/3);
r
w1=-v1
x0
pause;
[r2,v2]=fmincon(@fish2,10,[],[],[],[],0,100,@fish2con);%解第2问,五年的r不变时.
r2
w2=-v2
x=f2(r2);
x_x0=x(6,:
)./x0
pause;
r0=[1010101010];
vlb=[00000];
vub=[150150150150150];
[r3,v3]=fmincon(@fish3,r0,[],[],[],[],vlb,vub,@fish3con);%解第2问,五年的r不同时.
r3
w3=-v3
x=f3(r3);
x_x0=x(6,:
)./x0
functionf=fish1(r)
c1=0.8/(3*1.109e5*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8)));
c2=0.5*exp(-1.6-0.84*r/3)+(exp(-2.4-2.84*r/3))/(1-exp(-0.8-2*r/3));
c3=17.86*0.42/(0.42*r+0.8)*exp(-1.6)*(1-exp(-2*(0.8+0.42*r)/3));
c4=22.99/(r+0.8)*(exp(-2.4-0.84*r/3))/(1-exp(-0.8-2*r/3))*(1-exp(-1.6-2*r/3));
f=-1.22e9*r*(1-c1/c2)*(c3+c4);
return
functionf=f1(r)
c1=0.8/(3*1.109e5*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8)));
c2=0.5*exp(-1.6-0.84*r/3)+(exp(-2.4-2.84*r/3))/(1-exp(-0.8-2*r/3));
f=1.22e11*(1-c1/c2);
return
functionx=f2(r)
globalx0
ee=exp(-0.8);
x(1,:
)=[12229.710.13.29]*1e9;
fori=1:
5,
n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8));
n3=n*x(i,3)*exp(-0.84*r/3);
n4=n*x(i,4)*exp(-2*r/3);
x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4);
x(i+1,2)=x(i,1)*ee;
x(i+1,3)=x(i,2)*ee;
x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r/3);
end
return
function[g,eg]=fish2con(r)
globalx0
ee=exp(-0.8);
x(1,:
)=[12229.710.13.29]*1e9;
fori=1:
5,
n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8));
n3=n*x(i,3)*exp(-0.84*r/3);
n4=n*x(i,4)*exp(-2*r/3);
x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4);
x(i+1,2)=x(i,1)*ee;
x(i+1,3)=x(i,2)*ee;
x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r/3);
end
a=0.05;
g=[(1-a)*x0-x(6,:
)-(1+a)*x0+x(6,:
)];
eg=[];
return
function[g,eg]=fish3con(r)
globalx0
ee=exp(-0.8);
x(1,:
)=[12229.710.13.29].*1e9;
fori=1:
5,
n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8));
n3=n*x(i,3)*exp(-0.84*r(i)/3);
n4=n*x(i,4)*exp(-2*r(i)/3);
x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4);
x(i+1,2)=x(i,1)*ee;
x(i+1,3)=x(i,2)*ee;
x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r(i)/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r(i)/3);
end
a=0.05;
g=[(1-a)*x0-x(6,:
)-(1+a)*x0+x(6,:
)];
eg=[];
return
functionx=f3(r)
globalx0
ee=exp(-0.8);
x(1,:
)=[12229.710.13.29].*1e9;
fori=1:
5,
n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8));
n3=n*x(i,3)*exp(-0.84*r(i)/3);
n4=n*x(i,4)*exp(-2*r(i)/3);
x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4);
x(i+1,2)=x(i,1)*ee;
x(i+1,3)=x(i,2)*ee;
x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r(i)/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r(i)/3);
end
return
functionf=fish2(r)
globalx0
ee=exp(-0.8);
x(1,:
)=[12229.710.13.29]*1e9;
f=0;
fori=1:
5,
fx3=0.01786*0.42/(0.42*r+0.8)*x(i,3)*(1-exp((-1.6-0.84*r)/3))*r;
fx4=0.02299/(r+0.8)*x(i,4)*(1-exp((-1.6-2*r)/3))*r;
f=f-fx3-fx4;
n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8));
n3=n*x(i,3)*exp(-0.84*r/3);
n4=n*x(i,4)*exp(-2*r/3);
x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4);
x(i+1,2)=x(i,1)*ee;
x(i+1,3)=x(i,2)*ee;
x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r/3);
end
return
functionf=fish3(r)
globalx0
ee=exp(-0.8);
x(1,:
)=[12229.710.13.29].*1e9;
f=0;
fori=1:
5,
fx3=0.01786*0.42/(0.42*r(i)+0.8)*x(i,3)*(1-exp((-1.6-0.84*r(i))/3))*r(i);
fx4=0.02299/(r(i)+0.8)*x(i,4)*(1-exp((-1.6-2*r(i))/3))*r(i);
f=f-fx3-fx4;
n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8));
n3=n*x(i,3)*exp(-0.84*r(i)/3);
n4=n*x(i,4)*exp(-2*r(i)/3);
x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4);
x(i+1,2)=x(i,1)*ee;
x(i+1,3)=x(i,2)*ee;
x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r(i)/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r(i)/3);
end
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