湖南省长沙市长郡教育集团澄池杯竞赛 初赛初三数学试题卷word版包含答案.docx
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湖南省长沙市长郡教育集团澄池杯竞赛初赛初三数学试题卷word版包含答案
湖南省长沙市长郡教育集团2019年“澄池”杯竞赛 初赛初三数学试题卷(word版,包含答案)
2019 长郡集团“澄池”杯初赛数学试卷解析
试量:
90 分钟
总分:
100 分 姓名:
考号
一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)
1.
(2019•台州)2019 年台州市计划安排重点建设项目 344 个,总投资 595200000000 元.用科学记
数法可将 595200000000 表示为 ()
A.5.952 ⨯1011B. 59.52 ⨯1010C. 5.952 ⨯1012D. 5952 ⨯109
【解答】解:
数字 595200000000 科学记数法可表示为5.952 ⨯1011 元.
故选:
A .
2.(2019•宁波)小慧去花店购买鲜花,若买5 支玫瑰和 3 支百合,则她所带的钱还剩下10
元;若买 3 支玫瑰和 5 支百合,则她所带的钱还缺 4 元.若只买 8 支玫瑰,则她所带的钱还剩下(
)
A.31 元B.30 元 C.25 元D.19 元
【解答】解:
设每支玫瑰 x 元,每支百合 y 元, 依题意,得:
5x + 3y + 10 = 3x + 5 y - 4 ,
∴ y = x + 7 ,
∴5x + 3y + 10 - 8x = 5x + 3(x + 7) + 10 - 8x = 31.
故选:
A .
3.(2019•湖州)在数学拓展课上,小明发现:
若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分
该平行四边形的面积.如图是由5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形,P 是其中
4 个小正方形的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀,把它剪成了面
积相等的两部分,则剪痕的长度是()
A. 2 2
B. 5 C. 3 5
【解答】解:
如图,经过 P 、Q 的直线则把它剪成了面积相等的两部分, 由图形可知 ∆AMC ≅ ∆FPE ≅
∆BPD ,
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∴ AM = PB,
∴ PM = AB,
∵Q PM = 3
2
+ 12 = 10
∴ AB = 10 ,
故选:
D .
4.(2019•青岛)已知反比例函数 y = ab
x
在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
的图象如图所示,则二次函数 y = ax2 - 2x 和一次函数 y = bx + a
)
A.B.C.D.
【解答】解:
当 x = 0 时, y = ax2 - 2x = 0 ,即抛物线 y = ax2 - 2x 经过原点,故 A 错误;
反比例函数 y = ab
x
的图象在第一、三象限,
∴ ab > 0 ,即 a 、 b 同号,
当 a < 0 时,抛物线 y = ax2 - 2x 的对称轴 x = 1 < 0 ,对称轴在 y 轴左边,故 D 错误;
a
当 a > 0 时, b > 0 ,直线 y = bx + a 经过第一、二、三象限,故B 错误, C 正确. 故选:
C .
5.(2019•台州)如图是用 8 块 A 型瓷砖(白色四边形)和8 块 B 型瓷砖(黑色三角形)不重叠、无空隙
(
拼接而成的一个正方形图案,图案中A 型瓷砖的总面积不B 型瓷砖的总面积之比为 )
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A. 2 :
1B. 3 :
2C. 3 :
1D. 2 :
2
【解答】 解:
如图,作 DC ⊥ EF 于C , DK ⊥ FH 于 K ,连接 DF .
由题意:
四边形 DCFK 是正方形, ∠CDM = ∠MDF = ∠FDN = ∠NDK ,
∴∠ CDK = ∠DKF = 90︒ , DK = FK , DF =2DK
SFNDF
)
∴∆DFN ===2 (角平分线的性质定理,可以用面积法证明,
SNKDK
∆DNK
S2S
∴A型 =∆DFN =2
S2S
B型∆DNK
∴图案中 A 型瓷砖的总面积不 B 型瓷砖的总面积之比为 2 :
1 ,
故选:
A .
二、填空题(共 6 小题)
6.使x - 2 有意义的 x 的取值范围是_______
【解答】解:
根据题意,得x - 2≥0
解得, x≥2 ;
7.分解因式:
ax2 - ay2 = ______
【解答】解:
原式= a(x2 - y2 )
= a(x + y)(x - y) .
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8.
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⎧ x + 2 > 3
⎪
⎪⎩ 2 ≤ 4
【解答】1 < x ≤ 9
9.(2019•盐城)设 x1 、 x 2是方程 x2 - 3x + 2 = 0 的两个根,则 x1 + x2- x 1·x2=____.
【解答】解:
答案为 1;
10.(2019•盐城)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y = 2x - 1 的图象分别交 x 、 y 轴于
点 A 、 B ,将直线 AB 绕点 B 按顺时针方向旋转 45︒,交 x 轴于点 C ,则直线 BC 的函数表达式
是______
【解答】解:
y = 1 x - 1
3
11.(2019•滨州)观察下列一组数:
a =
1
1 3 6 10 15
a = , a = , a = , a = ,⋯
2 3 4 5
它们是按一定规律排列的,请利用其中规律,写出第n 个数a =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.(用含n 的式子表示)
【解答】解:
n(n + 1)
2 + 2n+1
12.(2019•舟山)如图,一副含30︒ 和 45︒ 角的三角板 ABC 和 EDF 拼合在个平面上,边AC 不
EF 重合, AC = 12cm .当点 E 从点 A 出发沿 AC 方向滑动时,点 F 同时从点 C 出发沿射线 BC
方向滑动.当点 E 从点 A 滑动到点 C 时,点 D 运动的路径长为 _____cm ;连接 BD,则 ∆ABD 的面积最大值为
_______cm2 .
【解答】 答案为:
(24 - 12 2),(243 + 36 2 - 12 6)
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三.解答题(共 64 分)
13.(每小题 3 分,共 6 分)
⎛ 1 ⎫-1
⎝ 2 ⎭
x - 2
x
⎝ x2 + 2 xx2 + 4 x + 4 ⎭x
11
( x + 2)29
14.(2019•滨州)某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高,并绘制了以下不完整的统计图.
请根据图中信息,解决下列问题:
(1)两个班共有女生多少人?
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)求扇形统计图中E 部分所对应的扇形圆心角度数;
(4)身高在170 ≤x < 175(cm) 的 5 人中,甲班有 3 人,乙班有 2 人,现从中随机抽取两人补充
到学校国旗队.请用列表法或画树状图法,求这两人来自同一班级的概率.
【解答】解:
(1)总人数为13 ÷ 26% = 50 人,
答:
两个班共有女生 50 人;
(2)C 部分对应的人数为 50 ⨯ 28% = 14 人, E 部分所对应的人数为 50 - 2- 6-13 - 14 - 5 = 10 ; 频数分布直方图补充
如下:
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(3)扇形统计图中 E 部分所对应的扇形圆心角度数为10 ⨯ 360︒ = 72︒
50
(4)画树状图:
共有 20 种等可能的结果数,其中这两人来自同一班级的情况占 8 种,
2
=.
205
15.(2019•滨州)如图,矩形ABCD 中,点E 在边 CD 上,将∆BCE 沿 BE折叠,点C落在 AD边上的点 F 处,过点 F 作
FG∥CD 交 BE 于点G ,连接CG .
(1)求证:
四边形CEFG 是菱形;
(2)若 AB = 6, AD = 10,求四边形 CEFG 的面积.
【解答】
(1)证明:
由题意可得,
∆BCE ≅ ∆BFE ,
∴∠ BEC = ∠BEF , FE = CE ,
∵FG ∥ CE ,
∴∠ FGE = ∠CEB ,
∴∠ FGE = ∠FEG ,
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∴ FG = FE ,
∴ FG = EC ,
∴四边形CEFG 是平行四边形,
又∵ CE = FE ,
∴四边形CEFG 是菱形;
(2) 矩形 ABCD 中, AB = 6 , AD = 10, BC = BF ,
∴∠ BAF = 90︒ , AD = BC = BF = 10 ,
∴ AF = 8 ,
∴ DF = 2 ,
设 EF = x ,则 CE = x , DE = 6 - x ,
∵FDE = 90︒ ,
∴22 + (6 - x)2 = x2 ,
解得, x =
10
3
∴CE =
10
3
∴四边形CEFG 的面积是:
CE ⋅ DF =
10 20
⨯ 2 =
3 3
16.(2019•宁波)某风景区内的公路如图 1 所示,景区内有免费的班车,从入口处出发,沿该公路开往草甸,途
.
中停靠塔林(上下车时间忽略不计) 第一班车上午 8点发车,以后每隔10 分钟有一班车从入口处发车.小聪周末
25
到该风景区游玩,上午7 :
40 到达入口处,因还没到班车发车时间,于是从景区入口处出发,沿该公路步行 分钟后
到达塔林.离入口处的路程y(米) 与时间 x (分) 的函数关系如图 2 所示.
(1)求第一班车离入口处的路程y (米 ) 与时间 x (分 ) 的函数表达式.
(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间.
(3)小聪在塔林游玩 40 分钟后,想坐班车到草甸,则小聪最早能够坐上第几班车?
如果他坐这班车到草甸,比他在塔林
游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?
(假设每一班车速度均相同,小聪步行速度不变)
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【解答】解:
(1)由题意得,可设函数表达式为:
y = kx + b(k ≠ 0) ,
⎨
⎩
∴第一班车离入口处的路程 y (米) 与时间 x (分) 的函数表达为 y = 150x - 3000(20≤ x ≤38) ;
(2)把 y = 1500 代入 y = 150x - 3000 ,解得 x = 30 ,
30 - 20 = 10 (分 ) ,
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间 10 分钟;
(3)设小聪坐上了第n 班车,则
30 - 25 + 10(n -1) ≥ 40 ,解得n ≥4.5 ,
∴小聪坐上了第 5 班车,
等车的时间为 5 分钟,坐班车所需时间为:
1200 ÷150 = 8 (分) ,
步行所需时间:
1200 ÷ (1500 ÷ 25) = 20 (分) ,
20 - (8 + 5) = 7 (分) ,
∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了 7 分钟.
17.(2019•南充)在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一,二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记
本.已知购买 2 支钢笔和 3 个笔记本共 38 元,购买 4 支钢笔和 5 个笔记本共 70 元.
(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?
(2)经与商家协商,购买钢笔超过30 支时,每增加 1 支,单价降低 0.1 元;超过 50 支,均按购买 50 支的单价售,
笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计 100 人,其中一等奖的人数不少于 30 人,且不超过
60 人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?
【解答】解:
(1)钢笔、笔记本的单价分别为x 、 y 元,
⎧2 x + 3 y = 38
⎩
根据题意得, ⎨4 x + 5 y = 70 ,
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⎧ x = 10
⎩
解得:
⎨ y = 6
答:
钢笔、笔记本的单价分别为 10 元,6 元;
(2)设钢笔的单价为a 元,购买数量为b 元,支付钢笔和笔记本的总金额 w 元,
①当30 ≤b ≤50 时,
a = 10 - 0.1(b- 30) = -0.1b + 13,
w = b(-0.1b +13) + 6(100 - b) = -0.1b 2 + 7b + 600 = -0.1(b - 35) 2 + 722.5 ,
∵当 b = 30 时, w=720 ,当 b=50 时, w=700,
∴当30≤b≤ 50 时, 700≤w≤722.5 ;
②当50 < b≤60 时, a = 8 , w = 8b + 6(100 - b) = 2b + 600 ,
700 < w≤720 ,
∴当30≤b≤60 时, w 的最小值为 700 元,
∴这次奖励一等奖学生 50 人时,购买奖品总金额最少,最少为 700 元.
18.(2019•天津) 在平面直角坐标系中, O 为原点,点 A(6, 0) ,点 B 在 y 轴的正半轴上,
∠ABO = 30︒ .矩形 CODE 的顶点 D, E, C 分别在 OA , AB, OB 上, OD = 2.
(Ⅰ)如图①,求点 E 的坐标;
(Ⅱ)将矩形 CODE 沿 x 轴向右平秱,得到矩形 C'O'D'E' ,点 C ,O , D , E 的对应点分别为
C' , O' , D' , E' .设 OO '= t ,矩形 C'O'D'E' 不 ∆ABO 重叠部分的面积为 S .
①如图②,当矩形C'O'D'E' 不 ∆ABO 重叠部分为五边形时, C'E' ,E'D' 分别不 AB 相交于点 M ,
F ,试用含有t 的式子表示 S ,并直接写出t 的取值范围;
②当 3剟S 5 3 时,求 t 的取值范围(直接写出结果即可)
【解答】解:
(Ⅰ) 点 A(6,0) ,
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∴OA = 6 ,
∴ AD = OA - OD = 6 - 2 = 4 ,
四边形 CODE 是矩形,
∴ DE ∥ OC ,
∴∠ AED = ∠ABO = 30︒ ,
在 Rt∆AED 中, AE = 2AD = 8 , ED =
∵ OD = 2 ,
∴点 E 的坐标为 (2, 4 3) ;
AE2 - AD2 = 82 - 42 = 4 3
(Ⅱ)①由平秱的性质得:
O'D' = 2 , E'D' =
∴∠ E'FM = ∠ABO = 30︒ ,
, ME' = OO' = t , D'E' / /O'C' / /OB ,
FE' =MF 2 - ME 2 = (2t )2 - t 2 = 3t
∴ 在 Rt∆MFE' 中, MF = 2ME ' = 2t ,
∴ S
AurF
1 1 3t 2
= ME' ⋅ FE = ⨯ t ⨯ 3t =
2 2 2
∴ S = -3
2
t 2 + 8 3
,其中t 的取值范围是:
0 < t < 2 ;
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②当 S = 时,如图③所示:
O'A = OA - OO ' = 6 - t ,
Q ∠AOF = 90︒ ,∠AFO' = ∠ABO = 30︒
∴O' F = 3O' A = 3(6 - t )
1
∴ S =(6 - t ) ⨯ 3(6 - t ) = 3
2
解得:
t = 6 - 2 或 t = 6 + 2 (舍去),
∴ t = 6 - 2 当 S = 5 3 时,如图④所示:
O'A = 6 - t , D'A = 6 - t - 2 = 4 - t ,
∴ O'G = 3(6 - t ),D' F = 3(4 - t )
1
∴ S =[ 3(6 - t ) + 3(4 - t )] ⨯ 2 = 5 3
2
5
2
5
2
19.(2019•金华)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC 的边长为4,边 OA, OC 分别在 x 轴,y 轴的正半轴上,
P 点
把正方形OABC 的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点.为抛物线 y = -(x - m)2+ m + 2 的顶点.
(1)当 m = 0 时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数.
(2)当 m = 3 时,求该抛物线上的好点坐标.
(3)若点 P 在正方形 OABC 内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8 个好点,求 m 的取值范围.
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【解答】解:
(1)如图 1 中,当 m = 0 时,二次函数的表达式 y = - x2 + 2 ,函数图象如图 1 所示.
∵当 x = 0 时, y = 2 ,当 x = 1 时, y = 1 ,
∴抛物线经过点(0, 2) 和(1,1) ,
观察图象可知:
好点有:
(0, 0) , (0,1) , (0, 2) , (1, 0) , (1,1) ,共 5 个.
(2)如图 2 中,当m = 3 时,二次函数解析式为 y = -(x - 3)2 + 5 .如图 2.
∵当 x = 1时, y = 1 ,当 x = 2 时, y = 4 ,当 x = 4 时, y = 4 ,
∴抛物线经过(1,1) , (2, 4) , (4, 4) ,
共线图象可知,抛物线上存在好点,坐标分别为(1,1) , (2, 4) , (4, 4) .
(3)如图 3 中, 抛物线的顶点 P(m, m+ 2) ,
∴抛物线的顶点 P 在直线 y = x + 2 上,
∵点 P 在正方形内部,则0 < m < 2 ,
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如图 3 中, E(2,1) , F (2, 2) ,观察图象可知,当点P 在正方形 OABC 内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8 个好
点时,抛物线与线段 EF 有交点(点 F 除外),
当抛物线经过点 E 时, -(2 - m)2 + m + 2 = 1,
5 + 13
22
当抛物线经过点 F 时, -(2 - m)2 + m + 2 = 2 ,
解得 m = 1或 4(舍弃),
5 - 13
∴ 当2
m < 1 时,顶点 P 在正方形 OABC 内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在 8个好点。
20.(2019•自贡)如图,已知直线AB 与抛物线 C :
y = ax2 + 2x + c 相交于点 A(-1,0) 和点 B(2, 3)
两点.
(1)求抛物线 C 函数表达式;
(2)若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点,以MA 、 MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ,当平行四边形
MANB 的面积最大时,求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标;
(3)在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到
直线 y = 17
4
的距离?
若存在,求出定点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.
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【解答】解:
(1)由题意把点(-1,0) 、 (2,3) 代入 y = ax2 + 2x + c ,
⎧a - 2 + c = 0
⎩
得, ⎨4a + 4 + c = 3 ,
解得 a = -1, b = 2 ,
∴ 此抛物线 C 函数表达式为:
y = -x2 + 2x + 3 ;
(2)如图 1,过点 M 作 MH ⊥ x 轴于 H ,交直线 AB 于 K ,
将点(-1, 0) 、(2, 3) 代入 y = kx + b 中,
⎧-k + b = 0
⎩
得, ⎨2k + b = 3
解得, k = 1, b = 1 ,
∴ y
AB
= x + 1 ,
设点 M (a, -a2 + 2a + 3) ,则 K (a, a + 1) , 则 MK = -a2 + 2a + 3 - (a + 1)
⎛1 ⎫29
⎝2 ⎭4
19
根据二次函数的性质可知,当 a =时, MK 有最大长度,
24
∴S
∆AMB 最大
= S
∆AMK
+ S
∆BMK
=
1 1
B H
1
BA
19
=⨯ ⨯ 3
24
=
27
8
∴以 MA 、 MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB ,当平行四边形 MANB 的面积最大时,
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(3)如图 2,设抛物线对称轴与直线 y = 17
4
作点 E 关于点Q 的对称点 F,
交于点 E,抛物线顶点为Q,
此时抛物线C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y = 17
4
Q y = - x2 + 2x + 3
= -( x - 1)2 + 4
17
∴Q(1, 4),E (1,)
4
∵点 F 不点 E 关于点Q 对称,
⎛ 15 ⎫
⎝4 ⎭
的距离,
15 / 15
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