二面角的平面角的四种求解策略.docx
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二面角的平面角的四种求解策略
面角的平面角的四种基本求法及训练
(1)定义法一一在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注:
0点在棱上,用定义法。
(2)垂线法(三垂线定理法)一一利用三垂线定理作出平面角,通过解直角三角形求角的大小。
注:
0点在一个半平面上,用三垂线定理法。
(3)垂面法一一通过做二面角的棱的垂面,两条交线所成的角即为平面角。
注:
点0在二面角内,用垂面法。
图5
(4)射影面积法一一若多边形的面积是S,它在一个平面上的射影图形面积是角e的大小为COS日=S'-S
S',
则二面
D
例1如图,四面体ABCD中,0是BD的中点,△
求二面角A-BC-D的余弦值.(三垂线定理法)
SC于DE,又SA
例2在60°二面角M-a—N内有一点P,P到平面M平面N的距离分别为1和2,求点P到直线a的
距离。
(垂面法)
例3如图在三棱锥S-ABC中,S从底面ABCAB丄BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、=ABBS=BC,求以BD为棱,BDE与BDC为面的二面角的度数。
(定义法)
例4如图△ABWABCD所在平面垂直,且AB=BC=BD,/ABC=/DBC=120°,求二面角A-BD-C的余弦
值。
(补棱法和射影面积法)
例5.在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,P从平面ABCDPA=AB=a,求平面PBA与平面PDC所成二面
角的大小。
(补棱法和射影面积法)
练习题
1.如图,二面角a-l-B的大小是60°,线段AB?
a.B€|,AB与I所成的角为30°.则
AB与平面B所成的角的正弦值是
2.山坡与水平面成30。
角,坡面上有一条与坡角水平线成30。
角的直线小路,某人沿小路上坡走了一段路程
后升高了100米,则此人行走的路程为
3•在一个二面角的一个面内有一个点,它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍,则二面角的度数为。
4.在60°的二面角的棱上有两点AB,ACBD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,已知:
AB=6,AC=3BD=4,贝UCD=
6.60的二面角a_|-P内有一点P,点P到面a的距离为2,点P到面p的距离为11,则点P到棱1
的距离为
n兀兀
7.二面角a—|—P的面a内有一条直线AB,它与1的夹角为一,与平面P的夹角为一,则二面角
46
10,则它到棱的距离是()
8.在30°的二面角的一个面内有一个点,若它到另一个面的距离是
13.女0图,在四面体ABCD中,AB丄平面ACD,BC=BD=5,AC=4,
CD=4匝.
(I)求该四面体的体积;
(n)求二面角A-BC-D大小的正弦值.
作二面角的平面角的四种基本方法
(1)定义法一一在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注:
0点在棱上,用定义法。
(2)垂线法(三垂线定理法)一一利用三垂线定理作出平面角,通过解直角三角形求角的大小。
注:
0点在一个半平面上,用三垂线定理法。
(3)垂面法一一通过做二面角的棱的垂面,注:
点0在二面角内,用垂面法。
两条交线所成的角即为平面角。
图5
(4)射影面积法一一若多边形的面积是
COSe=S'十s
S,它在一个平面上的射影图形面积是
S',则二面角0的大小为
例1如图PCI平面ABCAB=BC=CA=PC,求二面角B-PA—C的平面角的正切值。
(三垂线定理法)
•••PC丄平面ABC•••平面PAC1平面ABC交线为AC作BD丄AC于D点,据面面垂直性质定理,
BD
C
丄平面PAG作DEIPA于E,连BE据三垂线定理,则
BE丄PA从而/BED是二面角B—PA—G的平面角。
设POa,依题意知三角形ABG是边长为
a的正三角形,
•D是AC的中点,且BD=》
•••PC=CA=a,
/PCA=90,•••/PAC=45°
中,ED=AL*sm4亍
•••在Rt△DEA
BD
则在RtABED中•tg/BED==7:
ED
2./3
故二面角B-PA-C的平面角的正切值为
例2在60°二面角M—a—N内有一点P,P到平面M平面N的距离分别为
2,求点P到直线a的距离。
(图1—126)(垂面法)
N于AQ
分析设PA、PB分别为点P到平面MN的距离,过PAPB作平面a,分别交M
丁T坦}=>皿丄弘
BQ.丿同理,有PB丄a,•/PAnPB=F,••a丄面PAQB于Q
又AQ、B^^平面PAQB•AQ丄a,BQLa.•-/AQB是二面角M—a—N的平面角。
.,
/AQB=
60°连PQ贝UPQ是P到a的距离,在平面图形PAQB中,有/PAQ=/PBQ=90
•••P、A、QB四点共圆,且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R
在^PAB中,•••PA=1,PB=2/
BPA=180°-60°=120°,由余弦定理得aB'=1+4-2X1X2cos120°=7
AB
3ifiZBPA"2R=PQ
2妬
由正弦定理:
g+
例3如图在三棱锥S-ABC中,sal底面ABCAB丄BC,DE垂直平分
SC且分别交AC、SC于D、E,
又SA=AB,BS=BC,求以BD为棱,BDE与BDC为面的二面角的度数。
(定义法)
解:
•••BS=BC,又DE垂直平分SC•••BE丄SC,SC丄面BDE
•••BD丄SC,又SA丄面ABC••SA丄BD,BD丄面SAC
设SA=AB=a,贝UBC=SB=罷a且AC=品
例4如图△ABWABCD所在平面垂直,且AB=BC=BD,/ABC=/DBC=120°,求二面角A-BD-C的余弦
值。
(补棱法和射影面积法)
同时,BC丄平面BPA于B,故△PBA>^PCD在平面PBA上的射影,设平面PBA与平面PDC所成二面角大
小为0,则cos0=s占ba=2/20=45°
S^CD2
【法二】(补形化为定义法)如图,将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN
则PQIPAPd于是/APD是两面所成二面角的平面角。
在Rt△Pad中,PA=AD则/APD=45。
即平面bap与平面PDC所成二面角的大小为45°
练习题
1.如图,二面角a-l-B的大小是60°,线段AB?
a.B€l,AB与I
AB与平面B所成的角的正弦值是
2.山坡与水平面成30蛹,坡面上有一条与坡角水平线成
后升高了100米,则此人行走的路程为400
3.在一个二面角的一个面内有一个点,
4.在600的二面角的棱上有两点A
AB=6,AC=3BD=4,贝UCD=
30蛹的直线小路,某人沿小路上坡走了一段路程米
它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍,则二面角的度数为。
B,ACBD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,已知:
。
7cm
6.60的二面角a-1-P内有一点P,点P到面a的距离为2,点P到面p的距离为11,则点P到棱I
的距离为
7.二面角a—I-P的面a内有一条直线AB,它与I的夹角为
-,与平面P的夹角为一,则二面角
46
10,则它到棱的距离是(B)
a一|—P的大小8.在30°的二面角的一个面内有一个点,若它到另一个面的距离是
A5B20C
10(2D
5(2
2
a内,斜边BC在棱
0B45
9在直二面角a-I-B中,RtAABC在平面
与平面B所成的角为(A)A30
上,若AB与面B所成的角为600,则AC
C600D1200
11.如图,平面ABCD丄平面ABEF,ABCD是正方形,
10.如图,三棱锥P-ABC中,已知PA丄平面ABC,
3
1
ABEF是矩形,且AF=-AD=a,G是EF的中
2
点,
(1)求证:
AG丄平面BGC;
(2)求二面角B-AC-G的正弦值.
(I)求该四面体的体积;8
(n)求二面角A-BC-D大小的正弦值.
5^34
34
D
14.在四面体ABCD中,平面ABC丄平面ADC,AB丄BC,AD=CD,/CAD=30°.若二面角C-AB-D为
60°,求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值.並
6
C
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- 二面角 平面角 求解 策略
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