高考排列组合典型例题.docx
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高考排列组合典型例题
排列组合典型例题
例1用0到9这10个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数?
分析:
这一问题的限制条件是:
①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下:
如果从个位数入手,四位偶数可分为:
个位数是“0”的四位偶做,个位数是2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二.
如果从千位数入手.四位偶数可分为:
千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三.
如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四.
解法1:
当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3
个来排列,故有
3
A
9个;
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一
个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有
112
A
A
A
488
(个).
8
∴没有重复数字的四位偶数有
A
A
A
A
311
948
2504
1792
2296个.
解法2:
当个位数上排“0”时,同解一有
A3个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,
9
千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得:
A
9
4
1(A3
A2)个
8
∴没有重复数字的四位偶数有
A
A
(A
313
9
94
A2)
504
1792
2296个.
8
解法3:
千位数上从1、3、5、7、9中任选一个,个位数上从0、2、4、6、8中任选一个,百位,十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有
A
A
A个
112
8
55
干位上从2、4、6、8中任选一个,个位数上从余下的四个偶数中任意选一个(包括0
在内),百位,十位从余下的八个数字中任意选两个作排列,有
A
A
A个
112
8
44
∴没有重复数字的四位偶数有
A
A
A
112
558
112
A
A
A
448
2296个.
解法4:
将没有重复数字的四位数字划分为两类:
四位奇数和四位偶数.
43
没有重复数字的四位数有
A10A9个.
132
其中四位奇数有
A5(A9A8)个
∴没有重复数字的四位偶数有
A4A3
A1(A3
A2)10A3
A35A3
5A2
1095989998
9
8
4A35A2
8
8
36A25A2
8
41A2
2296个
说明:
这是典型的简单具有限制条件的排列问题,上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质,掌握其解答方法,以期灵活运用.
典型例题二
例2三个女生和五个男生排成一排
(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?
(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?
(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?
(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?
解:
(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这
样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有
A6种不同排法.对于其中的每一种排法,
6
363
三个女生之间又都有
A3对种不同的排法,因此共有
A6A3
4320种不同的排法.
5
(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都
不相邻.由于五个男生排成一排有
A5种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位
353
置中选出三个来让三个女生插入都有
A6种方法,因此共有
A5A6
14400种不同的排法.
(3)解法1:
(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2
个,有
2
A
5种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有
A6种排法,所以共有
6
A
A
56
2614400
种不同的排法.
解法2:
(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有
8
A
8种不同的排法,从中扣除女生
A
排在首位的
1A7种排法和女生排在末位的
1A7种排法,但这样两端都是女生的排法在
7
A
7
3
3
扣除女生排在首位的情况时被扣去一次,在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次,所以
A
3
还需加一次回来,由于两端都是女生有2
6
A
6种不同的排法,所以共有
8
3
7
A82A1A7
A2A6
14400种不同的排法.
6
3
6
解法3:
(元素分析法)从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入,有
A3种不同
的排法,对于其中的任意一种排活,其余5个位置又都有
A5种不同的排法,所以共有
5
A
A
35
6514400种不同的排法,
A
7
3
5
(4)解法1:
因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则未位就不再受
条件限制了,这样可有
1A7种不同的排法;如果首位排女生,有
A1种排法,这时末位就
5
A
只能排男生,有
A1种排法,首末两端任意排定一种情况后,其余6位都有
A6种不同的排法,
6
A
1
这样可有3
16
A
A
56种不同排法.因此共有
1711
A
A
A
A
5735
636000种不同的排法.
6
解法2:
3个女生和5个男生排成一排有
A8种排法,从中扣去两端都是女生排法26
8
A
A
A
A
36
种,就能得到两端不都是女生的排法种数.
A
8
因此共有8
2636000种不同的排法.
36
说明:
解决排列、组合(下面将学到,由于规律相同,顺便提及,以下遇到也同样处理)应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.
若以位置为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置,有两个以上约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件.
若以元素为主,需先满足特殊元素要求再处理其它的元素.
间接法有的也称做排除法或排异法,有时用这种方法解决问题来得简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法,要认真搞清在什么条件下使用.
典型例题三
例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?
解:
(1)先排歌唱节目有
A5种,歌唱节目之间以及两端共有6个位子,从中选4个放
6
入舞蹈节目,共有
A4中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有:
5
A
A
54
56=43200.
(2)先排舞蹈节目有
A4中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好供5
个歌唱节目放入。
所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有:
4
45
A
A
45=2880种方法。
说明:
对于“间隔”排列问题,我们往往先排个数较少的元素,再让其余元素插空排列。
否则,若先排个数较多的元素,再让其余元素插空排时,往往个数较多的元素有相邻情况。
如本题
(2)中,若先排歌唱节目有
A5,再排舞蹈节目有
A4,这样排完之后,其中含有歌
5
6
唱节目相邻的情况,不符合间隔排列的要求。
典型例题四
6
例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.
分析与解法1:
6六门课总的排法是
A6,其中不符合要求的可分
为:
体育排在第一书有
A5种排法,如图中Ⅰ;数学排在最后一节有5
5
A
5
种排法,如图中Ⅱ;但这两种排法,都包括体育排在第一书数学排在最后一节,如图中Ⅲ,
4
这种情况有
A4种排法,因此符合条件的排法应是:
4
A
5
6
62A5
4504(种).
A
分析与解法2:
根据要求,课程表安排可分为4种情况:
24
(1)体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节,这种排法有
A4A4种;
14
(2)数学排在第一节但体育不排在最后一节,有排法
A4A4种;
14
(3)体育排在最后一节但数学不排在第一节,有排法
A4A4种;
A
4
(4)数学排在第一节,体育排在最后一节,有排法4
A
A
14
这四类排法并列,不重复也不遗漏,故总的排法有:
A
A
A
A
2414
4444
44504(种).
A
2
分析与解法3:
根据要求,课表安排还可分下述4种情况:
(1)体育,数学既不在最后也不在开头一节,有
412种排法;
(2)数学排在第一节,体育不排在最后一节,有4种排法;
(3)体育在最后一书,数学木在第一节有4种排法;
(4)数学在第一节,体育在最后一节有1种排法.
上述21种排法确定以后,仅剩余下四门课程排法是种
A4,故总排法数为
21A4
504
4
4
(种).
下面再提出一个问题,请予解答.
问题:
有6个人排队,甲不在排头,乙不在排尾,问并肩多少种不同的排法.请读者完成此题.
说明:
解答排列、组合问题要注意一题多解的练习,不仅能提高解题能力,而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法.
典型例题五
例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种?
分析:
可以把3辆车看成排了顺序的三个空:
,然后把3名司机和3名售票员分别填入.因此可认为事件分两步完成,每一步都是一个排列问题.
A
3
解:
分两步完成.第一步,把3名司机安排到3辆车中,有
36种安排方法;第二步
A
3
把3名售票员安排到3辆车中,有
36种安排方法.故搭配方案共有
A
A
33
3336种.
说明:
许多复杂的排列问题,不可能一步就能完成.而应分解开来考虑:
即经适当地分
类成分或分步之后,应用分类计数原理、分步计数原理原理去解决.在分类或分步时,要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚,防止分类或分步的混乱.
典型例题六
例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?
学
校
专
业
1
1
2
2
1
2
3
1
2
分析:
填写学校时是有顺序的,因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题;同一学校的两个专业也有顺序,要区分出第一专业和第二专业.因此这是一个排列问题.
解:
填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并
加排列,共有
A3种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其
4
顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有
2
2A2种.综合以上两步,由分步计数
原理得不同的填表方法有:
A
A
3
33
322
A
A
A
A
433
25184种.
3
说明:
要完成的事件与元素的排列顺序是否有关,有时题中并未直接点明,需要根据实际情景自己判断,特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要.“选而且排”(元素之间有顺序要求)的是排列,“选而不排”(元素之间无顺序要求)的是组合.另外,较复杂的
事件应分解开考虑.
典型例题七
例57名同学排队照相.
(1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法?
(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?
(3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法?
(4)
7
若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法?
分析:
(1)可分两步完成:
第一步,从7人中选出3人排在前排,有
A3种排法;第二步,
剩下的4人排在后排,有
A4种排法,故一共有
3
4A7种排法.事实上排两排与排成
4
A
A
7
74
一排一样,只不过把第
4
~7个位子看成第二排而已,排法总数都是
A7,相当于7个人的
7
全排列.
(2)优先安排甲、乙.(3)用“捆绑法”.(4)用“插空法”.
A
A
A
74
7
解:
(1)3475040种.
(2)第一步安排甲,有
A1种排法;第二步安排乙,有
A1种排法;第三步余下的5人排在
剩下的5个位置上,有
3
4
5
5
A
种排法,由分步计数原理得,符合要求的排法共有
A
A
A
115
345
1440种.
(3)第一步,将甲、乙、丙视为一个元素,有其余4个元素排成一排,即看成5个元素的
全排列问题,有
5
A
A
5种排法;第二步,甲、乙、丙三人内部全排列,有
3
A
3种排法.由分步计
A
53
数原理得,共有
53720种排法.
(4)
4
第一步,4名男生全排列,有
A4种排法;第二步,女生插空,即将3名女生插入4名
5
男生之间的5个空位,这样可保证女生不相邻,易知有
A3种插入方法.由分步计数原理得,
符合条件的排法共有:
431440种.
A
A
45
说明:
(1)相邻问题用“捆绑法”,即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”,与其他普通元素全排列;最后再“松绑”,将这些特殊元素进行全排列.
(2)不相邻问题用“插空法”,即先安排好没有限制条件的元素,然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元
素之间.
典型例题八
例8从2、3、4、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数,求所有三位数的和.
分析:
可以从每个数字出现的次数来分析,例如“2”,当它位于个位时,即形如
4
的数共有
A2个(从
3、4、5、6四个数中选两个填入前面的两个空),当这些数相加时,由“2”
A
4
所产生的和是
22.当2位于十位时,即形如的数也有
A2,那么当这些数相加时,
4
A
由“2”产生的和应是
210.当2位于面位时,可同理分析.然后再依次分析
3、4、5、6
2
4
的情况.
4
解:
形如的数共有
A2个,当这些数相加时,由“2”产生的和是
A
4
22;形如
4
的数也有
A2个,当这些数相加时,由“2”产生的和是
A
A
2
2
2
410;形如的数也有4
A
个,当这些数相加时,由“2”产生的和应是
2100.这样在所有三位数的和中,由“2”
2
产生的和是A4
2111.同理由
2
4
2
3、4、5、6产生的和分别是A4
2
3111,A4
4111,
A
A
5
4
2111,
2111,因此所有三位数的和是
2111(2
3456)
26640.
A
6
4
4
说明:
类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分析数字出现次数的办法来解决.如
“由1,
4,5,
x四个数字组成没有重复数字的四位数,若所有这些四位数的各数位上的数字之
和为288,求数x”.本题的特殊性在于,由于是全排列,每个数字都要选用,故每个数字
A
4
均出现了
424次,故有24(145x)
288,得x2.
典型例题九
例9计算下列各题:
A
6
2
15
(1);
(2)A6;(3)
m1nm
n
A
;
AA
1nmn1
n1
(4)
1!
2
2!
33!
nn!
123n1
(5)(5)
15
14
2!
3!
4!
n!
A
15
解:
(1)
2210;
A
6
(2)
66!
654
321
720;
(3)原式
(n
[n1
1)!
(m
(n
1)!
]
m)!
1
(n1)!
(n1)!
(n
(nm)!
m)!
11;
(n1)!
(4)
原式
(2!
1)
(3!
2!
)
(4!
3!
)
[(n
1)!
n!
]
(n
n1
(5)∵
1)!
1;
11,
n!
(n1)!
n!
∴123n1
2!
3!
4!
n!
11
1!
2!
11
2!
3!
11
3!
4!
1
(n1)!
111.
n!
n!
说明:
准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键.本题计算中灵活地用到下列各式:
n!
n(n
1)!
;nn!
(n1)!
n1
n!
;
n!
1
(n1)!
1;使问题解得简单、快捷.
n!
典型例题十
例10
a,b,c,d
e,f
六人排一列纵队,限定a要排在b的前面(a与b可以相邻,
A
也可以不相邻),求共有几种排法.对这个题目,A、B、C、D四位同学各自给出了一
种算式:
A的算式是
16
A6;B的算式是
(A11
111
A
A
5
A)
34
A4;C的算式是
A4;
1
4
6
2
D的算式是
2
C
4
6
2A4.上面四个算式是否正确,正确的加以解释,不正确的说明理由.
解:
A中很显然,“a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等,而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明:
A的算式正确.
B中把六人排队这件事划分为a占位,b占位,其他四人占位这样三个阶段,然后用乘
4
法求出总数,注意到a占位的状况决定了b占位的方法数,第一阶段,当a占据第一个位置
5
时,b占位方法数是
A1;当a占据第2个位置时,b占位的方法数是
A1;;当a占据
1
4
第5个位置时,b占位的方法数是可见B的算式是正确的.
A1,当a,b占位后,再排其他四人,他们有
A4种排法,
6
C中A4可理解为从6个位置中选4个位置让
c,d
e,f
占据,这时,剩下的两个位置
依前后顺序应是
a,b的.因此C的算式也正确.
D中把6个位置先圈定两个位置的方法数
C2,这两个位置让
a,b占据,显然,a,b占
6
4
据这两个圈定的位置的方法只有一种(a要在b的前面),这时,再排其余四人,又有排法,可见D的算式是对的.
A4种
说明:
下一节组合学完后,可回过头来学习D的解法.
典型例题十一
例11八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法?
解法1:
可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐
在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理,在每类情况下,划分“乙丙坐下”、“甲坐下”;“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步计数原理,这样可有如下算法:
A
A
A
215
425
215
A
A
A
445
8640(种).
解法2:
采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八
A
4
人坐法数”看成“总方法数”,这个数目是
1A7.在这种前提下,不合题意的方法是“甲
坐第一排,且乙、丙坐两排的八人坐法.”这个数目是
7
111
A
C
A
A
4
423
1A5.其中第一个因数
5
4
A1表示甲坐在第一排的方法数,
C1表示从乙、丙中任选出一人的办法数,
A1表示把选出
2
3
的这个人安排在第一排的方法数,下一个
A1则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排
的方法数,
4
5
A
5就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为
A
A
A
171
474
111
C
A
A
234
58640(种).
A
5
说明:
解法2可在学完组合后回过头来学习.
典型例题十二
例12计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有
3
A
A
45
().
A
A
4
5
A.45
345
A
A
A
B.345
C.C1
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