甘肃省高三第二次诊断考试理科数学试题含答案.docx
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甘肃省高三第二次诊断考试理科数学试题含答案
2020年甘肃省高三第二次诊断考试
理科数学试题
一、选择题(每小题5分,
共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的
序号填涂在答题卡上)
上任取x,则x2x的概率为
A.1
4
B.1
3
C.
D.2
3
6.函数ylg
7.设向量a3,3,b
1,1,若a
,则实数
A.3B.1
C
.1
D.3
a
8.已知实数,b满足1
b
1b
1,
则(
)
2
2
11
A.B.
log2a
log
2b
C.ab
D.sinasinb
ab
1
9.已知cos,则sin2()
636
双曲线于M、N两点,若MF1N=,则双曲线的离心率e=()
2
A.2B.3C.D.21
2
11.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:
“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它
是一个顶角为36的等腰三角形(另一种是顶角为108的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金ABC中,BC1.根据这些信息,可得sin234()
AC2
、填空题(每小题5分,共20分)13.将函数fxAsinwx(A0,w0,)的图象向右平移个单位,再将所有点
212的横坐标扩大为原来的2倍,得到gx2sinx的图象,则Aw.
1n1
14.已知数列an,若数列3n1an的前n项和Tn6n,则a5的值为.
nnn555
15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:
第一天售出19种商品,第二天售出13种商
品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店
这三天售出的商品最少有种.
16.在三棱锥ABCD中,ABAC,DBDC,ABDB4,ABBD,则三棱锥ABCD外接球的体积的最小值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在公差不为0的等差数列an中,a1,a4,a8成等比数列,数列an的
,数列bn的前n项和anan1
前10项和为45.
(1)求数列an的通项公式;
(2)若bn
为Tn,求Tn.
18.(本小题满分12分)如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均2为棱BB1(不包括端点)上一动点,E是AB的中点.
(Ⅰ)若ADA1C,求BD的长;
Ⅱ)当D在棱BB1(不包括端点)上运动时,求平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范
围.
19.(本小题满分12分)某学校共有1000名学生,其中男生
400人,为了解该校学生在学校的月消费情况,采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查,月消费金额分布在450~950之间.根据调查的结果绘制的学生在校月消
费金额的频率分布直方图如图所示:
将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”.
1)求a的值,并估计该校学生月消费金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
2)现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650),[750,850)内的两组学生中抽取10
人,再从这10人中随机抽取3人,记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望;(3)若样本中属于“高消费群”的女生有10人,完成下列22列联表,并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关?
参考公式:
2
2n(adbc)
K,其中nabcd)(ab)(cd)(ac)(bd)
构成等边三角形,且椭圆C的短轴长为23.
1)求椭圆C的标准方程;uuuuvuuuv
2)是否存在过点P0,2的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N,且满足OMON2
O为坐标原点)若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数fx
lnx,aR.
1)当a2时,求函数yfx在点
1,f1
处的切线方程;
2)当a1时,令函数gxfx
lnx2x
1m,若函数g
x在区间
1
ee
上有两个
零点,求实数m的取值范围.
2cos,
22sin(为参
[选修4-4:
极坐标与参数方程]22.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线M的极坐标方程
为2sin2320.
2
(1)求曲线C的极坐标方程;
l与曲线M的交
(2)已知为锐角,直线l:
R与曲线C的交点为A(异于极点),点为B,若OAOB162,求l的直角坐标方程.
[选修4-5:
不等式选讲]
1
23.已知函数fxx2axa0.
a
a的取值范围
(1)当a1时,解不等式fx1;
(2)若不等式fx3恒成立,求实数
参考答案
、选择题(共12小题,每小题5分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
B
C
D
B
C
D
C
D
、填空题(共4小题,每小题5分)
82
13、4614、1615、16,2916、3
三、解答题(本大题共
6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2
17.解:
设等差数列an的公差为d,由a1,a4,a8成等比数列可得,a42a1a8,即
2222
a13da1a17d,a16a1d9da17a1d,
d0,a19d.3分
(1)由数列an的前10项和为45,得S1010a145d45,
1
即90d45d45,故d,a13,5分
31
18.证明:
(Ⅰ),由AC=BC,AE=BE,知CE⊥AB,
又平面ABC⊥平面ABB1A1,所以CE⊥平面ABB1A1
而AD?
平面ABB1A1,∴AD⊥CE,又AD⊥A1C所以AD⊥平面A1CE,
Ⅱ)以E为原点,EB为x轴,EC为y轴,
过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴,
建立
空间直角坐
标系,设
BD=
t,则
A(-1,0,
0),D(1,0,
t),
C1
(0,
3
,2),
uuuvAD
=(2,0,
uuuuv
t),AC1=(
1,
3,
2),设平面
ADC1的法向量
vn=(
x
,y,
z),
vuuuv
n·AD
2xtz0
v
1,41,
2
则
vuuuuvn·AC1x
3y2z
0
取x
=1,得n
1,3t3,
t
平面
ABC的法向量mv=(0,
0,
1),-
9
分
设平面ADC1与平面ABC的夹角为θ,
2].
2
21由于t∈(02),故cosθ∈(
7
21即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为(7,
19.
(1)由题意知,100(0.0015a0.00250.00150.001)1,
解得a0.0035,
样本的平均数为:
x5000.156000.357000.258000.159000.10670(元),
所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元.
4分
2)由题意,从[550,650)中抽取7人,从[750,850)中抽取3人.
随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3,
所以,随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望
得出以下22列联表:
22
n(adbc)2100(10251550)2505.5565.024,
(ab)(cd)(ac)(bd)406025759
所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关.12
分
2)当直线l的斜率不存在时,M0,3,N0,3
uuuuvuuuv
OMON3,不符合题意···········5分
x1x2
16k,
x1x2
4,··
·········7分
3
4k2,
3
4k2,··
uuuuv
∴OM
uuuv
ON
x1x2
y1y2
1
k2x1x2
2kx1x24
41
k2
32k2
4
16
12k2,··
·········9分
34k2
34k2
3
4k2,··
uuuuv
∵OM
uuuv
ON
2,∴
16
12k2
2,···
········10分
3
4k2
解得k22,满足0,···········11分
解析】
(1)当a2时,
22
x2x1lnx2x4xlnx2.
1分
当x1时,f10,所以点P1,f1为P1,0,
1
又fx4x4,因此kf11.···········2分
x
因此所求切线方程为y01x1yx1.···········4分
(2)当a1时,gx2lnxx2m,
22x1x1则gx2x.···········6分
xx
1因为x1,e,所以当gx0时,x1,···········7分
e
1且当x1时,gx0;当1xe时,gx0;
e
故gx在x1处取得极大值也即最大值g1m1.···········8分
又g1m212ee2
即x2y24y,所以24sin
即4sin,故曲线C的极坐标方程为4sin
5分
2
2)因为曲线M的极坐标方程为2sin2320
2
因为曲线C的极坐标方程为4sin,所以OA4sin
10分
则tan2,故l的直角坐标方程为y2x
23.【详解】
1
1)Qfxx2axa0a
可得|x2||x1|1
若x≤2则x2(1x)1,即31,显然成立
若2x1,x2(1x)1,可得2x2,故x1
若x1,x2(x1)1,可得31,显然不成立.综上所述,x(,1]
(2)Qfx3
1
2a|x2a|a
1
2a
a
1要保证不等式fx3恒成立,只需保证2a3,
a
解得1≤a≤1
2
1
综上所述,a,1
2
1
的大致图象为(
x1
2
x22x,x2,
12.f(x)1的值域为R,则f(22)的取值范围是(
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