北师大版八年级数学二元一次方程组知识总结及训练doc.docx
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二元一次方程组知识总结及训练
◆知识讲解
1.二元一次方程组的有关概念
二元一次方程:
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
二元一次方程的解集:
适合一个二元一次方程的每一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.对于任何一个二元一次方程,令其中一个未知数取任意一个值,都能求出与它对应的另一个未知数的值.因此,任何一个二元一次方程都有无数多个解.由这些解组成的集合,叫做这个二元一次方程的解集.
二元一次方程组及其解:
两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.一般地,能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.
2.二元一次方程组的解法
代入消元法:
在二元一次方程组中选取一个适当的方程,将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,消去一个未知数得到一元一次方程,求出这个未知数的值,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法.
加减消元法:
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相差,从而消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法,简称加减法.
3.二元一次方程组的应用
对于含有多个未知数的问题,利用列方程组来解,一般比列一元一次方程解题容易得多.列方程组解应用问题有以下几个步骤:
(1)选定几个未知数;
(2)依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程,组成方程组;
(3)解方程组,得到方程组的解;
(4)检验求得未知数的值是否符合题意,符合题意即为应用题的解.
◆例题解析
例1已知
是方程组
的解,求(m+n)的值.
【分析】由方程组的解的定义可知
,同时满足方程组中的两个方程,将
代入两个方程,分别解二元一次方程,即得m和n的值,从而求出代数式的值.
【解答】把x=2,y=1代入方程组
中,得
①②
由①得m=-1,由②得n=0.
所以当m=-1,n=0时,(m+n)=(-1+0)=-1.
【点评】如果是方程组的解,那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程.
例2(2008,长沙市)“5.12”汶川大地震后,灾区急需大量帐篷.某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产,工厂决定转产,计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区.若启用1条成衣生产线和2条童装生产线,一天可以生产帐篷105顶;若启用2条成衣生产线和3条童装生产线,一天可以生产帐篷178顶.
(1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶?
(2)工厂满负荷全面转产,是否可以如期完成任务?
如果你是厂长,你会怎样体现你的社会责任感?
【解答】
(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x,y顶,则
解得:
x=41;y=32
答:
每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶,每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶.
(2)由3×(4×41+5×32)=972<1000知,即使工厂满负荷全面转产,也不能如期完成任务.
可以从加班生产,改进技术等方面进一步挖掘生产潜力,或者动员其他厂家支援等,想法尽早完成生产任务,为灾区人民多做贡献.
例3(2006,海南)某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品,根据下图提供的信息,求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元?
【分析】本题以图文形式提供了部分信息,主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力.
【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元.依题意,得
解这个方程组,得
故一盒“福娃”玩具的价格为125元,一枚徽章的价格为10元.
例4(2004,昆明市)为满足用水量不断增长的需求,昆明市最近新建甲,乙,丙三个水厂,这三个水厂的日供水量共计11.8万m3,其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍,丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m3.
(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米?
(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t土石,运输公司派出A型,B型两种载重汽车,A型汽车6辆,B型汽车4辆,分别运5次,可把土石运完;或者A型汽车3辆,B型汽车6辆,分别运5次,也可把土石运完,那么每辆A型汽车,每辆B型汽车每次运土石各多少吨?
(每辆汽车运土石都以准载重量满载)
【分析】
(1)可设甲水厂的日供水量是x万m3,则乙水厂的日供水量是3x万m3,丙水厂的日供水量是(
x+1)万m3,由三个水厂的日供水量总和为11.8万m3,可列方程x+3x+
x+1=11.8;
(2)设每辆A型汽车每次运土石xt,B型车每辆每次运土石yt,依题意可列方程组
解方程后可求解.
【解答】
(1)设甲水厂的供水量是x万m3,则乙水厂的日供水量是3x万m3,丙水厂的日供水量是(
x+1)万m3.
由题意得:
x+3x+
x+1=11.8,解得x=2.4.
则3x=7.2,x+1=2.2.
答:
甲水厂日供水量是2.4万m3,乙水厂日供水量是7.2万m3,丙水厂日供水量是2.2万m3.
(2)设每辆A型汽车每次运土石xt,每辆B型汽车每次运土石yt,由题意得:
∴
答:
每辆A型汽车每次运土石10t,每辆B型汽车每次运土石15t.
【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容,在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法.
◆强化训练
一、填空题
1.若2xm+n-1-3ym-n-3+5=0是关于x,y的二元一次方程,则m=_____,n=_____.
2.在式子3m+5n-k中,当m=-2,n=1时,它的值为1;当m=2,n=-3时,它的值是_____.
3.若方程组
的解是
,则a+b=_______.
4.已知方程组
的解x,y,其和x+y=1,则k_____.
5.已知x,y,t满足方程组
,则x和y之间应满足的关系式是_______.
6.(2008,宜宾)若方程组
的解是
,那么│a-b│=_____.
7.某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元,今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元,则每件衬衫售价为_______,每条裤子售价为_______.
8.(2004,泰州市)为了有效地使用电力资源,我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点,每天8:
00至21:
00用电每千瓦时0.55元(“峰电”价),21:
00至次日8:
00用电每千瓦时0.30元(“谷电”价),王老师家使用“峰谷”电后,五月份用电量为300kW·h,付电费115元,则王老师家该月使用“峰电”______kW·h.
二、选择题
9.二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.已知
是方程组
的解,则a+b的值等于()
A.1B.5C.1或5D.0
11.已知│2x-y-3│+(2x+y+11)2=0,则()
A.
B.
C.
D.
12.在解方程组
时,一同学把c看错而得到
,正确的解应是
,那么a,b,c的值是()
A.不能确定B.a=4,b=5,c=-2
C.a,b不能确定,c=-2D.a=4,b=7,c=2
13.(2008,河北)如图4-2所示的两架天平保持平衡,且每块巧克力的质量相等,每个果冻的质量也相等,则一块巧克力的质量是()
A.20gB.25gC.15gD.30g
14.4辆板车和5辆卡车一次能运27t货,10辆板车和3辆卡车一次能运20t货,设每辆板车每次可运xt货,每辆卡车每次能运yt货,则可列方程组()
A.
B.
C.
D.
15.七年级某班有男女同学若干人,女同学因故走了14名,这时男女同学之比为5:
3,后来男同学又走了22名,这时男女同学人数相同,那么最初的女同学有()
A.39名B.43名C.47名D.55名
16.某校初三
(2)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元,捐款情况如下表:
捐款/元
1
2
3
4
人数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组.()
A.
B.
C.
D.
17.甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则ah相遇;若同向而行,则bh甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度为()
A.
倍B.
倍C.
倍D.
倍
18.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺,总务处每发一封信都只用一张信笺,教务处每发出一封信都用3张信笺,结果,总务处用掉了所有的信封,但余下50张信笺,而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封,则两处各领的信笺张数,信封个数分别为()
A.150,100B.125,75C.120,70D.100,150
三、解答题
19.解下列方程组:
(1)(2008,天津市)
(2)(2005,南充市)
20.(2008,山东省)为迎接2008年奥运会,某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂主要用甲、乙两种原料,已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒,生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒,如果所进原料全部用完,求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套?
21.(2008,重庆市)为支持四川抗震救灾,重庆市A,B,C三地现在分别有赈灾物资00t,100t,80t,需要全部运往四川重灾地区的D,E两县.根据灾区的情况,这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20t.
(1)求这批赈灾物资运往D,E两县的数量各是多少?
(2)若要求C地运往D县的赈灾物资为60t,A地运往D县的赈灾物资为xt(x为整数),B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍,其余的赈灾物资全部运往E县,且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25t.则A,B两地的赈灾物资运往D,E两县的方案有几种?
请你写出具体的运送方案:
(3)已知A,B,C三地的赈灾物资运往D,E两县的费用如表所示:
A地
B地
C地
运往D县的费用/(元/t)
220
200
200
运往E县的费用/(元/t)
250
220
210
为及时将这批赈灾物资运往D,E两县,某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用,在
(2)问的要求下,该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少?
22.(2003,常州市)甲、乙两班学生到集市上购买苹果,苹果的价格如下表所示.甲班分两次共购买苹果70kg(第二次多于第一次),共付出189元,而乙班则一次购买苹果70kg.
购苹果数
不超过30kg
30kg以下但
不超过50kg
50kg
以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
(1)乙班比甲班少付出多少元?
(2)甲班第一次,第二次分别购买苹果多少千克?
答案
1.3;-12.-73.84.k=
5.15y-x=66.17.20元80元8.100
9.C10.C11.D12.B13.A14.C15.C16.A17.C18.A
19.
(1)由②得y=2x-1③
把③代入①得:
3x+5(2x-1)=8
即x=1
把x=1代入③得y=1
∴原方程组的解为
(2)化简方程组,得
④代入⑤,得y=-3.
将y=-3代入,得x=1
故原方程组的解是:
20.设生产奥运会标志x套,生产奥运会吉祥物y套,根据题意,得
①×2-②得:
5x=10000.
∴x=2000.
把x=2000代入①得:
5y=12000.
∴y=2400.
答:
该厂能生产奥运会标志2000套,生产奥运会吉祥物2400套.
21.
(1)设这批赈灾物资运往D县的数量为a(t),运往E县的数量为b(t).
由题意,得
解得
答:
这批赈灾物资运往D县的数量为180t,运往E县的数量为100t.
(2)由题意,得
解得
即40 ∵x为整数,∴x的取值为41,42,43,44,45. 则这批赈灾物资的运送方案有五种. 具体的运送方案是: 方案一: A地的赈灾物资运往D县41t,运往E县59t;B地的赈灾物资运往D县79t,运往E县21t. 方案二: A地的赈灾物资运往D县42t,运往E县58t;B地的赈灾物资运往D县78t,运往E县22t. 方案三: A地的赈灾物资运往D县43t,运往E县57t;B地的赈灾物资运往D县77t,运往E县23t. 方案四: A地的赈灾物资运往D县44t,运往E县56t;B地的赈灾物资运往D县76t,运往E县24t. 方案五: A地的赈灾物资运往D县45t,运往E县55t;B地的赈灾物资运往D县75t,运往E县25t. (3)设运送这批赈灾物资的总费用为w元,由题意,得 w=220x+250(100-x)+200(120-x)+220(x-20)+200×60+210×20=-10x+60800. 因为w随x的增大而减小,且40 所以,当x=41时,w有最大值,则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为: w=60390(元). 22. (1)乙班共付出70×2=140(元),乙班比甲班少付出189-140=49(元). (2)设甲班第一次买苹果xkg,第二次买苹果ykg(x ①当x≤30时,则y>30(否则,x+y≤60<70). 依题意有 或者 解之,得 或者 (不合题意,舍去) ②若30 当y>50,x+y>80>70,不合题意. 当30 ③若x>50,y>x,则x+y>70,不合题意. 故甲班第一次买苹果28kg,第二次买苹果42kg. 美文欣赏 1、走过春的田野,趟过夏的激流,来到秋天就是安静祥和的世界。 秋天,虽没有玫瑰的芳香,却有秋菊的淡雅,没有繁花似锦,却有硕果累累。 秋天,没有夏日的激情,却有浪漫的温情,没有春的奔放,却有收获的喜悦。 清风落叶舞秋韵,枝头硕果醉秋容。 秋天是甘美的酒,秋天是壮丽的诗,秋天是动人的歌。 2、人的一生就是一个储蓄的过程,在奋斗的时候储存了希望;在耕耘的时候储存了一粒种子;在旅行的时候储存了风景;在微笑的时候储存了快乐。 聪明的人善于储蓄,在漫长而短暂的人生旅途中,学会储蓄每一个闪光的瞬间,然后用它们酿成一杯美好的回忆,在四季的变幻与交替之间,散发浓香,珍藏一生! 3、春天来了,我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。 让心灵长出北归大雁的翅膀,乘着吹动彩云的熏风,捧着湿润江南的霡霂,唱着荡漾晨舟的渔歌,沾着充盈夜窗的芬芳,回到久别的家乡。 我翻开解冻的泥土,挖出埋藏在这里的梦,让她沐浴灿烂的阳光,期待她慢慢长出枝蔓,结下向往已久的真爱的果实。 4、好好享受生活吧,每个人都是幸福的。 人生山一程,水一程,轻握一份懂得,将牵挂折叠,将幸福尽收,带着明媚,温暖前行,只要心是温润的,再遥远的路也会走的安然,回眸处,愿阳光时时明媚,愿生活处处晴好。 5、漂然月色,时光随风远逝,悄然又到雨季,花,依旧美;心,依旧静。 月的柔情,夜懂;心的清澈,雨懂;你的深情,我懂。 人生没有绝美,曾经习惯漂浮的你我,曾几何时,向往一种平实的安定,风雨共度,淡然在心,凡尘远路,彼此守护着心的旅程。 沧桑不是自然,而是经历;幸福不是状态,而是感受。 6、疏疏篱落,酒意消,惆怅多。 阑珊灯火,映照旧阁。 红粉朱唇,腔板欲与谁歌? 画脸粉色,凝眸着世间因果;未央歌舞,轮回着缘起缘落。 舞袖舒广青衣薄,何似院落寂寞。 风起,谁人轻叩我柴扉小门,执我之手,听我戏说? 7、经年,未染流殇漠漠清殇。 流年为祭。 琴瑟曲中倦红妆,霓裳舞中残娇靥。 冗长红尘中,一曲浅吟轻诵描绘半世薄凉寂寞,清殇如水。 寂寞琉璃,荒城繁心。 流逝的痕迹深深印骨。 如烟流年中,一抹曼妙娇羞舞尽半世清冷傲然,花祭唯美。 邂逅的情劫,淡淡刻心。 那些碎时光,用来祭奠流年,可好? 8、缘分不是擦肩而过,而是彼此拥抱。 你踮起脚尖,彼此的心就会贴得更近。 生活总不完美,总有辛酸的泪,总有失足的悔,总有幽深的怨,总有抱憾的恨。 生活亦很完美,总让我们泪中带笑,悔中顿悟,怨中藏喜,恨中生爱。 9、海浪在沙滩上一层一层地漫涌上来,又一层一层地徐徐退去。 我与你一起在海水中尽情的戏嬉,海浪翻滚,碧海蓝天,一同感受海的胸怀,一同去领略海的温情。 这无边的海,就如同我们俩无尽的爱,重重的将我们包裹。 10、寂寞的严冬里,到处是单调的枯黄色。 四处一片萧瑟,连往日明净的小河也失去了光彩,黯然无神地躲在冰面下恹恹欲睡。 有母女俩,在散发着丝丝暖意的阳光下,母亲在为女儿梳头。 她温和的把头发理顺。 又轻柔的一缕缕编织着麻花辫。 她脸上写满笑意,似乎满心的慈爱永远装不下,溢到嘴边。 流到眼角,纺织进长长的。 麻花辫。 阳光亲吻着长发,像散上了金粉,闪着飘忽的光辉。 女儿乖巧地依偎在母亲怀里,不停地说着什么,不时把母亲逗出会心的微笑,甜美的亲情融化了冬的寒冷,使萧索的冬景旋转出春天的美丽。 11、太阳终于伸出纤纤玉指,将青山的柔纱轻轻褪去。 青山那坚实的肌胸,挺拔的脊梁坦露在人们的面前,沉静而坚毅。 不时有云雾从它的怀中涌起,散开,成为最美丽的语言。 那阳光下显得凝重的松柏,那苍茫中显现出的点点殷红,那散落在群山峰顶神秘的吻痕,却又增添了青山另外的神秘。 12、原野里那郁郁葱葱的植物,叫我们丝毫感受不到秋天的萧索,勃勃生机与活力仍在田间高山涌动。 谷子的叶是墨绿的,长而大的谷穗沉甸甸地压弯了昨日挺拔的脊梁;高粱仍旧那么苗条,满头漂亮的红缨挥洒出秋的风韵;那纵横原野的林带,编织着深绿浅黄的锦绣,抒写出比之春夏更加丰富的生命色彩。 13、终于,心痛,心碎,心成灰。 终于选择,在月光下,被遗忘。 百转千回,早已物是人非;欲说还休,终于咫尺天涯;此去经年,你我终成陌路。 爱你,终是一朵花开至荼糜的悲伤,一只娥飞奔扑火的悲哀。 14、世界这么大,能遇见,不容易。 心若向阳,何惧忧伤。 人只要生活在这个世界上,就有很多烦恼,痛苦或是快乐,取决于你的内心。 人不是战胜痛苦的强者,便是屈服于痛苦的弱者。 再重的担子,笑着也是挑,哭着也是挑。 再不顺的生活,微笑着撑过去了,就是胜利。 15、孤独与喧嚣无关,摩肩接踵的人群,演绎着身外的花开花谢,没谁陪你挥别走远的流年。 孤独与忙碌迥异,滚滚红尘湮没了心境,可少了终点的奔波,人生终究一样的苍白。 当一个人成长以后,在他已经了解了世界不是由鲜花和掌声构成之后,还能坚持自己的梦想,多么可贵。 16、生活除却一份过往和爱情外,还是需要几多的遐思。 人生并不是单单的由过往和爱情符号所组成的,过往是人生对所有走过岁月的见证;因为简单,才深悟生命之轻,轻若飞花,轻似落霞,轻如雨丝;因为简单,才洞悉心灵之静,静若夜空,静似幽谷,静如小溪。
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