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届高考总复习基础知识直线与圆
2019届高考总复习基础知识:
直线与圆
直线与圆一、选择填空题1.设k1,f(x)=k(x-1)(xR).在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图象与x轴交于A点,它的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于B点,并且这两个函数的图象交于P点。
已知四边形OAPB的面积是3,则k等于【】(A)3(B)32(C)43(D)65【答案】B。
【考点】反函数。
【分析】根据题意画出图形,如图。
∵互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称,这两个函数的图象交于P点必在直线y=x上,且A,B两点关于y=x对称。
ABOP。
四边形OAPB的面积=12∙AB∙OP=12OP32。
OP32。
P(3,3),代入f(x)=k(x-1)得:
k=32。
故选B。
2.以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是▲.【答案】22x1y225()()。
【考点】圆的标准方程,直线与圆的位置关系,点到直线的距离。
【分析】求出圆心到直线4x+3y-35=0的距离,即圆的半径;由圆的标准方程求得圆的方程:
∵圆以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切,圆心到直线的距离等于半径,即:
224635543。
所求圆的标准方程:
22x1y225()()。
3.圆1)3()1(22yx的切线方程中有一个是【】(A)x-y=0(B)x+y=0(C)x=0(D)y=0【答案】C。
【考点】圆的切线的求法,直线与圆相切的充要条件。
【分析】直线与圆相切可以有两种方式转化
(1)几何条件:
圆心到直线的距离等于半径;
(2)代数条件:
直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。
设直线0ax+by=22
(1)(3)1xy与相切,则|3|12ab,由排除法,故选C。
4.如图,在平面直角坐标系xoy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,),B(,0),C(,0)abc,点P(0,)p在线段AO上的一点(异于端点),这里pcba,,,均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,某同学已正确求得直线OE的方程为01111yapxcb,请你完成直线OF的方程:
(▲)011yapx。
【答案】11cb。
【考点】直线的一般式方程,归纳推理。
【分析】由对称性可猜想填11cb。
事实上,由截距式可得直线AB:
1xyba,直线CP:
1xycp,两式相减得11110xybcpa,显然直线AB与CP的交点F满足此方程,又原点O也满足此方程,故为所求直线OF的方程。
5.在平面直角坐标系xOy中,已知圆422yx上有且仅有四个点到直线1250xyc的距离为1,则实数c的取值范围是▲[来源【答案】(-13,13)。
【考点】直线与圆的位置关系。
【分析】求出圆心和半径,圆心到直线的距离小于半径和1的差即可:
由422yx得圆半径为2。
由圆心(0,0)到直线1250xyc的距离小于1,得22||c||c113125,c的取值范围是(-13,13)。
ABCxyPOFE6.设集合222A22mx,y|(x)ym,x,yR,B221x,y|mxym,x,yR,若AB,则实数m的取值范围是▲【答案】122,2。
【考点】集合概念和运算,线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系,含参数分类讨论,解不等式。
【分析】由AB,得,A,,22mm即21m或0m。
当0m时,集合A是以(2,0)为圆心,以m为半径的圆,集合B是在两条平行线之间。
∵圆心到两直线的距离分别为mmm22222,mmm2222122,圆心到两直线的距离都大于圆的半径m,即AB,与已知AB不符,此时无解。
当21m时,集合A是以(2,0)为圆心,以2m和m为半径的圆环,集合B是在两条平行线之间。
只要圆心到两直线的距离222mm或2212mm即可,解得2222m或221221m。
实数m的取值范围是12,22。
7.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为228150xyx,若直线2ykx上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是▲.【答案】43。
【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离。
【解析】∵圆C的方程可化为:
2241xy,圆C的圆心为(4,0),半径为1。
∵由题意,直线2ykx上至少存在一点00(,2)Axkx,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点;存在0xR,使得11AC成立,即min2AC。
∵minAC即为点C到直线2ykx的距离2421kk,24221kk,解得403k。
k的最大值是43。
8.已知正数abc,,满足:
4ln53lnbcaacccacb,,则ba的取值范围是▲.【答案】7e,。
【考点】可行域。
【解析】条件4ln53lnbcaacccacb,可化为:
354acabccabccbec。
设==abxy,cc,则题目转化为:
已知xy,满足35400xxyxyyexy,,求yx的取值范围。
作出(xy,)所在平面区域(如图)。
求出=xye的切线的斜率e,设过切点00Pxy,的切线为=0yexmm,则00000==yexmmexxx,要使它最小,须=0m。
yx的最小值在00Pxy,处,为e。
此时,点00Pxy,在=xye上,AB之间。
当(xy,)对应点C时,=45=205y=7=7=534=2012yyxxyyxyxxx,yx的最大值在C处,为7。
yx的取值范围为7e,,即ba的取值范围是1.(江苏2005年12分)如图,圆O1与圆O2的半径都是1,12OO4,过动点P分别作圆O1.圆O2的切线PM、PN(M.N分别为切点),使得PM2PN试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程【答案】解:
以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系。
则O1(-2,0),O2(2,0),由已知:
PM2PN,即PM2=2PN2,∵两圆的半径都为1,2122PO12(PO1),设P,xy,则222221221xyxy,即33)6(22yx。
所求轨迹方程为:
33)6(22yx(或031222xyx)。
【考点】点与圆的位置关系,勾股定理,两点间距离公式。
【分析】建立直角坐标系,设P点坐标,列方程,化简,即可得到结果。
2.(江苏2007年14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,)c任作一直线,与抛物线2yx相交于AB两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线:
lyc交于P,Q,
(1)若OAOB2,求c的值;(5分)
(2)若P为线段AB的中点,求证:
QA为此抛物线的切线;(5分)(3)试问
(2)的逆命题是否成立?
说明理由。
(4分)【答案】解:
(1)设过C点的直线为ykxc,20xkxcc,即20xkxc。
设A1122,,B,xyxy,OA=11,xy,22OB,xy,∵OAOB2,12122xxyy,即12122xxkxckxc,221212122xxkxxkcxxc。
PMNO1O2Oyx222ckckckc,即220cc。
21cc舍去。
(2)设过Q的切线为111yykxx,由2yx得/2yx,112kx。
2211111222yxxxyxxx,它与yc的交点为M11,22xccx。
又21212P,,2222xxyykkc,Q,2kc。
∵12xxc,21cxx。
M12,2,22xxkcc。
点M和点Q重合,即QA为此抛物线的切线。
(3)
(2)的逆命题是成立。
由
(2)可知Q,2kc,∵PQx轴,P,2Pky。
∵1222xxk,P为AB的中点。
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算。
【分析】
(1)设过C点的直线的方程,与抛物线方程联立设出A,B的坐标则,OA和OB可分别表示出来,根据OAOB2得222ckckckc,求得c。
(2)设过Q的切线方程,通过对抛物线方程求导求得切线的斜率,从而可表示出切线方程求得与yc的交点为M的坐标,从而根据P为线段AB的中点,求得Q点的坐标,根据12xxc可表示出M的坐标,判断出以点M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线。
(3)根据
(2)可知点Q的坐标,根据PQx轴,推断出点P的坐标,从而求得1222xxk,判断出P为AB的中点。
3.(江苏2008年16分)在平面直角坐标系xOy中,记二次函数2()fx2xxb(xR)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)?
请证明你的结论.【答案】解:
(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b)。
令fx220xxb,由题意b0且>0,解得b<1且b0。
(2)设所求圆的一般方程为2x2DEF0yxy令y=0得2DF0xx这与220xxb是同一个方程,故D=2,F=b。
令x=0得2E0yy,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1。
所以圆C的方程为222
(1)0xyxbyb。
(3)圆C必过定点,证明如下:
假设圆C过定点0000(,)(,)xyxyb不依赖于,将该点的坐标代入圆C的方程,并变形为20201902
(1)0xyxyby(*)为使(*)式对所有满足1(0)bb的b都成立,必须有010y,结合(*)式得20201920xyxy,解得00000211xxyy,-,或,,。
经检验知,点(0,1),(2,0)均在圆C上,因此圆C过定点。
【考点】二次函数的图象与性质,圆的标准方程。
【分析】
(1)由题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0,然后抛物线与x轴有两个交点即令0fx的根的判别式大于0,即可求出b的范围。
(2)设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知:
令y=0得到与0fx一样的方程;令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程。
(3)设圆的方程过定点00(,)xy,将其代入圆的方程得20201902
(1)0xyxyby,因为00,xy不依赖于b得取值,所以得到010y即0y=1,代入20201920xyxy中即可求出定点的坐标。
4.(江苏2009年16分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆221C:
(3)
(1)4xy和圆222:
(4)(5)4Cxy.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆1C截得的弦长为23,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l,它们分别与圆1C和圆2C相交,且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
【答案】解:
(1)设直线l的方程为:
(4)ykx,即40kxyk,由垂径定理,得:
圆心1C到直线l的距离22234()12d由点到直线距离公式,得:
2|314|k1,1kk化简得:
22470kk,解得0k或724k。
当0k时,直线l的方程为0y;当724k时,直线l的方程为7(244)yx,即724280xy。
所求直线l的方程为0y或724280xy。
(2)设点P坐标为(,)mn,直线1l、2l的方程分别为:
1(),()ynkxmynxmk,即:
110,0kxynkmxynmkk。
∵直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等,两圆半径相等,由垂径定理,得:
圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等。
224k1k|5||31|111nmknkmkk,化简得:
(2)3mnkmn或(8)5mnkmn。
∵关于k的方程有无穷多解,2030mnmn或8050mnmn。
解之得:
点P坐标为313(,)22或51(,)22。
【考点】直线的一般式方程,直线和圆的方程的应用。
【分析】
(1)因为直线l过点A(4,0),故可以设出直线l的点斜式方程,又由直线被圆C1截得的弦长为23,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距,即圆心到直线的距离,得到一个关于直线斜率k的方程,解方程求出k值,代入即得直线l的方程。
(2)与
(1)相同,我们可以设出过P点的直线1l与1l的点斜式方程,由直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等,两圆半径相等,得到一个关于直线斜率k的方程。
由存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l,故关于k的方程有无穷多解。
因此得方程组求解即可。
5、(2019江苏卷17)17.本小题满分14分。
如图,在平面直角坐标系xOy中,点)3,0(A,直线42:
xyl,设圆C的半径为1,圆心在l上。
(1)若圆心C也在直线1xy上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MOMA2,求圆心C的横坐标a的取值范围。
xyAlO答案:
17.解:
(1)由142xyxy得圆心C为(3,2),∵圆C的半径为1圆C的方程为:
1)2()3(22yx显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为3kxy,即03ykx113232kk1132kk0)34(k2k0k或者43k所求圆C的切线方程为:
3y或者343xy即3y或者01243yx
(2)解:
∵圆C的圆心在在直线42:
xyl上,所以,设圆心C为(a,2a-4)则圆C的方程为:
1)42()(22ayax又∵MOMA2设M为(x,y)则22222)3(yxyx整理得:
4)1(22yx设为圆D点M应该既在圆C上又在圆D上即:
圆C和圆D有交点2(12)1()41222aa由08852aa得Rx由01252aa得5120x终上所述,a的取值范围为:
512,0
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