高考数学理科一轮复习基本不等式及其应用学案有答案.docx
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高考数学理科一轮复习基本不等式及其应用学案有答案
高考数学(理科)一轮复习基本不等式及其应用学案有答案
学案36 基本不等式及其应用
导学目标:
1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
自主梳理
1.基本不等式ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件:
____________.
(2)等号成立的条件:
当且仅当________时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥________(a,b∈R).
(2)ba+ab≥____(a,b同号).
(3)ab≤a+b22(a,b∈R).
(4)a+b22____a2+b22.
3.算术平均数与几何平均数
设a0,b0,则a,b的算术平均数为________,几何平均数为________,基本不等式可叙述为:
________________________________________________.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x0,y0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当________时,x+y有最____值是________(简记:
积定和最小).
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当________时,xy有最____值是__________(简记:
和定积最大).
自我检测
1.“ab0”是“aba2+b22”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.(2011南平月考)已知函数f(x)=12x,a、b∈(0,+∞),A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,则A、B、C的大小关系是( )
A.A≤B≤CB.A≤C≤B
C.B≤C≤AD.C≤B≤A
3.下列函数中,最小值为4的函数是( )
A.y=x+4x
B.y=sinx+4sinx(0xπ)
C.y=ex+4e-x
D.y=log3x+logx.(2011大连月考)设函数f(x)=2x+1x-1(x0),则f(x)有最________值为________.
5.(2010山东)若对任意x0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围为________________.
探究点一 利用基本不等式求最值
例1
(1)已知x0,y0,且1x+9y=1,求x+y的最小值;
(2)已知x54,求函数y=4x-2+14x-5的最大值;
(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
变式迁移1 (2011重庆)已知a0,b0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是( )
A.72B.2D.5
探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用
例2 已知a0,b0,a+b=1,求证:
(1+1a)(1+1b)≥9.
变式迁移2 已知x0,y0,z0.
求证:
yx+zxxy+zyxz+yz≥探究点三 基本不等式的实际应用
例3 (2011镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:
元).
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;
(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?
最少值是多少?
(注:
平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)
变式迁移3 (2011广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
(注:
利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
1.a2+b2≥2ab对a、b∈R都成立;a+b2≥ab成立的条件是a,b∈R+;ba+ab≥2成立的条件是ab0,即a,b同号.
2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值.
3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数y=ax+bx,当a0,b0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当a0,b0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;当a0,b0时函数在-ba,0,0,ba上是减函数,在-∞,-ba,ba,+∞上是增函数;当a0,b0时,可作如下变形:
y=--ax+-bx来解决最值问题.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设a0,b0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为( )
A.8B.4C.1D2.(2011鞍山月考)已知不等式(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
3.已知a0,b0,则1a+1b+2ab的最小值是( )
A.2B.22C.4D.5
4.一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400km,为了安全,两列车之间的距离不得小于a202km,那么这批货物全部运到B市,最快需要( )
A.6hB.8hC.10hD.12.(2011宁波月考)设x,y满足约束条件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为( )
A.256BD.4
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2010浙江)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.
7.(2011江苏)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2x的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是________.
8.已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围为__________________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)
(1)已知0x43,求x(4-3x)的最大值;
(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动,求2x+4y的最小值.
10.(12分)(2011长沙月考)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y=920vv2+3v+1600(v0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?
最大车流量为多少?
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?
.(14分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管).
(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式;
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值.
学案36 基本不等式及其应用
自主梳理
1.
(1)a0,b0
(2)a=b 2.
(1)2ab
(2)2 (4)≤
3.a+b2 ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.
(1)x=y 小 2p
(2)x=y 大 p24
自我检测
1.A 2.A .大 -22-1 5.[15,+∞)
课堂活动区
例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件.
解
(1)∵x0,y0,1x+9y=1,
∴x+y=(x+y)1x+9y
=yx+9xy+10≥6+10=当且仅当yx=9xy时,上式等号成立,又1x+9y=1,
∴x=4,y=12时,(x+y)min=
(2)∵x54,∴5-4x0.
y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3
≤-25-4x15-4x+3=1,
当且仅当5-4x=15-4x,
即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.
(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,
∴2y+8x=1.
∴x+y=(x+y)8x+2y=10+8yx+2xy
=10+24yx+xy
≥10+2×2×4yxxy=18,
当且仅当4yx=xy,即x=2y时取等号.
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6.
∴当x=12,y=6时,x+y取最小值变式迁移1 C [∵a+b=2,∴a+b2=1.
∴1a+4b=(1a+4b)(a+b2)=52+(2ab+b2a)≥52+22abb2a=92(当且仅当2ab=b2a,即b=2a时,“=”成立),故y=1a+4b的最小值为92.]
例2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷的方法.
在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否有误的一种方法.
证明 方法一 因为a0,b0,a+b=1,
所以1+1a=1+a+ba=2+ba.
同理1+1b=2+ab.
所以(1+1a)(1+1b)=(2+ba)(2+ab)
=5+2(ba+ab)≥5+4=9.
所以(1+1a)(1+1b)≥9(当且仅当a=b=12时等号成立).
方法二 (1+1a)(1+1b)=1+1a+1b+1ab
=1+a+bab+1ab=1+2ab,
因为a,b为正数,a+b=1,
所以ab≤(a+b2)2=14,于是1ab≥4,2ab≥8,
因此(1+1a)(1+1b)≥1+8=9(当且仅当a=b=12时等号成立).
变式迁移2 证明 ∵x0,y0,z0,
∴yx+zx≥2yzx0,
xy+zy≥2xzy0,
xz+yz≥2xyz0.
∴yx+zxxy+zyxz+yz
≥8yzxzxyxyz=8.
当且仅当x=y=z时等号成立.
所以(yx+zx)(xy+zy)(xz+yz)≥8.
例3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为:
由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论
2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:
(1)先理解题意,设变量,一般把要求最值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问题;(3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案.
解
(1)依题意得
y=(560+48x)+2160×100002000x
=560+48x+10800x(x≥10,x∈N*).
(2)∵x0,∴48x+10800x
≥248×10800=1440,
当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”,
此时,平均综合费用的最小值为560+1440=2000(元).
答 当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元.
变式迁移3 解
(1)由题意可设3-x=kt+1,
将t=0,x=1代入,得k=2.∴x=3-2t+1.
当年生产x万件时,
∵年生产成本=年生产费用+固定费用,
∴年生产成本为32x+3=323-2t+1+3.
当销售x(万件)时,年销售收入为
150%323-2t+1+3+12t.
由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润y=-t2+98t+352t+1(t≥0).
(2)y=-t2+98t+352t+1=50-t+12+32t+1
≤50-2t+12×32t+1=50-216=42(万元),
当且仅当t+12=32t+1,即t=7时,ymax=42,
∴当促销费投入7万元时,企业的年利润最大.
课后练习区
1.B [因为3a3b=3,所以a+b=1,
1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab
≥2+2baab=4,当且仅当ba=ab即a=b=12时,“=”成立.]
2.B [不等式(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a+yx+axy≥a+2a+1≥9,
∴a≥2或a≤-4(舍去).
∴正实数a的最小值为4.]
3.C [因为1a+1b+2ab≥21ab+2ab
=21ab+ab≥4,当且仅当1a=1b且1ab=ab,
即a=b=1时,取“=”号.]
4.B [第一列货车到达B市的时间为400ah,由于两列货车的间距不得小于a202km,所以第17列货车到达时间为400a+16a202a=400a+16a400≥8,当且仅当400a=16a400,即a=100km/h时成立,所以最快需要8h.]
5.A
6.18
解析 由x0,y0,2x+y+6=xy,得
xy≥22xy+6(当且仅当2x=y时,取“=”),
即(xy)2-22xy-6≥0,
∴(xy-32)(xy+2)≥0.
又∵xy0,∴xy≥32,即xy≥故xy的最小值为.4
解析 过原点的直线与f(x)=2x交于P、Q两点,则直线的斜率k0,设直线方程为y=kx,由y=kx,y=2x,得x=2k,y=2k或x=-2k,y=-2k,
∴P(2k,2k),Q(-2k,-2k)或P(-2k,-2k),Q(2k,2k).
∴|PQ|=2k+2k2+2k+2k2
=22k+1k≥.(-∞,22-1)
解析 由f(x)0得32x-(k+1)3x+20,解得k+13x+23x,而3x+23x≥22,∴k+122,k22-.解
(1)∵0x43,∴03x4.
∴x(4-3x)=13(3x)(4-3x)≤133x+4-3x22=43,(4分)
当且仅当3x=4-3x,即x=23时,“=”成立.
∴当x=23时,x(4-3x)的最大值为43.(6分)
(2)已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,∴x+2y=3.
∴2x+4y≥22x4y=22x+2y=223=42.
(10分)
当且仅当2x=4y,x+2y=3,即x=32,y=34时,“=”成立.
∴当x=32,y=34时,2x+4y的最小值为42.
(12分)
10.解
(1)y=920vv2+3v+1600=920v+1600v+3≤
9202v×1600v+3=92083≈11.08.(4分)
当v=1600v,即v=40千米/小时时,车流量最大,最大值为11.08千辆/小时(6分)
(2)据题意有920vv2+3v+1600≥10,(8分)
化简得v2-89v+1600≤0,即(v-25)(v-64)≤0,
所以25≤v≤所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内.
(12分)
11.解
(1)每次购买原材料后,当天用掉的400千克原材料不需要保管费,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x-1)天.
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]
=6x2-6x.(6分)
(2)由
(1)可知,购买一次原材料的总费用为6x2-6x+600+1.5×400x,
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y=1x(6x2-6x+600)+1.5×400=600x+6x+594.(9分)
∴y≥2600x6x+594=714,(12分)
当且仅当600x=6x,即x=10时,取等号.
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小,且最小为714元.(14分)
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