高中数学全参数方程知识点大全.docx
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高中数学全参数方程知识点大全
实用标准
高考复习之参数方程
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参
数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的
参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式过点Po(x0,y0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
x
x0
tcosa
为参数)
(t
y
y0
tsina
(2)一般式
过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=b的直线的参数方程是
a
x
x0
at
(t不参数)②
y
y0
bt
在一般式②中,参数t
不具备标准式中
t的几何意义,若a2+b2=1,②即为标准式,此
时,|t|表示直线上动点
P到定点P0的距离;若
a2+b2≠1,则动点P到定点P0的距离是
a2
b2|t|.
直线参数方程的应用
设过点P(x,y
),倾斜角为α的直线l的参数方程是
0
0
0
x
x0
tcosa
(t为参数)
y
y0
tsina
若P、P
是l
上的两点,它们所对应的参数分别为
t,t
,则
1
2
1
2
(1)P1、P2两点的坐标分别是
(x0+t1cosα,y0+t1sinα)
(x0+t2cosα,y0+t2sinα);
(2)|P1P2|=|t1-t2|;
(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t,则
t=
t1
t2
2
中点
t1
t2
|
P到定点P的距离|PP|=|t|=|
0
0
2
(4)若P0为线段P1P2的中点,则
t1+t2=0.
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2.圆锥曲线的参数方程
(1)
圆
x
a
rcos
圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是
b
(φ是参数)
y
rsin
φ是动半径所在的直线与
x轴正向的夹角,φ∈[0,2
π](见图)
(2)
椭圆
椭圆x2
y2
1(a>b>0)的参数方程是
a2
b2
xacos
ybsin(φ为参数)
椭圆
y2
y
2
(a>b>0)的参数方程是
a
1
2
b2
xbcos
(φ为参数)
yasin
3.极坐标
极坐标系在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴.
①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.
点的极坐标设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
x
cos
2
x2
y2
y
y
sin'
tg
0)
(x
x
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化
例1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最
短和最长.
解:
将圆的方程化为参数方程:
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x25cos
(为参数)
y15sin
则圆上点P坐标为(2+5cos,1+5sin),它到所给直线之距离
120cos
15sin
30
d=
42
32
故当cos(φ-θ)=1,即φ=θ时,d最长,这时,点A坐标为(6,4);当cos(φ-θ)=-1,
即θ=φ-π时,d最短,这时,点
B坐标为(-2,2).
(二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化
说明
这部分内容自1986
年以来每年都有一个小题,而且都以选择填空题出现.
例2
极坐标方程ρ=
1
所确定的图形是(
)
2
3sin
cos
A.直线
B.椭圆
C.双曲
D.抛物
线
1
1
1
解:
ρ=
2
3
1cos
2[1(
)]
1
sin(
)
2
2
6
(三)综合例题赏析
例3
x
3cos
(
是参数)的两个焦点坐标是
椭圆
1
(
)
y
5sin
A.(-3,5),(-3,-3)
B.(3,3),(3,-5)
C.(1,1),(-7,1)
D.(7,-1),(-1,-1)
解:
化为普通方程得
(x
3)
2
(y
1)2
9
1
25
∴a2=25,b2=9,得c2=16,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy坐标系中,两焦点坐标是
(3,3)和(3,-5).
应选B.
例4参数方程
x
cos
sin
2
2(0
2)表示
y
1(1
sin)
2
A.双曲线的一支,这支过点
(1,1)
B.抛物线的一部分,这部分过
(1,
2
1)
2
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C.双曲线的一支,这支过(-1,1)D.抛物线的一部分,这部分过(-1,
2
1)
2
解:
由参数式得x2=1+sinθ=2y(x>0)
即y=1x2(x>0).
2
∴应选B.
例5
x
sin
()
在方程
(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是
y
cos
A.(2,-7)
B.(1,2
)
C.(1,1)
D.(1,0)
3
3
2
2
解:
y=cos2=1-2sin2
=1-2x2
将x=1代入,得y=1
22
∴应选C.
例6下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是()
x
t
x
cost
x
tgt
C.
A.
B.
y
cos2t
1
cos2t
y
t
y
1
cos2t
xtgt
D.1cos2ty
1cos2t
解:
普通方程x2-y中的x∈R,y≥0,A.中x=|t|≥0,B.中x=cost∈〔-1,1〕,故排
除A.和B.
2cos2t
2
t=
1
1
2
C.中y=
2
t
=ctg
2
t
x
2
=,即xy=1,故排除C.
2sin
tg
∴应选D.
例7
曲线的极坐标方程ρ
=4sin
θ化成直角坐标方程为()
A.x2
+(y+2)2=4
B.x
2+(y-2)
2=4
C.(x-2)2+y2=4
D.(x+2)2
+y2=4
解:
将ρ=
x2
y2,sinθ=
y
代入ρ=4sinθ,得x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.
x2y2
∴应选B.
例8极坐标ρ=cos()表示的曲线是()
4
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆
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解:
原极坐标方程化为ρ=
1
2
(cosθ+sinθ)22=ρcosθ+ρsinθ,
∴普通方程为2(x2+y2)=x+y,表示圆.
应选D.
例9在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()
A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2D.ρcosθ=-4
例9图
解:
如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO⊥OX,OA为直径,|OA|=4,l和圆相切,
l交极轴于B(2,0)点P(ρ,θ)为l上任意一点,则有
cosθ=OB
2,得ρcosθ=2,
OP
∴应选B.
例10
4ρsin2
2=5表示的曲线是(
)
A.圆
B.
椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物
线
解:
4ρsin2
2=5
4ρ·cos
2
1
2
2
cos
5.
把ρ=
x2
y2
ρcosθ=x,代入上式,得
2x2
y2
=2x-5.
平方整理得y2=-5x+25..它表示抛物线.
4
∴应选D.
例11
极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是(
)
A.两条射线
B.
两条相交直线
C.圆
D.抛物
线
2
y2
2
2
3x,它表示两相交直线.
解:
由4sin
θ=3,得4·x2
y2
=3,
即y=3x
,y=±
∴应选B.
四、能力训练
(一)选择题
1.极坐标方程ρcosθ=4表示()
3
A.一条平行于x轴的直线B.一条垂直于x轴的直线
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C.一个圆D.一条抛物线
2.直线:
3x-4y-9=0与圆:
x
2cos
(为参数)的位置关系是()
y
2sin
A.相切
B.
相离
C.直线过圆心
D.相交但直
线不过圆心
3.若(x,y)与(ρ,θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标,
t表示参数,则下列
各组曲线:
①θ=
和sinθ=1;②θ=
和tgθ=
3,③ρ2-9=0和ρ=3;④
6
2
6
3
x
2
2
t
2
和x
2
2t
y
31t
y
3
t
2
其中表示相同曲线的组数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
4.设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)两点的极坐标同时满足下列关系:
ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=0,
则M,N两点位置关系是(
)
A.重合
B.关于极点对称
C.关于直线θ=
D.关于极轴
2
对称
5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
6.经过点M(1,5)且倾斜角为
的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程
3
是()
x11t
x11t
x11t
A.
2
B.
2
C.
2
3
3
3
y
t
t
t
5
y5
y5
2
2
2
y
1
3t
D.
2
x
5
1
t
2
m22m
7.将参数方xam22m2
yb
2m
2
m2
2m2
(m是参数,ab≠0)化为普通方程是()
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x2
y2
1(x
a)
x2
y2
1(x
a)
A.
b2
B.
b2
a2
a2
C.x2
y2
1(
x
)
x2
y2
1(x
a)
a2
b2
a
D.
b2
a2
8.已知圆的极坐标方程ρ
=2sin(θ+
),则圆心的极坐标和半径分别为
()
6
A.(1,
),r=2
B.(1,
),r=1
C.(1,
),r=1
D.(1,
3
6
3
-),r=2
3
x
1
t
为参数)所表示的曲线是()
9.参数方程
t(t
y
2
A.一条射线
B.
两条射线
C.一条直线
D.
两条
直线
x2tg
10.双曲线(θ为参数)的渐近线方程为()
y
1
2sec
A.y-1=
1(x
2)
B.y=
1x
C.y-1=
2(x
2)
2
2
D.y+1=2(x
2)
11.若直线
x
4
at((t
为参数)与圆x2+y2-4x+1=0相切,则直线的倾斜角为
(
)
y
bt
A.
B.
2
C.
或2
D.
3
3
3
3
3
或5
3
x
2pt2
为参数)上的点M,N对应的参数分别为
t1,t
2,且t1+t2=0,
12.已知曲线
(t
y
2pt
那么M,N间的距离为(
)
A.2p(t1+t2)
B.2p(t
2
2
C.
│
2p(t
1-t
2)
│
1+t2)
D.2p(t1-t2)2
13.若点P(x,y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动,
点M(-2xy,y2-x
2)也在单位
圆上运动,其运动规律是
()
A.角速度ω,顺时针方向
B.角速度ω,逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向
D.角速度2ω,逆时针方向
14.抛物线y=x2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin
2θ与x轴两个交点距离的最大值是
(
)
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A.5
B.10
C.2
3
D.3
15.直线ρ=
3
与直线l
关于直线θ=
(ρ∈R)对称,则l的方程是()
2cossin
4
A.
3
B.
3
sin
2cos
cos
2cos
C.
3
D.
3
2sin
cos
2sin
cos
(二)填空题
x
3
4t
16.若直线l
的参数方程为
5
(t
为参数),则过点(4,-1)
且与l平行的直线
3t
y
2
5
在y轴上的截距为
.
x
cos
cos
17.
参数方程
1
(
为参数)化成普通方程为
.
sin
y
cos
1
18.
极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是
.
19.
x
13t
(t为参数)的倾斜角为
;直线上一点P(x
,y)与点M(-1,
直线
2
3t
y
2)的距离为
.
(三)解答题
20.
设椭圆
x
4cos
(θ为参数)上一点P,若点P在第一象限,且∠xOP=
,求
y
23sin
3
点P的坐标.
21.
曲线C的方程为
x
2pt2
y
(p>0,t为参数),当t∈[-1,2]时,曲线C的端
2pt
点为A,B,设F是曲线C的焦点,且S=14,求P的值.
△AFB
22.
已知椭圆x2
y2
=1及点B(0,-2),过点B作直线BD,与椭圆的左
半部分交于
C、
2
D两点,又过椭圆的右焦点
F
2作平行于BD的直线,交椭圆于
G,H两点.
(1)试判断满足│
2
BD是否存在?
并说明理
BC│·│BD│=3│GF│·│F2H│成立的直线
由.
(2)若点M为弦CD的中点,S△BMF2=2,试求直线BD的方程.
x84sec
23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线(θ为参数)的左焦点
y3tg
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和左顶点,且焦点到相应
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