中考数学分类专题之方案型.docx
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中考数学分类专题之方案型
2013年中考数学分类专题之方案型
一.选择题
6.(2013齐齐哈尔)假期到了,17名女教师去外地培训,住宿时有2人间和3人间可供租住,每个房间都要住满,她们有几种租住方案( )
A.5种B.4种C.3种D.2种
考点:
二元一次方程的应用;方案型.
分析:
设住3人间的需要x间,住2人间的需要y间,根据总人数是17人,列出不定方程,解答即可.
解答:
解:
设住3人间的需要有x间,住2人间的需要有y间,
3x+2y=17,
因为,2y是偶数,17是奇数,
所以,3x只能是奇数,即x必须是奇数,
当x=1时,y=7,
当x=3时,y=4,
当x=5时,y=1,
综合以上得知,第一种是:
1间住3人的,7间住2人的,
第二种是:
3间住3人的,4间住2人的,
第三种是:
5间住3人的,1间住2人的,
答:
有3种不同的安排.
故选:
C.
点评:
此题主要考查了二元一次方程的应用,解答此题的关键是,根据题意,设出未知数,列出不定方程,再根据不定方程的未知数的特点解答即可.
二.填空题
三.解答题
23.(2013义乌)为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数,下表提供了部分采购数据.
(1)设A产品的采购数量为x(件),采购单价为y1(元/件),求y1与x的关系式;
(2)经商家与厂家协商,采购A产品的数量不少于B产品数量的
,且A产品采购单价不低于1200元,求该商家共有几种进货方案;
(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A,B两种产品,且全部售完,在
(2)的条件下,求采购A种产品多少件时总利润最大,并求最大利润.
考点:
二次函数的应用;方案型;二次函数的最值;最值问题.
分析:
(1)设y1与x的关系式y1=kx+b,由表列出k和b的二元一次方程,求出k和b的值,函数关系式即可求出;
(2)首先根据题意求出x的取值范围,结合x为整数,即可判断出商家的几种进货方案;
(3)令总利润为W,根据利润=售价﹣成本列出W与x的函数关系式W=30x2﹣540x+1200,把一般式写成顶点坐标式,求出二次函数的最值即可.
解答:
解:
(1)设y1与x的关系式y1=kx+b,
由表知
,
解得k=﹣20,b=1500,
即y1=﹣20x+1500(0<x≤20,x为整数),
(2)根据题意可得
,
解得11≤x≤15,
∵x为整数,
∴x可取的值为:
11,12,13,14,15,
∴该商家共有5种进货方案;
(3)解法一:
令总利润为W,
则W=30x2﹣540x+1200,
=30(x﹣9)2+9570,
∵a=30>0,
∴当x≥9时,W随x的增大而增大,
∵11≤x≤15,
∴当x=15时,W最大=10650;
解法二:
根据题意可得B产品的采购单价可表示为:
y2=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100,
则A、B两种产品的每件利润可分别表示为:
1760﹣y1=20x+260,
1700﹣y2=﹣10x+600,
则当20x+260>﹣10x+600时,A产品的利润高于B产品的利润,
即x>
=11
时,A产品越多,总利润越高,
∵11≤x≤15,
∴当x=15时,总利润最高,
此时的总利润为(20×15+260)×15+(﹣10×15+600)×5=10650.
点评:
本题主要考查二次函数的应用的知识点,解答本题的关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式,会表达单件的利润及总利润,此题难度一般.
24.(2013龙岩)某公司欲租赁甲、乙两种设备,用来生产A产品80件、B产品100件.已知甲种设备每天租赁费为400元,每天满负荷可生产A产品12件和B产品10件;乙种设备每天租赁费为300元,每天满负荷可生产A产品7件和B产品10件.
(1)若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产,则需租赁甲、乙两种设备各多少天恰好完成生产任务?
(2)若甲种设备最多只能租赁5天,乙种设备最多只能租赁7天,该公司为确保完成生产任务,决定租赁这两种设备合计10天(两种设备的租赁天数均为整数),问该公司共有哪几种租赁方案可供选择?
所需租赁费最少是多少?
考点:
一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式组的应用;方案型;最值问题.
分析:
(1)设需租赁甲、乙两种设备分别为x、y天,然后根据生产A、B产品的件数列出方程组,求解即可;
(2)设租赁甲种设备a天,表示出乙种设备(10﹣a)天,然后根据租赁两种设备的天数和需要生产的A、B产品的件数列出一元一次不等式组,求出解集,再根据天数a是正整数设计租赁方案,然后求出各种方案的费用或列出关于费用的一次函数,然后根据一次函数的增减性确定租赁费用最少的方案.
解答:
解:
(1)设需租赁甲、乙两种设备分别为x、y天,
则依题意得
,
解得
,
答:
需租赁甲种设备2天、乙种设备8天;
(2)设租赁甲种设备a天、乙种设备(10﹣a)天,总费用为w元,
根据题意得,
,
∴3≤a≤5,
∵a为整数,
∴a=3、4、5,
方法一:
∴共有三种方案.
方案
(1)甲3天、乙7天,总费用400×3+300×7=3300;
方案
(2)甲4天、乙6天,总费用400×4+300×6=3400;
方案(3)甲5天、乙5天,总费用400×5+300×5=3500;
∵3300<3400<3500,
∴方案
(1)最省,最省费用为3300元;
方法二:
则w=400a+300(10﹣a)=100a+3000,
∵100>0,
∴w随a的增大而增大,
∴当a=3时,w最小=100×3+3000=3300,
答:
共有3种租赁方案:
①甲3天、乙7天;②甲4天、乙6天;③甲5天、乙5天.最少租赁费用3300元.
点评:
本题考查了一次函数的应用,二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用,读懂题目信息,准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键.
21.(2013昆明)某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生,在购买时发现,每本笔记本可以打九折,用360元钱购买的笔记本,打折后购买的数量比打折前多10本.
(1)求打折前每本笔记本的售价是多少元?
(2)由于考虑学生的需求不同,学校决定购买笔记本和笔袋共90件,笔袋每个原售价为6元,两种物品都打九折,若购买总金额不低于360元,且不超过365元,问有哪几种购买方案?
考点:
分式方程的应用;一元一次不等式组的应用;应用题;方案型.
分析:
(1)设打折前售价为x,则打折后售价为0.9x,表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量,再由打折后购买的数量比打折前多10本,可得出方程,解出即可;
(2)设购买笔记本y件,则购买笔袋(90﹣y)件,根据购买总金额不低于360元,且不超过365元,可得出不等式组,解出即可.
解答:
解:
(1)设打折前售价为x,则打折后售价为0.9x,
由题意得,
+10=
,
解得:
x=4,
经检验得:
x=4是原方程的根,
答:
打折前每本笔记本的售价为4元.
(2)设购买笔记本y件,则购买笔袋(90﹣y)件,
由题意得,360≤4×0.9×y+6×0.9×(90﹣y)≤365,
解得:
67
≤y≤70,
∵x为正整数,
∴x可取68,69,70,
故有三种购买方案:
方案一:
购买笔记本68本,购买笔袋22个;
方案二:
购买笔记本69本,购买笔袋21个;
方案三:
购买笔记本70本,购买笔袋20个;
点评:
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用,解答此类应用类题目,一定要先仔细审题,有时需要读上几遍,找到解题需要的等量关系或不等关系.
22.(2013云南省)某中学为了绿化校园,计划购买一批棕树和香樟树,经市场调查榕树的单价比香樟树少20元,购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元.
(1)请问榕树和香樟树的单价各多少?
(2)根据学校实际情况,需购买两种树苗共150棵,总费用不超过10840元,且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍,请你算算,该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案.
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用;方案型.
分析:
(1)设榕树的单价为x元/棵,香樟树的单价是y元/棵,然后根据单价之间的关系和340元两个等量关系列出二元一次方程组,求解即可;
(2)设购买榕树a棵,表示出香樟树为(150﹣a)棵,然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组,求出a的取值范围,在根据a是正整数确定出购买方案.
解答:
解:
(1)设榕树的单价为x元/棵,香樟树的单价是y元/棵,
根据题意得,
,
解得
,
答:
榕树和香樟树的单价分别是60元/棵,80元/棵;
(2)设购买榕树a棵,则购买香樟树为(150﹣a)棵,
根据题意得,
,
解不等式①得,a≥58,
解不等式②得,a≤60,
所以,不等式组的解集是58≤a≤60,
∵a只能取正整数,
∴a=58、59、60,
因此有3种购买方案:
方案一:
购买榕树58棵,香樟树92棵,
方案二:
购买榕树59棵,香樟树91棵,
方案三:
购买榕树60棵,香樟树90棵.
点评:
本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系和不等关系.
19.(2013自贡)某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间,据统计该校高一年级男生740人,使用了55间大寝室和50间小寝室,正好住满;女生730人,使用了大寝室50间和小寝室55间,也正好住满.
(1)求该校的大小寝室每间各住多少人?
(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间,问该校有多少种安排住宿的方案?
考点:
二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用;方案型.
分析:
(1)首先设该校的大寝室每间住x人,小寝室每间住y人,根据关键语句“高一年级男生740人,使用了55间大寝室和50间小寝室,正好住满;女生730人,使用了大寝室50间和小寝室55间,也正好住满”列出方程组即可;
(2)设大寝室a间,则小寝室(80﹣a)间,由题意可得a≤80,再根据关键语句“高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间”可得不等式8a+6(80﹣a)≥630,解不等式组即可.
解答:
解:
(1)设该校的大寝室每间住x人,小寝室每间住y人,由题意得:
,
解得:
,
答:
该校的大寝室每间住8人,小寝室每间住6人;
(2)设大寝室a间,则小寝室(80﹣a)间,由题意得:
,
解得:
80≥a≥75,
①a=75时,80﹣75=5,
②a=76时,80﹣a=4,
③a=77时,80﹣a=3,
④a=78时,80﹣a=2,
⑤a=79时,80﹣a=1,
⑥a=80时,80﹣a=0.
故共有6种安排住宿的方案.
点评:
此题主要考查了二元一次方程组的应用,以及一元一次不等式组的应用,关键是正确理解题意,抓住题目中的关键语句,列出方程和不等式.
21.(2013泸州)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)符合题意的组建方案有几种?
请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明
(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?
考点:
一元一次不等式组的应用;方案型;最值问题.
分析:
(1)设组建中型两类图书角x个、小型两类图书角(30﹣x)个,由于组建中、小型两类图书角共30个,已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.若组建一个中型图书角的费用是860本,组建一个小型图书角的费用是570本,因此可以列出不等式组
,解不等式组然后去整数即可求解.
(2)根据
(1)求出的数,分别计算出每种方案的费用即可.
解答:
解:
(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30﹣x)个.
由题意,得
,
化简得
,
解这个不等式组,得18≤x≤20.
由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20.
当x=18时,30﹣x=12;当x=19时,30﹣x=11;当x=20时,30﹣x=10.
故有三种组建方案:
方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;
方案二,中型图书角19个,小型图书角11个;
方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.
(2)方案一的费用是:
860×18+570×12=22320(元);
方案二的费用是:
860×19+570×11=22610(元);
方案三的费用是:
860×20+570×10=22900(元).
故方案一费用最低,最低费用是22320元.
点评:
此题主要考查了一元一次不等式组和一次函数在实际生活中的应用,解题的关键是首先正确理解题意,然后根据题目的数量关系列出不等式组解决问题,同时也利用了一次函数.
23.(2013遂宁)四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕,根据大会组委会安排,某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此,学校需要采购一批演出服装,A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解:
两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同,即男装每套120元,女装每套100元.经洽谈协商:
A公司给出的优惠条件是,全部服装按单价打七折,但校方需承担2200元的运费;B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折,公司承担运费.另外根据大会组委会要求,参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人,如果设参加演出的男生有x人.
(1)分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式;
(2)问:
该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算?
请说明理由.
考点:
一次函数的应用;方案型.
分析:
(1)根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分别表示出y1(元)和y2(元)与男生人数x之间的函数关系式;
(2)根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化,分情况讨论,当y1>y2时,当y1=y2时,当y1<y2时,求出x的范围就可以求出结论.
解答:
解:
(1)总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式分别是:
y1=0.7[120x+100(2x﹣100)]+2200=224x﹣4800,
y2=0.8[100(3x﹣100)]=240x﹣8000;
(2)由题意,得
当y1>y2时,即224x﹣4800>240x﹣8000,解得:
x<200
当y1=y2时,即224x﹣4800=240x﹣8000,解得:
x=200
当y1<y2时,即224x﹣4800<240x﹣8000,解得:
x>200
即当参演男生少于200人时,购买B公司的服装比较合算;
当参演男生等于200人时,购买两家公司的服装总费用相同,可任一家公司购买;
当参演男生多于200人时,购买A公司的服装比较合算.
点评:
本题考查了根据条件求一次函数的解析式的运用,运用不等式求设计方案的运用,解答本题时根据数量关系求出解析式是关键,建立不等式计算优惠方案是难点.
21.(2013攀枝花)某文具店准备购进甲,乙两种铅笔,若购进甲种钢笔100支,乙种铅笔50支,需要1000元,若购进甲种钢笔50支,乙种钢笔30支,需要550元.
(1)求购进甲,乙两种钢笔每支各需多少元?
(2)若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔,考虑顾客需求,要求购进甲中钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍,且不超过乙种钢笔数量的8倍,那么该文具店共有几种进货方案?
(3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元,销售每支乙种钢笔可获利润3元,在第
(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?
最大利润是多少元?
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用;方案型;最值问题.
分析:
(1)先设购进甲,乙两种钢笔每支各需a元和b元,根据购进甲种钢笔100支,乙种铅笔50支,需要1000元,若购进甲种钢笔50支,乙种钢笔30支,需要550元列出方程组,求出a,b的值即可;
(2)先设购进甲钢笔x支,乙钢笔y支,根据题意列出5x+10y=1000和不等式组6y≤x≤8y,把方程代入不等式组即可得出20≤y≤25,求出y的值即可;
(3)先设利润为W元,得出W=2x+3y=400﹣y,根据一次函数的性质求出最大值.
解答:
解:
(1)设购进甲,乙两种钢笔每支各需a元和b元,根据题意得:
,
解得:
,
答:
购进甲,乙两种钢笔每支各需5元和10元;
(2)设购进甲钢笔x支,乙钢笔y支,根据题意可得:
,
解得:
20≤y≤25,
∵x,y为整数,
∴y=20,21,22,23,24,25共六种方案,
∵5x=1000﹣10y>0,
∴0<y<100,
∴该文具店共有6种进货方案;
(3)设利润为W元,则W=2x+3y,
∵5x+10y=1000,
∴x=200﹣2y,
∴代入上式得:
W=400﹣y,
∵W随着y的增大而减小,
∴当y=20时,W有最大值,最大值为W=400﹣20=380(元).
点评:
本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用以及一次函数的应用,解题的关键是读懂题意,找出之间的数量关系,列出相应的方程,主要考查学生的理解能力和计算能力,有一定的难度.
24.(2013绵阳)“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆.
(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?
(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车进价为1000元/辆,售价为1300元/辆.根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍.假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?
考点:
一元二次方程的应用;一次函数的应用;方案型.
分析:
(1)首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率,然后求得4月份的销量即可;
(2)设A型车x辆,根据“A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组,求出x的取值范围;然后求出利润W的表达式,根据一次函数的性质求解即可.
解答:
解:
(1)设平均增长率为x,根据题意得:
64(1+x)2=100
解得:
x=0.25=25%或x=﹣2.25
四月份的销量为:
100(1+25%)=125辆,
答:
四月份的销量为125辆.
(2)设购进A型车x辆,则购进B型车
辆,
根据题意得:
2×
≤x≤2.8×
解得:
30≤x≤35.
利润W=(700﹣500)x+
(1300﹣1000)=900+50x.
∵50>0,∴W随着x的增大而增大.
当x=35时,
不是整数,故不符合题意,
∴x=34,此时
=13.
答:
为使利润最大,该商城应购进34辆A型车和13辆B型车.
点评:
本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用,解题关键是根据题意列出方程或不等式,这也是本题的难点.
22.(2013广安)某商场筹集资金12.8万元,一次性购进空调、彩电共30台.根据市场需要,这些空调、彩电可以全部销售,全部销售后利润不少于1.5万元,其中空调、彩电的进价和售价见表格.
设商场计划购进空调x台,空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元.
(1)试写出y与x的函数关系式;
(2)商场有哪几种进货方案可供选择?
(3)选择哪种进货方案,商场获利最大?
最大利润是多少元?
考点:
一次函数的应用;方案型;最值问题.
分析:
(1)y=(空调售价﹣空调进价)x+(彩电售价﹣彩电进价)×(30﹣x);
(2)根据用于一次性购进空调、彩电共30台,总资金为12.8万元,全部销售后利润不少于1.5万元.得到一元一次不等式组,求出满足题意的x的正整数值即可;
(3)利用y与x的函数关系式y=150x+6000的增减性来选择哪种方案获利最大,并求此时的最大利润即可.
解答:
解:
(1)设商场计划购进空调x台,则计划购进彩电(30﹣x)台,由题意,得
y=(6100﹣5400)x+(3900﹣3500)(30﹣x)=300x+12000;
(2)依题意,有
,
解得10≤x≤12
.
∵x为整数,
∴x=10,11,12.
即商场有三种方案可供选择:
方案1:
购空调10台,购彩电20台;
方案2:
购空调11台,购彩电19台;
方案3:
购空调12台,购彩电18台;
(3)∵y=300x+12000,k=300>0,
∴y随x的增大而增大,
即当x=12时,y有最大值,y最大=300×12+12000=15600元.
故选择方案3:
购空调12台,购彩电18台时,商场获利最大,最大利润是15600元.
点评:
本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用,难度适中,得出商场获得的利润y与购进空调x的函数关系式是解题的关键.在解答一次函数的应用问题中,要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义.
25.(2013山西省)某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案,印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示:
(1)填空:
甲种收费的函数关系式是.
乙种收费的函数关系式是.
(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算?
考点:
一次函数的应用;方案型;分类讨论.
分析:
(1)设甲种收费的函数关系式y1=kx+b,乙种收费的函数关系式是y2=k1x,直接运用待定系数法就可以求出结论;
(2)由
(1)的解析式分三种情况进行讨论,当y1>y2时,当y1=y2时,当y1<y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式.
解答:
解:
(1)设甲种收费的函数关系式y1=kx+b,乙种收费的函数关系式是y2=k1x,由题意,得
,12=100k1,
解得:
,k1=0.12,
∴y1=0.1x+6,y2=0.12x;
(2)由题意,得
当y1>y2时,0.1x+6>0.12x,得x<300;
当y1=y2时,0.1x+6=0.12x,得x=300;
当y1<y2时,0.1x+6<0.12x,得x>300;
∴当100≤x<300时,选择乙种方式合算;
当x=100时,甲、乙两种方式一样合算;
当300<x≤4500时,选择甲种方式合算.
故答案为:
y1=0.1x+6,y2=0.12x.
点评:
本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用,运用函数的解析式解答方案设计的运用,解答时求出函数解析式是关键,分类讨论设计方案是难点.
25.(2013太原)某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案,印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示:
(1)填空:
甲种收费的函数关系式是.
乙种收费的函数关系
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