青岛版八年级数学上册专题突破讲练如何选择参赛选手试题含答案.docx
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青岛版八年级数学上册专题突破讲练如何选择参赛选手试题含答案
如何选择参赛选手
一、方差、标准差的有关概念
1.方差:
设在一组数据
中,各数据与它们的平均数
的差的平方分别是
,那么我们求它们的平均数,即为
注意:
方差反映的是这组数据的波动大小,方差越大,数据波动越大,反之,越稳定。
如:
在方差的计算公式s
=
[(x
-20)
+(x
-20)
+……+(x
-20)
]中,数字10和20分别表示的意义是________。
解析:
10是对应公式中数据的个数,20是对应公式中的平均数。
2.标准差:
方差的算术平方根,我们把它称为这组数据的标准差,即
注意:
标准差反映的这组数据的波动情况,标准差越大,数据波动越大,反之,越稳定。
方法归纳:
方差、标准差的理解应注意以下几点:
方差
标准差
反映情况
数据的波动情况
数据的波动情况
单位与原数据的吻合情况
不一样
一样
二、方差、标准差的的求法
1.方差的求法:
计算方差的步骤为:
“先平均,后求差,平方后,再平均”。
如:
数据100,99,99,100,102,100的方差
=_________。
解:
“先平均”
“后求差”(100—100),(99—100),(99—100),(100—100),(102—100),(100—100)“平方后”
,
,
,
,
,
“再平均”
故填1。
2.标准差的求法:
对方差进行开方运算,取其算术平方根。
如:
若一组数据的方差为9,则标准差为。
解:
9的算术平方根为3,即这组数据的标准差为3
故填3。
例题1在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数
的差的绝对值的平均数,即
叫做这组数据的“平均差”。
“平均差”也能描述一组数据的离散程度。
“平均差”越大说明数据的离散程度越大。
因为“平均差”的计算要比方差的计算要容易一点,所以有时人们也用它来代替方差来比较数据的离散程度。
极差、方差(标准差)、平均差都是反映数据离散程度的量。
一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的重量的离散程度,因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况;为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况,在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞;分开养殖或出售;他从两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得重量如下:
(单位:
千克)
甲鱼塘:
3,5,5,5,7,7,5,5,5,3
乙鱼塘:
4,4,5,6,6,5,6,6,4,4
请分别计算出甲、乙两个鱼塘中抽取的样本的极差、方差、平均差;完成下面的表格:
极差
方差
平均差
甲鱼塘
乙鱼塘
解析:
根据极差的公式:
极差=最大值-最小值,找出所求数据中最大的值,最小值,再代入公式求值;方差就是各变量值与其平均值的差平方的平均数,根据方差公式计算即可,所以计算方差前要先算出平均数,然后再利用方差公式计算。
答案:
解:
甲组数据中最大的值7,最小值3,故极差=7-3=4,
,
,
组数据中最大的值6,最小值4,故极差=6-4=2;
,
S2乙=[(4-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(6-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(6-5)2+(4-5)2+(4-5)2]÷10=0.8,
极差
方差
平均差
甲鱼塘
4
1.6
0.8
乙鱼塘
2
0.8
0.8
点拨:
此题主要考查了方差与极差以及平均差的求法,极差反映了一组数据变化范围的大小,求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值;方差是各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。
例题2某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训,两人各射了5箭,他们的总成绩(单位:
环)相同,小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表,并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)。
甲、乙两人射箭成绩统计表:
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
(1)a=,
=;
(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线;
(3)①观察图,可看出的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)。
参照小宇的计算方法,计算乙成绩的方差,并验证你的判断。
②请你从平均数和方差的角度分析,谁将被选中。
解析:
(1)根据他们的总成绩相同,得出a=30-7-7-5-7=4环,进而得出。
=30÷5=6环;
(2)根据
(1)中所求得出a的值进而得出折线图即可;
(3)①观察图,即可得出乙的成绩比较稳定;②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同,根据方差得出乙的成绩比甲稳定,所以乙将被选中。
答案:
解:
(1)由题意得:
甲的总成绩是:
9+4+7+4+6=30环,
则a=30-7-7-5-7=4环,
=30÷5=6环,故答案为:
4环,6环;
(2)如图所示:
(3)①观察图,可看出乙的成绩比较稳定,故答案为:
乙;
因为乙的成绩为:
7,5,7,4,7,
=6环
所以
×[(7-6)2+(5-6)2+(7-6)2+(4-6)2+(7-6)2]=1.6环2
由于
,所以上述判断正确。
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同,根据方差
得出乙的成绩比甲的成绩稳定,所以乙将被选中。
点拨:
方差的定义以及折线图和平均数的意义,根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可。
在实际生活中的应用
学习方差,我们知道方差是反映一组数据波动大小的特征数,当一组数据的方差较小时,说明这组数据较稳定。
但在实际问题中,我们要根据具体问题具体分析,并不一定选择方差小的。
例题甲、乙两名射击选手各自射击十组,按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表:
选手组数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
98
90
87
98
99
91
92
96
98
96
乙
85
91
89
97
96
97
98
96
98
98
(1)根据上表数据,完成下列分析表:
平均数
众数
中位数
方差
极差
甲
94.5
96
16.65
12
乙
94.5
18.65
(2)如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛,应选哪一个?
为什么?
解析:
(1)分别根据众数、中位数和极差的概念填充表格即可;
(2)根据方差即可确定选择哪位选手参加比赛。
答案:
解:
(1)根据众数、中位数和极差的概念填充表格如下所示:
平均数
众数
中位数
方差
极差
甲
94.5
98
96
16.65
12
乙
94.5
98
96.5
18.65
13
(2)∵
,
∴甲的成绩比较稳定,
∴选择甲选手参加比赛。
点拨:
方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,方差越小,波动性越小,所以选择方差较小的,也就是发挥越稳定的选手参赛。
(答题时间:
45分钟)
一、选择题
1.为了解某射击运动员的射击成绩,从一次训练中随机抽取了该运动员的10次射击成绩,纪录如下;8,9,8,8,10,9,10,8,9,10。
这组数据的极差是( )
A.9B.8.9C.8D.2
*2.某特警部队为了选拔“神枪手”,举行了1000米射击比赛,最后由甲、乙两名战士进入决赛,在相同条件下,两人各射靶10次,经过统计计算,甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环,甲的方差是0.28,乙的方差是0.21,则下列说法中,正确的是( )
A.甲的成绩比乙的成绩稳定
B.乙的成绩比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人成绩的稳定性相同
D.无法确定谁的成绩更稳定
**3.某班期末英语考试的平均成绩为75分,方差为225,如果每名学生都多考5分,下列说法正确的是( )
A.平均分不变,方差不变B.平均分变大,方差不变
C.平均分不变,方差变大D.平均分变大,方差变大
**4.已知20个数据的平均数为6,且这20个数据的平方和为800,则这组数据的方差等于。
( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
5.数据-2,-1,0,3,5的方差是__________。
*6.已知一组数据5,8,10,x,9的众数是8,那么这组数据的方差是__________。
*7.甲、乙两名射击手的50次测试的平均成绩都是8环,方差分别是S甲2=0.4,S乙2=1.2,则成绩比较稳定的是_________甲(填“甲”或“乙”)
**8.一组数据1,3,2,5,x的平均数是3,则这组数据的标准差是__________。
三、解答题
9.已知A组数据如下:
0,1,-2,-1,0,-1,3
(1)求A组数据的平均数;
(2)从A组数据中选取5个数据,记这5个数据为B组数据,要求B组数据满足两个条件:
①它的平均数与A组数据的平均数相等;②它的方差比A组数据的方差大。
你选取的B组数据是__________-1,-2,3,-1,1,请说明理由。
10.甲,乙两支仪仗队队员的身高(单位:
厘米)如下:
甲队:
178,177,179,178,177,178,177,179,178,179;
乙队:
178,179,176,178,180,178,176,178,177,180;
(1)将下表填完整:
身高
176
177
178
179
180
甲队(人数)
3
4
0
乙队(人数)
2
1
1
(2)甲队队员身高的平均数为______厘米,乙队队员身高的平均数为_______厘米;
(3)你认为哪支仪仗队更为整齐?
简要说明理由。
*11.博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动。
这两位同学最近四次的数学测验成绩如下表:
(单位:
分)
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
75
70
85
90
乙
85
82
75
78
(1)根据表中数据,分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分。
(2)经计算,甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2=62.5,S乙2=14.5,你认为哪位同学的成绩较稳定?
请说明理由
**12.小华和小明参加某体育项目训练,近期的8次测试成绩(分)如下
(1)小华和小明近期的8次测试成绩,谁比较稳定?
(2)历届比赛表明,成绩达到13分就很可能夺冠,你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?
如果历届比赛成绩表明,成绩达到14分就能打破记录,那么你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛?
**13.小明同学参加某体育项目训练,将近期的十次测试成绩得分情况绘制成如图的扇形统计图,试求出十次成绩的平均数和方差
1.D解:
这组数据的最大数是10,最小数是8,
则这组数据的极差是10-8=2;
故选D。
2.B解:
∵甲的方差是0.28,乙的方差是0.21,
∴S甲2>S乙2,
∴乙的成绩比甲的成绩稳定;
故选B。
3.B解:
∵平均成绩为75分,每名学生都多考5分,
∴平均分增加5分,平均分变大,方差不变;
故选B。
4.D解:
∵
,
∴
=
=
=4
故选:
D。
5.
解析:
这组数据-2,-1,0,3,5的平均数是(-2-1+0+3+5)÷5=1,
则这组数据的方差是:
,
故答案为:
。
6.2.8解析:
∵一组数据5,8,10,x,9的众数是8,
∴x是8,
∴这组数据的平均数是(5+8+10+8+9)÷5=8,
∴这组数据的方差是:
故答案为:
2.8。
7.甲解析:
∵S甲2=0.4,S乙2=1.2,
∴S甲2<S乙2,
∴成绩比较稳定的是甲;
故答案为:
甲。
8.
解析:
由题意知:
x=15-(1+3+2+5)=4
方差
故五个数据的标准差是
故填
。
9.解:
(2)所选数据为-1,-2,3,-1,1;
理由:
其和为0,则平均数为0,
各数相对平均数0的波动比第一组大,故方差大。
故答案为:
-1,-2,3,-1,1。
(答案不唯一)
10.解:
(1)
身高
176
177
178
179
180
甲队(人数)
0
3
4
3
0
乙队(人数)
2
1
4
1
2
(2)
。
(3)甲仪仗队更为整齐。
理由如下:
;
;
因为甲,乙两支仪仗队队员身高数据的方差分别为0.6和1.8,
因此,可以认为甲仪仗队更为整齐。
(也可以根据甲,乙两队队员身高数据的极差分别为2厘米,4厘米判断)。
11.解:
(1)
,
,
(2)∵
∴
∴乙的成绩稳定,因为甲的方差大于乙的方差。
12.解:
(1)小明和小华8次成绩的平均数分别为:
×(10+10+11+10+16+14+16+17)=13,
×(11+13+13+12+14+13+15+13)=13,
小明和小华8次成绩的方差分别为:
,
;
∵S2>S'2,
∴小明近期的8次测试成绩,比较稳定;
(2)∵成绩达到13分的小华有4次,小明有6次,∴为了夺冠应选小明参加这项比赛;
∵成绩达到14分的小华有4次,小明有2次,∴为了打破记录应选小华参加这项比赛。
13.解:
由扇形统计图,可得这十次测试成绩得13分的有3次,得14分的有4次,得15分的有3次;则这十次测试成绩的平均数=(13×3+14×4+15×3)÷10=14(分),
方差为[3×(14-13)2+3×(15-14)2+4×(14-14)2]÷10=0.6。
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