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数模论文
2011年第八届苏北数学建模联赛
承诺书
我们仔细阅读了第八届苏北数学建模联赛的竞赛规则。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与本队以外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们的参赛报名号为:
3001
参赛组别(研究生或本科或专科):
本科组
参赛队员(签名):
队员1:
队员2:
队员3:
2011年第八届苏北数学建模联赛
编号专用页
参赛队伍的参赛号码:
(请各个参赛队提前填写好):
3001
竞赛统一编号(由竞赛组委会送至评委团前编号):
竞赛评阅编号(由竞赛评委团评阅前进行编号):
2011年第八届苏北数学建模联赛
题目:
高校综合奖学金的评定
摘要
目前基本上所有的高校都设立了奖学金机制,高等学校设立奖学金的目的是为了鼓励先进,鞭策后进,促进大学生全面素质的提高。
近年来,随着改革开放的不断深入,高等教育的教育思想、教育方式等均发生了深刻的变化,迫切要求加快对奖学金评定工作进行配套改革,通过奖优促劣,促使大学生发挥其最大的潜力和积极性。
目前奖学金主观评定方法存在着一些不完善的地方:
1.对奖学金评定工作的具体实施缺少科学的方法,常常导致主观分评定标准的不同,给同年级同专业统一评定工作带来了较大的难度。
2.主观分缺乏说服力,也容易造成“暗箱”操作,无法保证公平和公正;3.由于主观因素可以左右奖学金的等级,学生无法及早规划自己的目标,无法及早发现自己在素质教育中存在的不足。
所以为了减小评定奖学金中的不足,我们利用了模糊数学的理论和层次分析法对学生的综合素质进行评判,以便提高评定的公平性,和准确性。
首先对于综合成绩的判定,我们利用了层次分析法将影响的综合成绩的因素“考试课成绩”和“考查课成绩”进行层次化分析,求出它们的权重,进而细分它们,作二级层次分析,对于考试课,因为每一科都有具体的学分和分数,所以可以直接计算权重,而对于考查课由于没有具体的分数只有“优秀”、“良好”、“中等”、“合格”等指标条件,所以我们对其进行了模糊分析,将每一个指标都定量化,进而求出它们的权重。
最后求出综合成绩,进一步对学生排名。
因为现在是新时代,对于一个学生的评判我们应考虑其的全面发展,故出现了第二个问题,即将学生的“综合成绩”与“劳动卫生”、“获奖情况”、“工作情况”、“同学投票情况”再进一步进行综合的考虑,我们将这几个条件,进行了层次分析,得出每一份的权重比例,
对于“工作情况”、“获奖情况”这类条件我们也将其定量化,让其有一个确切的分数,从而确定一整套标准。
关键字:
层次分析法、定量标准化、模糊数学
一、问题重述
(1)根据题中的相关数据,选择一种合理的方法,计算出学生的综合成绩(包括考试课和考查课两部分),并给出具体排名。
(2)结合你所了解的相关情况,确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。
注意,权重应该与学校希望实现的培养目标一致,即各部分的权重应该体现出学校对学生各方面要求的侧重,以引导学生按照学校的培养目标确定自己的发展方向。
(3)该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个,二等奖3个,三等奖5个,请给出具体获奖名单。
(4)撰写奖学金评定说明
二、符号说明:
Xi:
考试课加权平均成绩Yi:
考查课加权平均成绩
Zi:
综合成绩评定成绩B1:
考试课
B2:
考查课W1:
考试课权重
W2:
考查课权重n’:
一级指标最大特征值
m’:
二级指标最大特征值CR:
一致性比率
三、基于多层次的成绩模糊综合评价模型
1.计算学生的综合成绩
以为评价一个学生的综合成绩既要保证合理性,又要尽可能的让其具有公平性,所以我们采用了广泛使用的层次分析法和模糊数学的概念,对学生的考试课成绩以及考查课成绩进行了综合的运算,得出了一些结果。
1.1对数据进行初步的计算
首先我们对本题给出的数据文件进行了初步的计算,由于考查分没有具体的分数,所以我们将考查课成绩进行了模糊处理,建立了一个评语集D={优秀,良好,中等,合格,不合格},进而将D中元素定量化,90—100分为优秀,80—90为良好,70—80为中等,60-70为合格,60分以下为不合格,在将他们取平均数则,优秀近似为95,良好近似为85,中等为75,合格为65,不合格为60以下。
然后运用excel求出每位同学的考试课加权平均成绩(
)(如表1),考查课成绩(
)(如表2)。
考试课加权成绩算法:
=(考试课1*1.0+考试课2*3.5+考试课3*2.5+考试课4*5.5+考试课5*3.5+考试课6*2.5)/(1.0+3.5+2.5+5.5+3.5+2.5)…………
(1)
考查课加权成绩算法:
=(考查课1*0.5+考查课2*2.0+考查课3*2.0+考查课4*1.0+考查课5*1.0+考查课6*3.5)/(0.5+2.0+2.0+1.0+1.0+3.5)………………
(2)
1.3根据考试课和考查课建立一致性的判断矩阵,从而确定其所占权重
经过计算得出的成绩结果如下:
表1
表2
1.2建立层次结构模型
1.2.1根据题中的信息,初步确定本题中的三个层次,关系如下(如图1)
图1
1.2.2构造判断矩阵
由于本题目的特殊性和开放性,而且我们已经知道了考试课程的各科比重,所以我们只需计算考试课与考查课相对于综合成绩的比重,还有考查课中优秀、良好、中等、合格、不合格这五项在考查课中的比重即可,不妨将他们分成两个等级来计算。
将层次细化(如表3)
目标层
一级指标
二级指标
学生的综合成绩
考试课成绩
考试分加权成绩
考查课成绩
优秀
良好
中等
合格
不合格
表3
1.2.2.1建立一级指标
首先我们把各个因素标记为B1:
考试课的成绩;B2:
考查课的成绩;为了较为准确的描述问题我们分了5种等级:
同样重要、稍微重要、比较重要、明显重要、绝对重要。
因此我们可以按照下表用1~9尺度来定量化(说明如表4)。
定性结果
定量结果
B1与B2的影响相同重要
B1:
B2=1:
1
B1比B2的影响稍微重要
B1:
B2=3:
1
B1与B2的影响比较重要
B1:
B2=5:
1
B1与B2的影响明显重要
B1:
B2=7:
1
B1与B2的影响绝对重要
B1:
B2=9:
1
B1与B2的影响在上述两个等级之间
B1:
B2=2,4,6,8:
1
B1与B2的影响和上述情况相反
B1:
B2=1:
1,2,…,9
表4
利用已知条件做出层次分析图(图2)
图2
假定各因素重要性之间的相对关系为:
B1比B2比较重要则两两相比较的定量结果如下:
为了便于数学处理,我们通常把上面的结果写成如下矩阵形式,称为成对比较矩阵。
利用matlab软件求出该矩阵的特征值
根据比较矩阵写出它最大特征值n’=2.000,进而求出它们各自的权值如下:
的权值
为:
0.8333
的权值
为:
0.1667
然后判断层次单排序及其一致性检验
通过以上矩阵的结果我们知道了最大特征值为n’=2.00;我们用n’表示带有偏差的最大特征值,则n’与n之差的大小反映了不一致的程度,利用(3)(4)两个公式[1]即可判断
……………………………………………………………(3)
………………………………………………………(4)
根据以上两个公式,通过计算发现CR=0.0<0.1,故符合一致性。
其中RI的取值(如表5)
RI的取值
矩阵阶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RI取值
0.00
0.00
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
表5
1.2.2.2建立二级指标
根据考查课成绩的等级设置一致性的判断矩阵,从而确定其所占的权重
对于二级指标我们同样采用层次分析法,对优秀、良好、中等、合格、不合格五个个指标求权值。
这五个因素的集合为
={
,
}
列出层次分析图(如图3):
图3
列出判断矩阵:
根据判断矩阵计算矩阵的最大特征值m=5.2372,计算各项权重为:
的权重为
=0.5100
的权重为
=0.2638
的权重为
=0.1296
的权重为
=0.0636
的权重为
=0.0329
根据公式(3)、(4)通过计算一致性发现
=0.0593<0.1
符合一致性标准。
1.2.3层次总排序
建立总排序(如表6):
表6
进行一致性检验后,均符合标准。
1.2.4计算综合评判分数
根据公式:
………………(5)
其中i=(1,2,3,4,5,6)。
计算出学生的综合成绩,并进行排名(如表7):
表7
2.确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。
2.1基于层次分析法进行奖学金的评定[2]
2.1.1建立层次结构图
运用层次分析法,将学生的综合测评问题层次化,根据问题的
要求和要达到的目的,将问题分解成不同的组成因素,据因素间的
相互关联影响及隶属关系按不同层次聚集组合,形成一个多层次
的分析模型(见图4)。
由于劳动与学生投票情况都属于日常的精神文明表现,故可以并为一类进行计算。
图4
2.1.2构造成对比较矩阵
(1)综合成绩矩阵
(2)日常精神文明矩阵
(3)学生工作矩阵
(4)获奖情况矩阵
(5)整体矩阵
计算各部分的权重结果如下:
考试课成绩分数权重=0.4920
考查课成绩权重=0.0984
学生投票等票数权重=0.0290
劳动卫生得分权重=0.0290
班长,团支书权重=0.0606
校级部长,办公室主任权重=0.1212
其他班委权重=0.0303
校级一等权重=0.0120
校级二等权重=0.0074
校级三等权重=0.0048
省级一等权重=0.0602
省级二等权重=0.0359
省级三等权重=0.0194
2.1.3计算一致性
(i=1,2,3,4,5)为各个矩阵的最大特征值
则
=2.0,
=2.0,
=3.0,
=6.1496,
=4.2164
通过公式(3)、(4)进行一致性检验,
发现
=
=
=0<0.1
=0.02992<0.1,
=0.07213 均符合一致性。 2.1.4层次的总排序 根据图表的权重比例就可以进行评定了: 将学生工作和获奖情况进行定量标准化处理,对于学生工作我们可以这样分类,校学生干部为100分,班长,团支书为90分,其他为80分. 对于获奖我们这样分类,省级一等100分,二等95,三等90,校级一等为85,二等为80,三等为75。 对于劳动卫生扣分和学生投票我们实行总分制,即将劳动得分和投票分别计算加权分并求和。 通过标准化,我们对这几名学生进行了评判,结果如下: 3.奖学金的评定 所以根据表中的数据我们可以进行奖学金的发放: 一等奖: 学生B 二等奖: 学生I,学生N,学生G 三等奖: 学生A,学生L,学生F,学生K,学生J. 4.奖学金的评定说明书 对于奖学金的评定我们是这样设置的,首先我们将所有同学的考试成绩进行汇总审核计算,在确认无误后,将这些同学的日常表现(包括劳动卫生,学生投票)、担任的学生工作、获得的奖项也进行汇总,整合得到了初表,然后对此表进行计算,得到学生的考试课加权平均成绩、考查课成绩,这样我们就可以计算综合成绩了,首先考虑到学生的综合成绩包含考试课和考查课成绩,通过一致性的判断矩阵做出两者之间的权重的假设,分别为考试课: 0.8333,考查课: 0.1667。 由于考试课和考查课还包含多个课程,所以再进行细分,得到了不同学科所占的比重,进而计算出学生的综合成绩。 由于奖学金的评判不能只片面的看学生学习成绩,所以一定要考虑到学生在其他方面的作为,我们将刚得出的综合成绩与初表中的日常表现(包括劳动卫生,学生投票)、担任的学生工作、获得的奖项等因素进一步层次分析,得出它们的权重,其中对于没有定量的数据,要进行定量标准化,通过一些计算,得出一个“奖学金测评分数” 这个分数的高低就代表了学生综合素质的高低,也是评判奖学金的标准。 四、模型评价 首先对于我们的模型,我们觉得它的优点在于把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策,系统的思想在于不割断各个因素对结果的影响,每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果,而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的,非常清晰、明确。 这种方法既不单纯追求高深数学,又不片面地注重行为、逻辑、推理,而是把定性方法与定量方法有机地结合起来,使复杂的奖学金评定标准系统分解,能将人们的思维过程数学化、系统化,且能把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题,通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后,最后进行简单的数学运算。 即使是具有中等文化程度的人也可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤,计算也经常简便,并且所得结果简单明确,容易为决策者了解和掌握。 而且层次分析法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发,比一般的定量方法更讲求定性的分析和判断。 由于层次分析法是一种模拟人们决策过程的思维方式的一种方法,层次分析法把判断各要素的相对重要性的步骤留给了大脑,只保留人脑对要素的印象,化为简单的权重进行计算。 这种思维让我们用数据更好的了解奖学金测评的各个因素所占的重要性,让我们更加清晰的了解,这种考评更看重学生的综合发展。 当然我们的模型也有很多不足的地方,首先定量数据较少,定性成分多,不易令人信服,在评定过程中对于像“考查课”、“工作情况”、“获奖情况”这类没有数据的课,我们只能定量标准化为其设置一个固定的分数,但是由于评定的条件较少,所以这些主观上的定量标准,可能就存在一些问题,不能被人信服。 其次由于本题的指标较少,所以计算和分析都比较简单,但是当外界在引入一些指标,导致这个系统越来越大时,就很难在进行计算了,因为一般情况下我们对层次分析法的两两比较是用1至9来说明其相对重要性,如果有越来越多的指标,我们对每两个指标之间的重要程度的判断可能就出现困难了,甚至会对层次单排序和总排序的一致性产生影响,使一致性检验不能通过,也就是说,由于客观事物的复杂性或对事物认识的片面性,通过所构造的判断矩阵求出的特征向量(权值)不一定是合理的。 不能通过,就需要调整,在指标数量多的时候这是个很痛苦的过程,因为根据人的思维定势,你觉得这个指标应该是比那个重要,那么就比较难调整过来,同时,也不容易发现指标的相对重要性的取值里到底是哪个有问题,哪个没问题。 这就可能花了很多时间,仍然是不能通过一致性检验,而更糟糕的是根本不知道哪里出现了问题。 也就是说,层次分析法里面没有办法指出我们的判断矩阵里哪个元素出了问题。 最后本模型还有一个问题,比如当出现两个分数一样多的人时,怎么评定,所有的指标都以加入到运算中,随变的发放奖学金,必定引起不公平,失去了测评的本质,所以还有很多值得改善的地方。 五、参考文献 [1]王东升.李垒基于模糊数学的高校教学质量评价2008(9) [2]匿名,层次分析法的学生奖学金评定的应用,,2011年5月1日。 [3]周圣武,概率论与数理统计,北京: 煤炭工业出版社,2007。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为: 算法和公式 [4]江龙,线性代数,徐州: 中国矿业大学出版社,2004 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为: 矩阵的特征值和特征向量的算法
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