初中数学多边形及其内外角和.docx
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初中数学多边形及其内外角和
初中数学多边形及其内(外)角和2019年4月9日
(考试总分:
160分考试时长:
120分钟)
一、单选题(本题共计12小题,共计48分)
1、(4分)一个多边形有9条对角线,则这个多边形的边数是()
A.5B.6C.7D.8
2、(4分)若一个多边形的对角线的条数比它的顶点数多3,则这个多边形的边数为( )
A.7B.6C.5D.4
3、(4分)已知凸n边形有n条对角线,则此多边形的内角和是( )
A.360°B.540°C.720°D.900°
4、(4分)十二边形的内角和为()
A.1080°B.1360°C.1620°D.1800°
5、(4分)若一个正多边形的每一个内角都等于120°,则它是()
A.正方形B.正五边形C.正六边形D.正八边形
6、(4分)一个n边形的内角和为360°,则n等于( )
A.3B.4C.5D.6
7、(4分)在四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D度数之比为1:
2:
3:
3,则∠B的度数为()
A.30°B.40°C.80°D.120°
8、(4分)如图,在四边形ABCD中,
的角平分线与
的外角平分线相交于点P,且
,则
=()
A.
B.
C.
D.
9、(4分)如图,在四边形ABCD中,∠A+∠D=α,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P,则∠P的大小为( )
A.90°-
αB.
αC.90°+
αD.360°-α
10、(4分)若凸n边形的每个外角都是36°,则从一个顶点出发引的对角线条数是()
A.6B.7C.8D.9
11、(4分)已知:
如图,梯形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AD=BC,AC⊥BC,BE⊥AB交AC的延长线于E,EF⊥AD交AD的延长线于F,下列结论:
①BD∥EF;②∠AEF=2∠BAC;③AD=DF;④AC=CE+EF.其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
12、(4分)下列说法中,正确的有()
(1)、
的平方根是±5;
(2)、五边形的内角和是540°;(3)、抛物线y=x2+2x+4与x轴无交点;(4)、等腰三角形两边长为6cm和4cm,则它的周长是16cm.
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题(本题共计4小题,共计16分)
13、(4分)若正多边形的一个内角等于120°,则这个正多边形的边数是_____.
14、(4分)一个四边形的四个内角中最多有_____个钝角,最多有_____个锐角.
15、(4分)已知一个正多边形有一个内角是144°,那么这个正多边形是正_____边形.
16、(4分)已知一个多边形的内角和是外角和的
倍,则这个多边形的边数是________.
三、解答题(本题共计8小题,共计96分)
17、(12分)一个多边形的内角和与外角和的差为1260度,求它的边数.
18、(12分)
(1)已知一个多边形的內角和是它的外角和的3倍,求这个多边形的边数.
(2)如图,点F是△ABC的边BC廷长线上一点,DF⊥AB,∠A=30°,∠F=40°,求∠ACF的度数.
19、(12分)如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
20、(12分)一个多边形的内角和比它的外角的和大1080°,这个多边形的边数是多少?
21、(12分)如图,△ABC和△AOD是等腰直角三角形,AB=AC,AO=AD,∠BAC=∠OAD=90°,点O是△ABC内的一点,∠BOC=130°.
(1)求证:
OB=DC;
(2)求∠DCO的大小;
(3)设∠AOB=α,那么当α为多少度时,△COD是等腰三角形.
22、(12分)
(1)如图①所示,∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系?
为什么?
(2)如图②若把△ABC纸片沿DE点折叠当点A落在四边形BCED内部时,则∠A与∠α+∠β之间有一种数量关系始终保持不变,请写出这个规律并说明理由.
23、(12分)已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.
(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?
若对,求出边数n.若不对,说明理由;
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.
24、(12分)一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,求这个多边形的边数
一、单选题(本题共计12小题,共计48分)
1、(4分)【答案】B
【解析】
设多边形有n条边,则
,
n=6或n=-3(负值舍去).
故选B.
2、(4分)【答案】B
【解析】
设多边形的边数是x,则对角线的条数是:
x(x-3),
根据题意得:
x(x-3)-x=3,
解得:
x=6.
故选:
B.
3、(4分)【答案】B
【解析】
解:
∵n边形的对角线共有
条,
则可列方程得,
=n,
∴n-3=2,n=5,
∴五边形的内角和=180°×(5-2)=540°,
故选:
B.
4、(4分)【答案】D
【解析】
(12-2)•180°=1800°.
故选:
D.
5、(4分)【答案】C
【解析】
设这个正多边形的边数为n,由题意得:
解得:
n=6.
故选:
C.
6、(4分)【答案】B
【解析】
根据n边形的内角和公式,得:
(n-2)•180=360,解得n=4.
故选B.
7、(4分)【答案】C
【解析】
∵四边形内角和360°,
∴设∠A=x°,则有x+2x+3x+3x=360,解得x=40,
则∠B=80°,
故选B.
8、(4分)【答案】A
【解析】
如图,
∵∠D+∠C=200°,∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°,
∴∠DAB+∠ABC=160°.
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,
∴∠PAB+∠ABP=
∠DAB+∠ABC+
(180°-∠ABC)=90°+
(∠DAB+∠ABC)=170°,
∴∠P=180°-(∠PAB+∠ABP)=10°.
故选:
A.
9、(4分)【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD中,∠ABC+∠BCD=360°−(∠A+∠D)=360°−α,
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线,
∴∠PBC+∠PCB=
(∠ABC+∠BCD)=
(360°−α)=180°−
α,
则∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(180°−
α)=
α,
故选:
B.
10、(4分)【答案】B
【解析】360°÷36°=10,
10−3=7.
故从一个顶点出发引的对角线条数是7.
故选:
B.
11、(4分)【答案】D
【解析】根据四边形ABCD是等腰梯形,可得出的条件有:
AC=BD,∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD(可通过全等三角形ABD和BAC得出),OA=OB,OC=OD,∠ACB=∠ADB=90°(三角形ACB和BDA全等).
①要证BD∥EF就要得出∠ADB=∠EFD,而∠ADB=90°,∠EFD=90°,因此∠ADB=∠EFD,此结论成立;
②由于BD∥EF,∠AEF=∠AOD,而∠AOD=∠OAB+∠OBA=2∠OAB,因此∠AEF=2∠OAB,此结论成立.
③在直角三角形ABE中,∠OAB=∠OBA,∠OAB+∠OEB=∠OBA+∠OBE=90°,因此可得出∠OEB=∠OBE,因此OA=OB=OE,那么O就是直角三角形ABE斜边AE的中点,由于OD∥EF,因此OD就是三角形AEF的中位线,那么D就是AF的中点,因此此结论也成立.
④由③可知EF=2OD=2OC,而OA=OE=OC+CE.那么
AC=OA+OC=OC+OC+CE=2OC+CE=EF+CE,因此此结论也成立.故选D.
12、(4分)【答案】A
【解析】
(1)因为
=5,而5的平方根是±
,则
(1)错误;
(2)五边形内角和是(5-2)×180°=540°,则
(2)正确;
(3)抛物线y=x2+2x+4与x轴交点的横坐标即是x2+2x+4=0的根,
因为22-4×1×4<0,所以抛物线y=x2+2x+4与x轴无交点,则(3)正确;
(4)当等腰三角形的腰长为6cm时,三边长为6,6,4,周长为16cm;
当等腰三角形的腰长为4cm时,三边长为6,4,4,周长为14cm,
则(4)错误.
故选A.
二、填空题(本题共计4小题,共计16分)
13、(4分)【答案】六
【解析】
设所求正n边形边数为n,则120°n=(n﹣2)•180°,解得n=6;
14、(4分)【答案】3,3
【解析】
如图,
根据四边形的内角和为360°可知:
一个四边形的四个内角中最多有3个钝角,最多有3个锐角.
15、(4分)【答案】十
【解析】
设这个正多边形的正n边形,根据题意得:
(n-2)×180°÷n=144°,解得:
n=10,故答案为10.
16、(4分)【答案】7;
【解析】
设这个多边形有
条边,
,
解得
.
所以这个多边形的边数是7.
三、解答题(本题共计8小题,共计96分)
17、(12分)【答案】11
【解析】
设多边形的边数是n,则
(n-2)·180-360=1260.解得n=11.
答:
它的边数为11.
18、(12分)【答案】
(1)8;
(2)80°.
【解析】
(1)设这个多边形的边数为n,
∵n边形的内角和为(n﹣2)•180°,多边形的外角和为360°,
∴(n﹣2)•180°=360°×3,解得n=8.
∴这个多边形的边数为8.
(2)在△DFB中,
∵DF⊥AB,
∴∠FDB=90°,
∵∠F=40°,∠FDB+∠F+∠B=180°,
∴∠B=50°.
在△ABC中,
∵∠A=30°,∠B=50°,
∴∠ACF=30°+50°=80°.
19、(12分)【答案】360°
【解析】
连接BC,
∵在△BOC和△AOD中,∠1=∠2,
∴∠A+∠D=∠DBC+∠ACB,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠DBC+∠ACB+∠DBF+∠ACE+∠E+∠F=∠FBC+∠BCE+∠E+∠F=360°.
20、(12分)【答案】10
【解析】
设这个多边形的边数为n,
由题意得:
(n-2)×180°=360°+1080°
(n-2)×180°=1440°,n-2=8,n=10.
故答案为10.
21、(12分)【答案】
(1)证明见解析;
(2)40°;(3)当α的度数为115°或85°或145°时,△AOD是等腰三角形.
【解析】
(1)∵∠BAC=∠OAD=90°,
∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO,
∴∠DAC=∠OAB,
在△AOB与△ADC中,
,
∴△AOB≌△ADC,
∴OB=DC;
(2)∵∠BOC=130°,
∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°,
∵△AOB≌△ADC
∠AOB=∠ADC,
∴∠ADC+∠AOC=230°,
又∵△AOD是等腰直角三角形,
∴∠DAO=90°,
∴四边形AOCD中,∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°;
(3)当CD=CO时,
∴∠CDO=∠COD=
=70°,
∵△AOD是等腰直角三角形,
∴∠ODA=45°,
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°,
又∠AOB=∠ADC=α,
∴α=115°;
当OD=CO时,
∴∠DCO=∠CDO=40°,
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°,
∴α=85°;
当CD=OD时,
∴∠DCO=∠DOC=40°,
∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°,
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°,
∴α=145°,
综上所述:
当α的度数为115°或85°或145°时,△AOD是等腰三角形.
22、(12分)【答案】
(1)∠1+∠2=∠B+∠C;
(2)规律:
α+β=2∠A.理由见解析
【解析】
(1)∠1+∠2=∠B+∠C,理由如下:
∵如图1,在△AED和△ACB中,
∠1+∠2+∠A=∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和等于180°),
∴∠1+∠2=∠B+∠C(等量代换);
(2)规律:
α+β=2∠A,理由如下:
∵在△ADE中,∠1+∠2=180°﹣∠A(三角形内角和等于180°),
在四边形BCED中,∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°(四边形内角和等于360°),
又∵根据题
(1)得∠1+∠2=∠B+∠C(已证),
∴2(∠1+∠2)+α+β=360°(等量代换),
∴2(180°﹣∠A)+α+β=360°(等量代换),
∴α+β=2∠A.
23、(12分)【答案】
(1)甲对,乙不对,理由见解析;
(2)2.
【解析】
(1)甲对,乙不对.
∵θ=360°,∴(n-2)×180°=360°,
解得n=4.
∵θ=630°,∴(n-2)×180°=630°,
解得n=
.
∵n为整数,∴θ不能取630°.
(2)由题意得,(n-2)×180+360=(n+x-2)×180,
解得x=2.
24、(12分)【答案】这个多边形的边数是6
【解析】
解:
∵多边形外角和为360°,该多边形的内角和是外角和的2倍,
∴该多边形内角和为720°,
∵多边形内角和=(n-2)×180°=720°,
∴n=6,
∴这个多边形的边数是6.
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