届高考数学大一轮复习第十一章统计与统计案例111学案理北师大版.docx

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届高考数学大一轮复习第十一章统计与统计案例111学案理北师大版

§11.1　随机抽样

最新考纲

考情考向分析

1.理解随机抽样的必要性和重要性．

2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法.

在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以选择题和填空题为主，属于中低档题.

1．抽样调查

（1）抽样调查

通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．

（2）总体和样本

调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．

（3）抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点：

①迅速、及时；

②节约人力、物力和财力．

2．简单随机抽样

（1）简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率相同．

（2）通常采用的简单随机抽样的方法：

抽签法和随机数法．

3．分层抽样

（1）定义：

将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．

（2）分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

4．系统抽样

系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔（称为抽样距）抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）简单随机抽样是一种不放回抽样．（　√　）

（2）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．（　×　）

（3）抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．（　×　）

（4）系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．（　√　）

（5）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．（　×　）

（6）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．（　×　）

题组二　教材改编

2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（　　）

A．总体B．个体

C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本

答案　A

解析　由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.

3．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为（　　）

A．33,34,33B．25,56,19

C．20,40,30D．30,50,20

答案　B

解析　因为125∶280∶95＝25∶56∶19，

所以抽取人数分别为25,56,19.

4．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是（　　）

A．10B．11C．12D．16

答案　D

解析　从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.

题组三　易错自纠

5．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（　　）

A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43

C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32

答案　B

解析　间隔距离为10，故可能的编号是3,13,23,33,43.

6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．

答案　1800

解析　分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件.

题型一　简单随机抽样

1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：

抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是（　　）

A．这次抽样中可能采用的是简单随机抽样

B．这次抽样一定没有采用系统抽样

C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率

D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率

答案　A

解析　利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误，故选A.

2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A.08B．07C．02D．01

答案　D

解析　由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.

3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为

，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　由题意知

＝

，得n＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为

＝

，故选C.

思维升华应用简单随机抽样应注意的问题

（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

（2）在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．

题型二　系统抽样

典例

（1）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：

分钟）的茎叶图如图所示：

13

0

0

3

4

5

6

6

8

8

8

9

14

1

1

1

2

2

2

3

3

4

4

5

5

5

6

6

7

8

15

0

1

2

2

3

3

3

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是（　　）

A．3B．4C．5D．6

答案　B

解析　由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．故选B.

（2）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为（　　）

A．11B．12C．13D．14

答案　B

解析　由

＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为

＝

＝12.

引申探究

1．若本例

（2）中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．（填“能”或“不能”）

答案　不能

解析　若55被抽到，则55＝5＋20n，n＝2.5，n不是整数．故不能被抽到．

2．若本例

（2）中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________．

答案　28

解析　因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，

所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为

＝28.

思维升华

（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．

（2）使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．

（3）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．

跟踪训练将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为（　　）

A．26,16,8B．25,17,8

C．25,16,9D．24,17,9

答案　B

解析　由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N＋）组抽中的号码是3＋12（k－1）．令3＋12（k－1）≤300，得k≤

，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12（k－1）≤495，得

题型三　分层抽样

命题点1　求总体或样本容量

典例

（1）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　）

A．9B．10C．12D．13

答案　D

解析　∵

＝

，∴n＝13.

（2）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于（　　）

A．54B．90C．45D．126

答案　B

解析　依题意得

×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.

命题点2　求某层入样的个体数

典例

（1）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为（　　）

类别

人数

老年教师

900

中年教师

1800

青年教师

1600

合计

4300

A.90B．100C．180D．300

答案　C

解析　由题意得抽样比为

＝

，

∴该样本中的老年教师的人数为900×

＝180.

（2）（2017·重庆一诊）我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：

今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（　　）

A．104人B．108人

C．112人D．120人

答案　B

解析　由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×

＝300×

＝108，故选B.

思维升华分层抽样问题类型及解题思路

（1）求某层应抽个体数量：

按该层所占总体的比例计算．

（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之：

根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．

（3）确定是否应用分层抽样：

分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．

跟踪训练

（1）（2017·南昌一模）某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人，高二1200人，高三n人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n等于（　　）

A．860B．720

C．1020D．1040

答案　D

解析　分层抽样是按比例抽样的，

所以81×

＝30，解得n＝1040.

（2）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．

答案　200,20

解析　该地区中小学生总人数为

3500＋2000＋4500＝10000，

则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20.

五审图表找规律

典例（12分）某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：

人数

管理

技术开发

营销

生产

共计

老年

40

40

40

80

200

中年

80

120

160

240

600

青年

40

160

280

720

1200

共计

160

320

480

1040

2000

（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？

（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？

（3）若要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解，则应怎样抽样？

抽取40人调查身体状况

↓（观察图表中的人数分类统计情况）

样本人群应受年龄影响

↓（表中老、中、青分类清楚，人数确定）

要以老、中、青分层，用分层抽样

↓

要开一个25人的座谈会

↓（讨论单位发展与薪金调整）

样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响

↓（表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定）

要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样

↓

要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解

↓可认为全运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当）

将单位人员看作一个整体

↓（从表中数据看总人数为2000）

人员较多，可采用系统抽样

规范解答

解　

（1）按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取，[1分]

抽取比例为

＝

.[2分]

故老年人、中年人、青年人各抽取4人，12人，24人．[4分]

（2）按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取，[5分]

抽取比例为

＝

，[6分]

故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取2人，4人，6人，13人．[8分]

（3）用系统抽样，

对全部2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1900，共20人组成一个样本．

[12分]

1．（2018·广东茂名月考）在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（　　）

A．p1＝p2

C．p1＝p3

答案　D

解析　由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.

2．打桥牌时，将洗好的扑克牌（52张）随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是（　　）

A．系统抽样B．分层抽样

C．简单随机抽样D．非以上三种抽样方法

答案　A

解析　符合系统抽样的特点，故选A.

3．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（　　）

A.

，

B.

，

C.

，

D.

，

答案　A

解析　在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为

，故选A.

4．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为（　　）

A．700B．669C．695D．676

答案　C

解析　由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，

分段间隔数k＝

＝

＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋（35－1）×20＝695.

5．某工厂的一、二、三车间在11月份共生产了3600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，则二车间生产的产品数为（　　）

A．800B．1000

C．1200D．1500

答案　C

解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的

，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的

，所以二车间生产的产品数为3600×

＝1200.故选C.

6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（　　）

A．7B．9

C．10D．15

答案　C

解析　由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为

＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋（n－1）×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．

7．（2018·湖南怀化模拟）某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4300人中抽取一个样本，这4300人中青年人1600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为（　　）

A．90B．180C．270D．360

答案　B

解析　设老年人有x人，从中抽取y人，则1600＋3x＝4300，得x＝900，即老年人有900人，则

＝

，

得y＝180.故选B.

8．（2017·雅礼中学月考）某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k＝20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是（　　）

A．177B．157C．417D．367

答案　B

解析　根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋（8－1）×20＝157.

9．（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．

答案　18

解析　∵

＝

＝

，

∴应从丙种型号的产品中抽取

×300＝18（件）．

10．（2017·潍坊模拟）某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：

高一年级

高二年级

高三年级

跑步

a

b

c

登山

x

y

z

其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的

.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________．

答案　36

解析　根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×

＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×

＝36.

11.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．

答案　37　20

解析　将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则

＝

，解得x＝20.

12．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取__________名学生．

答案　60

解析　根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为

×300＝60.

13．（2017·宁夏中卫二模）某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全省统一考试（后称统考）的32所学校进行抽样调查．将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是（　　）

A．3B．1C．4D．2

答案　A

解析　根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为

＝4，若抽到的最大编号为31，则最小编号是3.

14．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.

一年级

二年级

三年级

女生

373

x

y

男生

377

370

z

答案　16

解析　由题意可知二年级女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×

＝16.

15．（2018·泉州质检）某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有（　　）

A．36人B．30人C．24人D．18人

答案　A

解析　设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意可得3x－x＝12，x＝6，

∴持“喜欢”态度的有6x＝36（人）．