数列高考综合题方法总结汇总.docx
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数列高考综合题方法总结汇总
数列知识
(1理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
(2理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题.
(3理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,井能解决简单的实际问题.
1.数列的定义:
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式:
如果数列{}na的第n
项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即(nfan=.
3.递推公式:
如果已知数列{}na的第一项(或前几项,且任何一项na与它的前一项1-na(或前几项间的关系可以用一个式子来表示,即(1-=nnafa或,(21--=nnnaafa,那么这个式子叫做数列{}na的递推公式.
⒋数列的表示方法:
解析法、图像法、列举法、递推法.
⒌数列的分类:
有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.
其中i有界数列:
存在正数M使+∈≤NnMan,.
ii无界数列:
对于任何正数M,总有项na使得Man>.
等差数列
1.定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
即:
成等差数列}{0,0,2(1nnnnadandaa⇔≠≠≥=--
2.等差数列的判定方法:
①定义法:
对于数列{}na,若daann=-+1(常数,则数列{}na是等差数列。
②等差中项法:
对于数列{}na,若212+++=nnnaaa,则数列{}na是等差数列。
③bknan+=(kn,为常数.3.等差数列的通项公式:
如果等差数列{}na的首项是1a,公差是d,则等差数列的通项为dnaan1(1-+=。
4.等差数列的前n项和:
①2
(1nnaanS+=②dnnnaSn2
1(1-+
=5.等差中项:
如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。
即:
2
b
aA+=或baA+=2推广:
2na=mnmnaa+-+
6.等差数列的性质:
递推公式daann+=-1;mdaanmn+=-
①.等差数列任意两项间的关系:
如果na是等差数列的第n项,ma是等差数列的第m项,且nm≤,公差为d,则有dmnaamn(-+=
②.对于等差数列{}na,若qpmn+=+,则qpmnaaaa+=+。
③.设数列{}na是等差数列,奇S是奇数项的和,偶S是偶数项项的和,nS是前n项的
和,则有如下性质:
(i奇数项同样成等差数列,公差为偶数项;2,,,531daaa⋯
(ii
⎩
⎨⎧==-⋅
+=+⋅=++++中
偶奇中偶奇项,则有若数列共aaSSannaSSnnn1112(12(12
nn1SS+=
偶
奇;
12SSSSSSSn
+=-+=-n偶
奇偶奇偶奇(iii项,则有若数列共n2n
naaSSndSS1
+==-奇偶奇偶;
(iv若等差数列{}na的前12-n项的和为12-nS,等差数列{}nb的前12-n项的和为'
1
2-nS,则
'1
2
1
2--=nnnnSSba.④((danddnaan-+=-+=111(d可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列→若d不为0,则是等差数列充分条件.⑤等差{na}前n项和ndandBnAnSn⎪⎭⎫⎝
⎛
-
+⎪⎭
⎫
⎝⎛=+=22122→2
d
可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d为零,则是等差数列的充分条件;若d不为零,则是等差数列的充分条件.
⑥非零..常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列⑦⑪在等差数列{}na中,若项数也构成一个等差数列,则,,,,32knknknnaaaa+++为等差数列,公差为kd
⑫等差数列依次每k项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k2
倍...,,232kkkkkSSSSS--;⑬数列{}na是等差数列,则数列{}pan+、{}npa(p是常数都是等差数列;
⑭若等差数列{}na的前n项和nS,则⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧nSn是等差数列;⑮若{}na、{}nb是等差数列公差分别为d,d’则{}nnkapb+(k、p是非零常数也成等差
数列公差为kd+kd’;
(6若{}na是等比数列公比为q,且0na>,则{lg}na是等差数列公差为q.
(7如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意:
公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究nmab=.⑧常用公式:
1:
1+2+3+...+n=
2
1(+nn21+3+5+...+(2n-1=2
n
32
3
3
3
1(2121⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=+++nnn
412(1(6
1
3212
222++=
++++nnnn5
1111(1+-=+nnnn21
1(212(1+-=+nnnn
6
(11(11qpq
ppqpq<--=79,99,999,…110-=⇒nna;5,55,555,…(
1109
5-=
⇒n
na.⑨在等差数列{na}中,有关Sn的最值问题:
i当1a>0,d<0时,满足⎩⎨
⎧≤≥+0
1mmaa的项数m使得ms取最大值.
ii当1a<0,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+00
1
mmaa的项数m使得ms取最小值。
⑩为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2adadaadad--++…(公差为d
;偶数个数成等差,可设为…,3,,,3adadadad--++,…(公差为2d
等比数列
1.定义:
成等比数列}{0,0,2(1
nnnnaqanqaa
⇔≠≠≥=-
2.等比中项:
如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中
项。
也就是,如果是的等比中项,那么G
b
aG=,即abG=2。
注意:
任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac>0,则等比中项一定有两个.3.等比数列的判定方法:
⑪定义法:
对于数列{}na,若
0(1
≠=+qqaan
n,则数列{}na是等比数列。
⑫等比中项:
对于数列{}na,若2
12++=nnnaaa0(≠na,则数列{
}na是等比数列。
4.等比数列的通项公式:
如果等比数列{}na的首项是1a,公比是q,则等比数列的通项为11-=nnqaa。
5.等比数列的前n项和:
⎪⎩⎪
⎨⎧
≠--=--==
1(111(1(111qqq
aaq
qaqnaSnnn6.等比数列的性质:
⑪等比数列任意两项间的关系:
如果na是等比数列的第n项,ma是等差数列的第m项,且nm≤,公比为q,则有mnmnqaa-=
⑫对于等比数列{}na,若vumn+=+,则vumnaaaa⋅=⋅也就是:
=⋅=⋅=⋅--23121nnnaaaaaa。
⑬若数列{}na是等比数列,nS是其前n项的和,*Nk∈,那么kS,kkSS-2,kkSS23-成等比数列。
⑭数列{}na是等比数列,则数列{}npa、{}npa(0≠q是常数都是等比数列;
⑮在等比数列
{}na中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即,,,,32knknknnaaaa+++为等比数
列,公比为k
q.
⑯等比数列的前n项和公式的常见应用题:
i生产部门中有增长率的总产量问题.例如,第一年产量为a,年增长率为r,则每年的产量成等比数列,公比为r+1.其中第n年产量为11(-+nra,且过n年后总产量为:
.
1(1]1([
1(...1(1(1
2
rraarararaann+-+-=+++++++-
ii银行部门中按复利计算问题.例如:
一年中每月初到银行存a元,利息为r,每月利息按复利计算,则每月的a元过n个月后便成为nra1(+元.因此,第二年年初可存款:
1(...
1(1(1(10
11
12
rararara++++++++=
1(1]
1(1[1(12rrra+-+-+.
iii分期付款应用题:
a为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清;r为年利率.
((
(
((
((1
111111......1112
1
-++=⇒-+=+⇒++++++=+--mmmm
mmm
rrarxrrxraxrxrxrxra
⑰看数列是不是等比数列有以下四种方法:
i.acb=,是a、b、c成等比的双非条件,即acb=、b、c等比数列.
ii.acb=(ac>0→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.acb±=→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.acb±=且0ac→为a、b、c等比数列的充要.
⑱
n
ncqa=(qc,为非零常数成等比.⑲正数列{na}成等比的充要条件是数列{nxalog}(1x成等差数列.⑳{}{}成等比数列成等差数列n
anba⇔
数列的求通项方法
1.(1nfaann+=+:
这类其实就用叠加法就可以了1(1-=--nfaann2(21-=---nfaann……..
1(12faa=-把这些全部加起来就有1(......(fnfan++=2.
(1
nfaann
=-:
这类类比上面的用叠乘法即可。
3.qpaann+=-1:
这个在实际其实用的是挺多的,处理方法就是待定系数设(1λλ+=+-nnapa,展开,得λ1(1-+=-ppaann综合上面两式,就有1
1(-=
⇒=-pqqpλλ令1
-+
=pq
abnn,则有1-=nnpbb,这就是我们最常见的等比啦,于是1
1(1111--∙-+
=⇒=--pqppqaapbbnnnn4.还有一个和这个有相似都是在左右加减的,即(1nnafa=+右边是关于na的分式,这也就是个分式递推关系。
可以令xxfxan==(,(也就是求式子右边所表示的函数的不动点
当求两个不等根x1,x2时,用原式在左右两边减x1得an+1-x1=f(an-x1将右边通分化简同理可得an+1-x2=f(an-x2将这两个式子相除得an+1-x1f(an-x1其实你会很快发现这中间有个等比数列,然后=an+1-x2f(an-x2就用bn去代替求bn通项再求an当求两个等根x时,用原式在左右两边减x得an+1-x=f(an-x将右边通分化简,然后很容易找到等差数列然后同样用bn去代替求bn通项再求an5.an=pan-1+f(n:
处理这类关系,只要在两边同除pn,再令bn=去求r6.an=pan-1:
左右都为乘积时,可考虑取对数化积为加an转化为第一种pnr即lgan=lgp+lgan-1再令bn=lgan即可转化为第三种来求7.(特征根)an+2=Aan+1+Ban这个也很重要,用的较多解方程x=Ax+B(称作特征方程得两根a,b(称作特征根2若a¹b,则通项为an=pan-1+qbn-1若a=b,,则通项为an=(p+qnan-1其中系数p,q有给定的初始值a2,a1确定,从而求出通项数列的求和方法(1等差与等比数列(2裂项相消法:
an=1111=(-(An+B(An+CC-BAn+BAn+C(3错位相减法:
an=bn×cn,{bn}成等差数列,{cn}成等比数列Sn=b1c1+b2c2+¼+bn-1cn-1+bncn则qSn=b1c2+¼¼+bn-1cn+bncn+1所以有(1-qSn=b1c1+(c2+c3+¼¼cnd-bncn+1
⑭倒序相加法求数列{an}的最大、最小项的方法ì>0ïan+1-an=……í=0ï<0îì>1an+1ï=Lí=1anï<1î(an>0an=f(n研究函数f(n的增减性
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