等差数列及其应用.docx
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等差数列及其应用
等差数列及其应用
许多同学都知道这样一个故事:
大数学家高斯在很小的时候,就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余,有没有仔细想一想,高斯为什么算得快呢?
当然,小高斯的聪明和善于观察是不必说了,往深处想,最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1,即它们构成了差相等的数列,而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习,我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法,而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.
一、等差数列
什么叫等差数列呢?
我们先来看几个例子:
①l,2,3,4,5,6,7,8,9,⋯②1,3,5,7,9,11,13.
32,4,6,8,10,12,14⋯
43,6,9,12,15,18,21.
5100,95,90,85,80,75,70.
620,18,16,14,12,10,8.这六个数列有一个共同的特点,即相邻两项的差是一个固定的数,像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差,一般用字母d表示,如:
数列①中,d=2-1=3-2=4-3=⋯=1;
数列②中,d=3-1=5-3=⋯=13-11=2;数列⑤中,d=100-95=95-90=⋯=75-70=5;数列⑥中,d=20-18=18-16=⋯=10-8=2.
例1下面的数列中,哪些是等差数列?
若是,请指明公差,若不是,则说明理由.
16,10,14,18,22,⋯,98;
21,2,1,2,3,4,5,6;
31,2,4,8,16,32,64;
49,8,7,6,5,4,3,2;
53,3,3,3,3,3,3,3;
61,0,1,0,l,0,1,0;
解:
①是,公差d=4.
2不是,因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.
3不是,因为4-2≠2-1.
4是,公差d=l.
5是,公差d=0.
6不是,因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.
一般地说,如果一个数列是等差数列,那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项,或者每一项都大于前面的项,上述例1的数列⑥中,第1项大于第2项,第2项却又小于第3项,所以,显然不符合等差数列的定义.
为了叙述和书写的方便,通常,我们把数列的第1项记为a1,第2项记为a2,⋯,第n项记为an。
an又称为数列的通项。
a1,又称为数列的首项,最后一项又称为数列的末项.
二、通项公式
对于公差为d的等差数列a1,a2,⋯an⋯来说,如果a1小于a2,
由此可知:
(1)an=a1+(n-1)×d
若a1大于a2,则同理可推得:
(2)an=a1-(n-1)×d
公式
(1)
(2)叫做等差数列的通项公式,利用通项公式,在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.例2求等差数列1,6,11,16⋯的第20项.
解:
首项a1=1,又因为a2;大于a1;,
公差d=6-1=5,所以运用公式
(1)可知:
第20项a20=a1=(20-1)×5=1+19×5=96.
一般地,如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量,如:
由通项公式,我们可以得到项数公式:
如果a1小于a2,则n=(an-a1)÷d+1若a1大于a2,则同理可推得:
n=(a1-an)÷d+1例3已知等差数列2,5,8,11,14⋯,问47是其中第几项?
解:
首项a1=2,公差d=5-2=3
令an=47
则利用项数公式可得:
n=(47-2)÷3+1=16.
即47是第16项.
例4如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.分析与解答
方法1:
要求第8项,必须知道首项和公差.
因为a4=a1+3×d,又a4=21,所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d,又a6=33,所以a1=33-5×d所以:
21-3×d=33-5×d,
所以d=6a1=21-3×d=3,
所以a8=3+7×6=45.
方法2:
考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d,其中a6已知,只要求2×d即可.
又a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d,
所以2×d=a6-a4
所以a8=3+7×6=45
方法2说明:
如果能够灵活运用等差数列各项间的关系,解题将更为简便.
三、等差数列求和
若a1小于a2,则公差为d的等差数列a1,a2,a3⋯an可以写为
a1,a1+d,a1+d×2,⋯,a1+d×(n-1).所以,容易知道:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2
=a4+an-3=⋯=an-1+a2=an+a1.
设Sn=a1+a2+a3+⋯+an
则Sn=an+an-1+an-2+⋯+a1
两式相加可得:
2×Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+⋯+(an+a1)
即:
2×Sn=n×(a1+an),所以,Sn=n×(a1+an)÷2
例5计算1+5+9+13+17+⋯+1993.
当a1;大于a2。
时,同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.
解:
因为1,5,9,13,17,⋯,1993是一个等差数列,且al=1,d=4,an=1993.
所以,n=(an-a1)÷d+1=499.
所以,1+5+9+13+17+⋯+1993
=(1+1993)×499÷2
=997×499
=497503.
题目做完以后,我们再来分析一下,本题中的等差数列有499项,中间一项即第250项的值是997,而和恰等于997×499.其实,这并不是偶然的现象,关于中项有如下定理:
这个定理称为中项定理.
例6建筑工地有一批砖,码成如右图形状,最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块砖⋯,依次每层都比其上面一层多4块砖,已知最下层2106块砖,问中间一层多少块砖?
这堆砖共有多少块?
解:
如果我们把每层砖的块数依次记下来,2,6,10,14,⋯容易知道,这是一个等差数列.
方法1:
a1=2,d=4,an=2106,
贝n=(an-a1)÷d+1=527
这堆砖共有则中间一项为a264=a1+(264-1)×4=1054.
方法2:
(a1+an)×n÷2=(2+2106)×527÷2=555458(块).
则中间一项为(a1+an)÷2=1054
a1=2,d=4,an=2106,
这堆砖共有1054×527=555458(块).
n=(an-a1)÷d+1=527
例7求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差
解:
根据题意可列出算式:
(2+4+6+8+⋯+2000)-(1+3+5+⋯+1999)
解法1:
可以看出,2,4,6,⋯,2000是一个公差为2的等差数列,1,3,5,⋯,1999也是一个公差为2的等差数列,且项数均为1000,所以:
原式=(2+2000)×1000÷2-(1+1999)×1000÷2
=1000.
解法2:
注意到这两个等差数列的项数相等,公差相等,且对应项差1,所以1000项就差了1000个1,即
原式=1000×1=1000.
例8连续九个自然数的和为54,则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少?
分析与解答
方法1:
要想求这九个连续自然数之和,可以先求出这九个连续自然数中最小的一个.即条件中的九个连续自然数的末项.
因为,条件中九个连续自然数的和为54,所以,这九个自然数的中间数为54÷9=6,则末项为6+4=10.因此,所求的九个连续自然数之和为(10+18)×9÷2=126.
方法2:
考察两组自然数之间的关系可以发现:
后一组自然数的每一项比前一组自然数的对应项大8,因此,后一组自然数的和应为54+8×9=126.
在方法1中,可以用另一种方法来求末项,根据求和公式Sn=(a1+an)×n÷2,则a1+a9=54×2÷9.又因为a1=a9-8,所以代入后也可求出a9=10.
例9100个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是8450,取出其中第1个,第3个⋯第99个,再把剩下的50个数相加,得多少?
分析与解答
方法1:
要求和,我们可以先把这50个数算出来.
100个连续自然数构成等差数列,且和为8450,则:
首项+末项=8450×2÷100=169,又因为末项比首项大99,所以,首项=(169-99)÷2=35.因此,剩下的50个数为:
36,38,40,42,44,46⋯134.这些数构成等差数列,和为(36+134)×50÷2=4250.
方法2:
我们考虑这100个自然数分成的两个数列,这两个数列有相同的公差,相同的项数,且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1,因此,剩下的数的总和比取走的数的总和大50,又因为它们相加的和为8450.所以,剩下的数的总和为(8450+50)÷2=4250.
四、等差数列的应用
例10把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少?
解:
由题可知:
由210拆成的7个数必构成等差数列,则中间一个数为210÷7=30,所以,这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.
例11把27枚棋子放到7个不同的空盒中,如果要求每个盒子都不空,且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多,问能否办到,若能,写出具体方案,若不能,说明理由.
分析与解答因为每个盒子都不空,所以盒子中至少有一枚棋子;同时,任两盒中棋子数不一样,所以7个盒中共有的棋子数至少为1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了27枚棋子,所以,题中要求不能办到.
例12从1到50这50个连续自然数中,取两数相加,使其和大于50,有多少种不同的取法?
解:
设满足条件的两数为a、b,且a
若a=1,则b=50,共1种.
若a=2,则b=49,50,共2种.
若a=3,则b=48,49,50,共3种.
若a=25,则b=26,27,⋯50,共25种.
若a=26,则b=27,28,⋯50,共24种.(a=26,b=25的情形与a=25,b=26相同,舍去).
若a=27,则b=28,29,⋯50,共23种.
若a=49,则b=50,共1种.所以,所有不同的取法种数为
1+2+3+⋯+25+24+23+22+⋯+l
=2×(1+2+3+⋯+24)+25
=625.
例13x+y+z=1993有多少组正整数解.
显然,x不能等于1992,1993.所以,原方程的不同的整数解的组数是:
l+2+3+⋯+1991=1983036.
本题中运用了分类的思想,先按照x的值分类,在每一类中,又从y的角度来分类,如:
x=1987时,因为y+z=6,且y、z均为正整数,所以y最小取1,最大取5,即按y=1,2,3,4,5分类,每一类对应一组解,因此,x=1987时,共5组解.
例13把所有奇数排列成下面的数表,根据规律,请指出:
①197排在第几行的第几个数?
②第10行的第9个数是多少?
1
3
57
9
1113
15
17
19
2123
25
27
29
31
33
3537
39
43
45
4749
分析与解答
①197是奇数中的第99个数.数表中,第1行有1个数.
第2行有3个数.
第3行有5个数⋯
第n行有2×n-l个数
因此,前n行中共有奇数的个数为:
1+3+5+7+⋯+(2×n-1)
=[1+(2×n-1)〕×n÷2
=n×n
因为9×9<99<10×10.所以,第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数,即第18个数,即197位于第10行第18个数.
②第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为9×9+9=90),它是179.
例14将自然数如下排列,
12671516⋯
3581417⋯
491318⋯
1012⋯
11⋯
在这样的排列下,数字3排在第2行第1列,13排在第3行第3列,问:
1993排在第几行第几列?
分析与解答不难看出,数表的排列规律如箭头所指,为研究的方便,我们不妨把原图顺时针转动45°,就成为三角阵(如右图),三角阵中,第1行1个数,第2行2个数⋯第n行就有n个数,设1993在三角阵中的第n行,则:
1+2+3+⋯+n-1<1993≤1+2+3+⋯+n
即:
n×(n-1)÷2<1993≤n×(n+1)÷2用试值的方法,可以求出n=63.
又因为1+2+⋯+62=1953,即第62行中最大的数为
1953.三角阵中,奇数列的数字从左到右,依次增大,又1993-1953=40,所以,1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数(若从右开始数,则为第24个数).
把三角阵与左图作比较,可以发现:
①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数,就位于左图的第几列.
②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数,就位于左图的第几行.
由此,我们可知,1993位于原图的24行40列.
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