角.docx

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角

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一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

●通过丰富的实例，进一步认识角，理解角的两种描述方法，掌握角的表示方法；

●会比较角的大小，认识度、分、秒，并会进行简单的换算，会计算角度的和与差；

●了解角的平分线的概念，了解余角和补角的概念，理解“等角的补角相等”、“等角的余角相等”的性质。

重点难点：

●重点：

度、分、秒之间的换算，角平分线的概念及表示，补角余角的概念及性质。

●难点：

度、分、秒之间的换算，补角余角的概念及性质。

学习策略：

●在具体的现实情境中，认识角是一种基本的几何图形，理解与角相关的概念，会求一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）射线的概念：

直线上一点和它一旁的部分叫做，这个点叫做。

（二）数轴上A,B两点所表示的数分别是－5，1，那么线段AB的长是个单位长度，线段AB的中点所表示的数是

（三）两点的所有连线中，　　　　最短。

简单说成：

　　　　　　　　　　　　。

（四）连接两点间的　　　　的长度，叫做两点的距离。

（五）已知线段AC和BC在一条直线上，如果AC=5.6cm,BC=2.4cm,求线段AC和BC的中点之间的距离：

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

详细内容请参看网校资源ID：

#tbjx5#220556。

知识点一：

角的概念

（一）定义1：

有的组成的图形叫做角，这个是角的顶点，

这两条是角的两条边,如图1中角的顶点是点，边是射线、

（二）定义2：

角也可以看作是绕着它的从位置旋转到

位置所组成的图形。

如图2中，射线起始位置OA称为角的，终止位置OB称为角的。

要点诠释：

（1）射线旋转时经过的平面部分（不包括射线本身）称为角的，平面其余部分称为角。

（2）角的大小与边的无关，只与构成角的两条射线张开的

有关，角可以，可以比较，可以参与运算。

（3）角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的_________而改变。

知识点二：

角的表示方法

角的表示方法共有四种。

方法1：

角可以用个大写英文字母表示，如图4－

（1）所示，可以表示为

或。

注意：

角的顶点对应的字母要写在个字母的。

方法2：

角可以用一个大写英文字母表示，如图4－

（2）所示，可以表示为。

方法3：

角可以用一个阿拉伯数字表示，如图4－（3）所示，可以表示为。

方法4：

角可以用一个小写的希腊字母表示，如图4－（4）所示，可以表示为

，常用的希腊字母有α，β，γ等。

要点诠释：

对于方法1，表示角的顶点的字母必须写在，角的边上的两个字母写在，位置可以颠倒。

对于方法2，仅限于在一个顶点处只有个角时，或者说从某一点引出的只有条射线时，可以用此法表示。

如图5所示，顶点处有个角，以点O为端点的有条射线，就不能用一个大写英文字母来表示，这时一般用个大写字母表示。

对于方法3，用阿拉伯数字表示角时，一定要在图中该角的位置上标出

，并画上弧线后才可使用此种表示方法。

对于方法4，用小写的希腊字母表示时，表示的方法与用阿拉伯数字表示的方法相同，也必须在图中该角的位置上标上，并画出，方可使用。

知识点三：

角的画法

角的画法通常有三种：

（1）用画出任何给定度数的角。

（2）用和画一个角等于已知角。

（3）用画30°，45°，60°，90°等特殊角。

这三种画法各有所长。

要点诠释：

（1）若画的是某些特殊角，如画30°，45°，60°，90°角等，则直接用

即可；若画75°角，则可将组合使用。

类似地，特殊角还有120°，105°，135°，150°，15°，165°等。

（2）若画一个角等于已知角，用比较适合。

（3）若画一个给定度数的角，则用比较适合。

（4）用画一个角等于已知角属于尺规作图。

五种基本的尺规作图是：

①画一个角等于已知角；②画一条线段等于已知线段；③画角的平分线；

④画已知直线的垂线；⑤画已知线段的垂直平分线。

知识点四：

平角和周角的概念

如3图，射线OA绕点O旋转，当终边位置OC和起始位置OA成一

时，所成的角叫做平角；继续旋转，回到时所成的角叫做周角。

1平角＝　　　　°，1周角＝　　　°，所以1周角＝　　　平角＝4　　　　。

要点诠释：

（1）平角与直线、周角与射线是有区别的，不能说“一条直线就是”，也不能说“一条射线就是”。

（2）在今后所说的角，除非特别注明，都是指没有旋转到成为时所成的角，即小于的角。

知识点五：

角的分类

大于零度且小于平角的角按照大小分为三类：

、

和，分别为：

（1）：

平角的一半，叫做________，＝90°。

（2）：

大于0°而小于直角的角，叫做______，即0°＜＜90°。

（3）：

大于直角且小于平角的角，叫做______，即90°＜＜180°。

知识点六：

角的度量与换算

（一）角的度量单位是，把1周角等分成份，每一份就是1度的角，记作；把1度的角等分成份，每一份就是的角，记作____；把1分的角等分成份，每一份就是_____的角，记作。

（二）1周角=360°，1平角=180°，1°＝　　　　′，1′＝　　　　″。

（三）以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做。

要点诠释：

（1）度、分、秒的换算是_进制，与时间中的的换算相同。

（2）角的度数的换算有两种方法：

①由度化成度、分、秒的形式（即从高位向低位化），1°＝′，1′＝″；

例如，把18.18°化成度、分、秒表示的形式，首先有0.18°＝′＝′，再有0.8′＝″＝″，最后得18.18°＝_°

′″。

②由度、分、秒的形式化成度（即从低位向高位化），

。

例如，把59°31′30″化成度的形式，首先有30″＝′，再有31.5′＝31.5′÷＝°，所以59°31′30″=________°。

知识点七：

角的比较方法

（一）度量法

如图6，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1∠2。

（二）叠合法

如果比较∠ABC和∠DEF的大小，先让顶点、重合，再让边和ED边重合，使另一边和BC落在BA的同旁，如果EF和BC重合（如图7－

（1）），那么∠DEF∠ABC，记作；如果EF落到∠ABC的外部（如图7－

（2）），那么∠DEF∠ABC，记作；如果EF落到∠ABC的内部（如图7－（3）），那么∠DEF∠ABC，记作∠DEF∠ABC。

要点诠释：

（1）在比较角的大小时，除了度量法和叠合法以外，常用的还有法，即让这两个角都与作比较，从而得出大小关系，但要注意的选取一定要恰当。

（2）在度量法中，要注意的正确使用。

（3）在叠合法中，要注意重合，一边重合，另一边落在重合这边的。

知识点八：

角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的平分线，类似地，还有角的三等分线等。

要点诠释：

（1）如图8，射线OC把∠AOB分成∠1＝∠2，则射线是∠AOB的角平分线。

（2）角的平分线是一条，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：

①是从角的引出的射线，且在角的____部；

②把已知角分成了个角，且这两个角。

知识点九：

余角、补角

（一）余角、补角概念

如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的。

如果两个角和等于，那么这两个角互为，即其中一个角是另一个角的。

要点诠释：

（1）锐角α的余角为。

（2）一个角α的补角为。

（3）余角是指个角的关系，是出现的，单独一个角不能称其为余角。

补角也是如此。

（4）一个角的余角可以不止一个，但是它们的度数是的。

补角也是如此。

（二）余角、补角的性质

等角的补角；等角的余角。

要点诠释：

（1）互为余角的角的性质：

一是互为余角的两个角，都是；二是同角（或等角）的余角；三是互余的两个角的和是。

（2）补角的性质：

一个互补的两个角可能是一个为锐角另一个为钝角，也可能都是_______；二是同角（或等角）的补角；三是互补的两个角的和为一个。

知识点十：

方位角

在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做。

通常以正、正方向为基准，描述物体运动的方向。

通常要先写北或者南，再写偏东或是偏西。

要点诠释：

如图9所示，与地面上的方向相同，在平面图上方向为“上，下，左，右”。

东北表示以正北为角的始边，向旋转45°时的射线的方向，又叫北偏东45°。

东南为南偏东45°。

西南为南偏西。

西北为北偏45°。

方向角习惯上把南或北写在前，东或西写在后，顺序不要混了。

这类题可用数形结合的方法解决。

注意：

（1）北偏东45°（即角平分线）方向也可以说成东北方向；西北方向即；西南方向即；东南方向即。

（2）一般地用角度表示方向时，在哪一点观测就在哪一点重新画出互成直角的南北向直线和东西向直线，这是解决连续观测的关键。

（3）无论观测点选在何处，所作的南北向直线都平行，东西向直线也都平行。

经典例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

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#jdlt0#220556

类型一：

概念辨析：

例1、下列说法正确的是（）

A、两条射线组成的图形叫做角

B、角是一条线段绕它的一个端点旋转而成的图形

C、有公共端点的两条线段组成的图形叫做角

D、角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形

思路点拨：

角的定义有两种形式。

A中未强调“”，所以不对。

B、C中说的是两条，也不对，只有符合要求。

答案：

总结升华：

举一反三：

【变式1】下列说法中：

（1）角是由一条直线绕着它的端点旋转而形成的图形；

（2）平角就是一条直线；

（3）1点整到1点20分，分针转过了120°；

（4）大于直角的角为钝角。

正确的有（　　）

A、1个　　B、2个　　C、3个　　D、4个

答案：

【变式2】如图10，O是直线AB上一点，小明说：

“因为∠1、∠2、∠3三个角，所以它们互为补角。

”你认为这种说法对吗？

为什么？

答案：

类型二：

角度制单位换算和计算：

例2、

（1）把26.29°转化为用度、分、秒表示的形式；

（2）把33°24′36″转化成用度表示的形式。

思路点拨：

此类型的题目主要是逐步把度的部分化成，把分的

部分化成。

度、分、秒之间的换算是进制。

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】把59°31′30″化成度的形式

解：

【变式2】计算下列各题：

（1）153°39′44″+26°40′38″

（2）53°25′28″×5

解：

【变式3】计算：

（1）22°36′－18°22′

（2）34°57′＋25°36′

解：

类型三：

和角的平分线有关的计算：

例3、如图11所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD。

思路点拨：

先利用角的和差关系求出，再利用角平分线的性质求出∠COD＝，最后利用角的和差关系求出∠BOD＝。

解：

总结升华：

举一反三：

【变式1】如图12所示，已知∠AOE＝100°，∠DOF＝80°，OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数。

解：

【变式2】如图13，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（　　）

A、20°　　B、40°　　C、50°　　D、80°

答案：

【变式3】如图14,OE平分∠AOB，OD平分∠BOC。

如果∠AOB是直角，∠EOD＝70°，求∠BOC的度数。

解：

类型四：

余角和补角的定义和性质：

例4、已知一个角的补角比它的余角的2倍大20°，则这个角的度数为。

解析：

本题考查的定义，学会运用的思想来解决问题。

解：

举一反三：

【变式1】已知一个角的余角是这个角的四分之一，求这个角。

解：

【变式2】如果一个角的补角与这个角的余角也互补，求这个角的补角。

解：

类型五：

角的应用：

例5、如图15－

（1）所示，已知∠AOB，画一个角等于这个角。

思路点拨：

不知道∠AOB的，可采用来画图。

解析：

☆例6、如图16所示，在O处测得北偏东30°的小岛A处有一暗礁区，为避开这一危险区，轮船在O处应改为向东北方向航行才能避开这一危险区。

（1）在图中画出轮船的航线；

（2）求出轮船航线与OA的夹角。

思路点拨：

在方位图中，以方向为主方向，叙述时常叙述为南偏东、南偏西、北偏东、北偏西，西南方向即为南偏西45°方向，东北方向即为方向。

轮船向东北方向航行，即是_____________的方向航行，故只有以ON为始边，沿

方向上作即可。

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】

（1）指出如图17－

（1）所示OA，OB所处的位置；

（2）画出射线OC，使射线OC在北偏西45°。

解析：

☆【变式2】灯塔A在灯塔B的南偏东70°，A、B相距4海里，轮船C在灯塔B的正东，在灯塔A的北偏东40°，选用适当的比例画图确定轮船C的位置。

解析:

类型六：

综合提高：

☆例7、在∠AOB的内部有两条射线OC，OD，如图所示，问图中有几个角？

有三条射线呢？

有n条射线呢？

思路点拨：

同线段的识图一样，我们按“顺序”找角，若以射线OA为角的一边（始边），则以射线OC、OD、OB为角的另一边（终边）共有个角，下面以此类推。

解：

总结升华：

______________________________________________________________

______________________________________________________________________

☆例8、钟表中2时15分，时针与分针的夹角有多少度？

思路点拨：

因为分针每分钟转个小格，时针每分钟转小格，而分针每转动1小格对应的度数是，故时针1分钟转动的角度是。

解：

总结升华：

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！

课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。

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#tbjx26#220556

对于角的概念，教科书在4.3节首先结合丰富的实例，认识学习角概念的实际必要性，并引入角概念的定义。

对于角的概念，可以从静态和动态两种角度去认识，在后续三角函数的学习中更需要从动态的角度去认识角，所以教科书也是从这两个角度去引入角的概念的。

接着，教科书安排了角的表示，角的度量，角的画法，角的比较，角平分线，补角和余角等内容。

成果测评

现在来检测一下学习的成果吧！

请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。

知识点：

角

测评系统分数：

模拟考试系统分数：

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自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？

总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。

如有问题，欢迎到我们的名师答疑或互帮互学交流。

我的收获

习题整理

题目或题目出处

所属类型或知识点

分析及注意问题

好题

错题

注：

本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。

知识导学：

角（#220556）

视听课堂：

角（#12323）。

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对本知识的学案导学的使用率：

□好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）

□中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）

□弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：

_______________家长：

______________指导教师：

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