MBA数学排列组合方法总结可编辑修改word版.docx
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MBA数学排列组合方法总结可编辑修改word版
排列组合方法总结
一、知识点
(一)加法原理
如果完成一件事有n类办法,只要选择其中一类办法中的任何一种方法,就可以完成这件事,若第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法,…,第n类办法中有mn种不同的办法,那么完成这件事共有N=m1+m2++mn种不同的方法.
(二)乘法原理
如果完成一件事,必须依次连续地完成n个步骤,这件事才能完成,若完成第一个步骤有m1种不同的方法,完成第二个步骤有m2种不同的方法,…,完成第n个步骤有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1⋅m2⋅⋅mn种不同的方法-
(三)排列1.排列
从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,称
为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的种数,称为从n个不同元素中取出m个不同元素的排列数,记作Pm或Am.当m=n时,即从n个不同元
nn
素中取出n个元素的排列,叫作n个元素的全排刿,也叫n的阶乘,用符号n!
表示.
3.排列数公式
0
(1)规定A1=1.
n
(2)Am=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=
n
(3)Am=n(n-1)(n-2)3⨯3⨯1=n!
.
nnn-k
(4)Am=Ak⋅Am-n(m≥k).
n!
(n-m)!
.
(四)组合1.组合
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素组成一组(不考虑元素的顺序),叫作从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.
2.组合数
n
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有组合的总数,叫作从n个不同元素中任取m个元素的组合数,用符号Cm表示.
3.组合数公式
(1)
nn
规定C0=Cn=1;
Am
(2)Cm=n=
n(n-1)(n-m+1)
,则Am=Cm⋅Am;
nm!
m(m-1)2⨯1
nnm
(3)
nn
Cm=Cn-m.(五)二项式定理
nnnnn
(a+b)n=C0an+C1an-1++Ckan-kbk++Cn-1abn-1+Cnbn,
其中第k+1项为Tk+1
若令a=b=1,得
=Ckan-kbk称为通项.
n
nnnn
C0+C1+C2++Cn=2n,
nnn
C0,C1,,Cn称为展开式中的二项式系数,二项式系数具有以下性质:
nnnn
(1)C0+C2+C4++Cn=2n-1(n为偶数);
nnnn
(2)C1+C3+C5++Cn=2n-1(n为奇数);
(3)n为偶数时中项的系数最大,n为奇数时中间两项的系数等值且最大.
二.常见问题及方法
1.住店问题
n个不同人(不能重复使用元素),住进m个店(可以重复使用元素),那么第一,第二,…,第n个人都有m种选择,则总共排列种数是mn个.
例1.有5人报名参加3项不同的培训,每人都只报一项,则不同的报法有
().
(A)243种(B)125种(C)81种(D)60种(E)以上选项均不正确解析:
乘法原理,每个人都有3种选择,所以不同的报法有35=243(种).
【答案】A
练习:
3个人争夺4项比赛的冠军,没有并列冠军,则不同的夺冠可能有()种.
(A)43
正确
(B)
34
(C)
4×3(D)2×3(E)以上选项均不
14
解析:
每个冠军都有3个人可选,故夺冠可能有n种.
【答案】B
2.简单排列组合问题
n
明确排列与组合的区别:
只要求每个组里的元素不同,是组合问题,用Cm;若
n
对顺序有要求,则是排列问题,用Am.
注:
解决这类问题的关键是准确分类与分步.
例2(2012-1)某商店经营15种商品,每次在橱窗内陈列5种,若每两次陈列的商品不完全相同,则最多可陈列().
(A)3000种(B)3003种(C)4000种(D)4003种(E)4300种
【解析】只要求商品不同,是组合问题,故C5
=15⨯14⨯13⨯12⨯11=3003(种)5⨯4⨯3⨯2⨯1
【答案】B
练习:
(2015-1)平面上有5条平行直线,与另一组3条平行直线垂直,若两组平行线共构成280个矩形,则k().
(A)5(B)6(C)7(D)8(E)9
【解析】组合问题
从两组平行直线中任选两条则可构成一个矩形,于是C2⨯C2=280,即
5n
n(n-1)=56,解得n=8.
【答案】D
3.排队问题
(1)特殊元素优先法:
先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;
(2)特殊位置优先法.先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;
(3)排除法:
从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.
(4)相邻问题捆绑法:
某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.
(5)不相邻问题插空法:
某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不
相邻的元素插空.
(6)定序问题消序法.
例3甲、乙、丙、丁、戊、己6人排队,则在以下各要求下,各有多少种不同的排队方法?
(1)甲不在排头;
(2)甲不在排头并且乙不在排尾;
(3)甲乙两人相邻;
(4)甲乙两人不相邻;
(5)甲始终在乙的前面(可相邻也可不相邻).
【解析】假设6人一字排开,排入如下格子:
排头
排尾
(1)方法一:
剔除法.
6
6个人任意排,有A6种方法;
甲在排头,其他人任意排,有A5种方法;故甲不在排头的方法有A6-A5=600
565
(种).
方法二:
特殊元素优先法.
第一步:
甲有特殊要求,故让甲先排,甲除了排头外有5个格子可以选,即
5
C1;
5
第二步:
余下的5个人,还有5个位置可以选,没有任何要求,故可任意排,即A5.
55
故不同的排队方法有C1A5=600(种).
方法三:
特殊位置优先法.
5
第一步:
排头有特殊要求,先让排头选人,除了甲以外都可以选,故有C1;第二步:
余下的5个位置,还有5个人可以选,没有任何要求,故可任意排
5
A5,
55
故不同的排队方法有C1A5=600(种).
【注意】①虽然以上两种方法在这一道题列出式子来是一样的,但是两种方
法的含义不同.
②在并非所有元素都参与排列时(如“6个人选4个人排队,甲不在排头”),特殊位置优先法与特殊元素优先法列出的式子并不一样,特殊位置优先法会更简单.
(2)方法一:
特殊元素优先法.
有两个特殊元素:
甲和乙.如果我们先让甲挑位置,甲不能在排头,故甲可以选排尾和中间的4个位置.这时,如果甲占了排尾,则乙就变成了没有要求的元素;如果甲占了中间4个位置中的一个,则乙还有特殊要求:
不能坐排尾;故按照甲的位置分为两类:
5
第一类:
甲在排尾,其他人没有任何要求,即A5;
4
第二类:
甲从中间4个位置中选1个位置,即C1;再让乙选,不能在排尾,不能在甲占的位置,故还有4个位置可选,即C1;余下的4个人任意排,即A4;
44
444
故应为C1C1A4.
5444
加法原理,不同排队方法有A5+C1C1A4=504(种).
方法二:
剔除法.
6个人任意排A6,减去甲在排头的A5,再减去乙在排尾的A5;
655
4
甲既在排头乙又在排尾的减了2次,故需要加上1次,即A4;
6554
所以,不同排队方法有A6-A5-A5+A4=504(种).
(3)相邻问题用捆绑法.
5
第一步:
甲乙两人必须相邻,故我们将甲乙两人用绳子捆起来,当作一个元素来处理,则此时有5个元素,可以任意排,即A5;
2
第二步:
甲乙两人排一下序,即A2;
52
根据乘法原理,不同排队方法有A5A2=240(种).
(4)不相邻问题用插空法.
4
第一步:
除甲乙外的4个人排队,即A4;
5
第二步:
4个人中间形成了5个空,挑两个空让甲乙两人排进去,两人必不相邻,即A2;
45
根据乘法原理,不同排队方法有A4A2=480(种).
(5)定序问题用消序法.
6
第一步:
6个人任意排,即A6;
2
第二步:
因为甲始终在乙的前面,所以单看甲乙两人时,两人只有一种顺序,但是6个人任意排时,甲乙两人有A2种排序,故需要消掉两人的顺序,用乘法
A6
原理的逆运算,即用除法,则有6.
2
A6
故不同排队方法有6=360种).
2
3
【注意】若3人定序则除以A3,以此类推.
练习:
(2012-1)在两队进行的羽毛球对抗赛中,每队派出3男2女共5名运动员进行5局单打比赛.如果女子比赛安排在第二和第四局进行,则每队队员的不同出场顺序有().
(A)12种(B)10种(C)8种(D)6种(E)4种
2
【解析】要求“每队”队员的不同出场顺序,只需要考虑一队即可.所以,2个女队员排在第二和第四局,即A2;
3
3个男队员排在另外三局,即A3;
23
根据乘法原理,不同的出场顺序为A2A3=12(种).
【答案】A
4.万能元素问题
万能元素是指一个元素同时具备多种属性,一般按照选与不选万能元素来分
类.
例(2011-10)在8名志愿者中,只能做英语翻译的有4人,只能做法语翻译
的有3人,既能做英语翻译又能做法语翻译的有1人.现从这些志愿者中选取3
人做翻译工作,确保英语和法语都有翻译的不同选法共有()种.
(A)12(B)18(C)21(D)30(E)51
【解析】分为两类:
17
第一类:
有人既懂英语又懂法语C1C2=21;
4343
第二类:
没有人既懂英语又懂法语C1C2+C1C1=30.
根据加法原理,不同的选法有51种.
练习:
从1、2、3、4、5、6中任取3个数字,其中6能当9用,则能组成
无重复数字的3位数的个数是()个.
(A)108(B)120(C)160(D)180(E)200
【解析】分为三类:
5
第一类:
无6和9,则其余5个数选3个任意排,即A3;
53
53
第二类:
有6,则1、2、3、4、5中选2个,再与6-起任意排,即C2A3;第三类:
有9,则1、2、3、4、5中选2个,再与9一起任意排,即C2A3;
55353
故总个数为A3+C2A3+C2A3=180(种).
【答案】D
5.均匀与不均匀分组问题
(1)均匀分组与不均匀分组.
如果组与组之间的元素个数相同,称为均匀分组;否则,称为不均匀分组.
(2)小组有名称与小组无名称.
只是分组即可,则小组无名称;如分为A组、B组、C组,或种子队、非种子队.等等,则小组有名称.
(3)
m
如果均匀分组,并且小组无名称,需要消序(若有m组元素个数相等,就要除以Am);其佘情况均不需要消序.
例:
从10个人中选一些人,分成三组,在以下要求下,分别有多少种不同的方法?
(1)每组人数分别为2、3、4;
(2)每组人数分别为2、2、3;
(3)分成A组2人,B组3人,C组4人;
(4)分成A组2人,B组2人,C组3人;
(5)每组人数分别为2、3、4,:
去参加不同的劳动;
(6)每组人数分别为2、2、3,去参加不同的劳动.
1085
【解析】
(1)不均匀分组,不需要考虑消序,即C2C3C4.
C2C3C4
(2)
均匀并且小组无名字,要消序,即1085.
2
(3)
1085
小组有名字,不管均匀不均匀,不需要消序,即C2C3C4.
(4)
1086
小组有名字,不管均匀不均匀,不需要消序,即C2C2C3.
(5)第一步,不均匀分组,即第二步,安排劳动,即A3;故有C2C3C4A3
3
C2C2C3
10853
(6)第一步,均匀且小组无名称分组,即1086.;第二步,安排劳动,即
2
C2C2C3
A3;故有1086A3.
A
323
2
6.不同元素的分配问题
不同元素的分配问题,采用先分组,再分配(排列)的原则.
例:
4个不同的小球放人甲、乙、丙、丁4个盒中,恰有一个空盒的放法有().
(A)
C1C2
(B)
C3A3
(C)
C1A4
(D)
C2A3
(E)
A3C1
4
【解析】先取两个球作为一组是C2,余下2球自然成为2组,把3组球放
入4个盒子的三个里,即A3,所以,不同的放法有C2A3种.
444
【答案】D
练习(2010-1)某大学派出5名志愿者到西部4所中学支教,若每所中学至少有一名志愿者,则不同的分配方案共有().
(A)240种(B)144种(C)120种(D)60种(E)24种
5
【解析】其中一所学校分配2人,其余3所学校各分配一人,分两步:
第一步:
从5名志愿者任选2人作为一组,另外三人各成一组,即C2;
4
第二步:
将4组志愿者任意分配给4所学校,即A4.
54
故不同的分配方案有:
C2A4=240.
【答案】A
7.相同元素的分配问题
(1)挡板法
将n个“相同的”m个对象,每个对象“至少分一个”的分法如下:
n-1
把这n个元素排成一排,中间有n-1个空,挑出m-1个空放上挡板,自然就分成了m组,所以分法一共有Cm-1种,这种方法称为挡板法.
要使用挡板法需要满足以下条件:
①所要分的元素必须完全相同.
②所要分的元素必须完全分完.
③每个对象至少分到1个元素.
(2)如果不满足第三个条件,则需要创造条件使用挡板法.
①每个对象至少分到0个元素(如可以有空盒子),则采用增加元素法,增加m个元素(m为对象的个数,如盒子的个数),此时一共有n+m个元素,中间
n+m-1
形成n+m-1个空,选出m-1个空放上挡板即可,共有Cm-1
象可以分到多个元素,则用减少元素法,使题目满足条件③
种方法,②每个对
例(2009-10)若将10只相同的球随机放人编号为1、2、3、4的四个盒子中,则每个盒子不空的投放方法有()种.
(A)72(B)84(C)96(D)108(E)120
【解析】挡板法.10个球排成一列,中间形成9个空,任选3个空放上挡板,
自然分为4组,每组放入一个盒子,故不同的分法有C3=9⨯8⨯7=84(种).
【答案】B
93⨯2⨯1
练习:
若将15只相同的球随机放人编号为1、2、3、4的四个盒子中,每个盒子中小球的数目,不少于盒子的编号,则不同的投放方法有()种.
(A)56(B)84(C)96(D)108(E)120
【解析】减少元素法.
相同元素的分配问题,但是不满足使用挡板法的第三个条件(每个盒子至少放一个小球),则需要创造出第三个条件.
第一步:
先将1、2、3、4四个盒子分别放0、1、2、3个球.因为球是相同的球,故只有一种放法.
第二步:
余下的9个球放入四个盒子,则每个盒子至少放一个,就满足了题
干的要求,也满足挡板法的要求,故C3=8⨯7⨯6=56(种).
83⨯2⨯1
8.不能对号入座问题——错排问题
出题方式为:
编号为1,2,3,…,n的小球,放人编号为1,2,3,…,n
的盒子,每个盒子放一个,要求小球与盒子不同号.
此类问题不需要自己去做,直接记住下述结论即可:
①n=2时,有1种方法.
②n=3时,有2种方法.
③n=4时,有9种方法.
④n=5时,有44种方法.
例:
(2014-1)某单位决定对4个部门的经理进行轮岗,要求每位经理必须轮换到4个部门中的其他部门任职,则不同的方案有().
(A)3种(B)6种(C)8种(D)9种
(E)10种
【解析】4球不对号入座问题,9种.
【答案】D
练习:
有5位老师,分别是5个班的班主任,期末考试时,每个老师监考一个班,且不能监考自己任班主任的班级,则不同的监考方法有().
(A)6种(B)9种(C)24种(D)36种
(E)44种
【解析】不能对号入座问题,根据上述结论,直接选44.
【答案】E
9.成双成对问题
出题方式为:
从鞋子、手套、夫妻中选出几个,要求成对或者不成对.
解题技巧:
无论是不是要求成对,第一步都先按成对的来选.若要求不成对,再从不同的几对里面各选一个即可.
例:
从6双不同的鞋子中任取4只,则其中没有成双鞋子的取法有()种.(A)96(B)120(C)240(D)480(E)560
6
2222
【解析】第一步,从6双中选出4双鞋子,有C4;第二步,从4双鞋子中各选1只,有C1C1C1C1;
62222
故不同的取法有C4C1C1C1C1=240.
10.涂色问题
涂色问题分为以下三种:
(1)直线涂色:
简单的乘法原理.
(2)环形涂色公式.
把一个环形区域分为k块,用s种颜色去涂,要求相邻两块颜色不同,则不
同的涂色方法有
N=(s-1)k+(s-1)(-1)k,
其中,s为颜色数(记忆方法:
se色),k为环形被分成的块数(记忆方法:
kuai块).
例:
(2000-1)用五种不同的颜色涂在图中的四个区域,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则不同的涂法共有().
(A)120种(B)140种(C)160种(D)180种
A
B
C
D
【解析】A,B,C,D四个区域分别有C1,C1,C1,C1种涂法,根据乘法
原理,得
5433
5433
【答案】D
C1C1C1C1=180(种).
练习:
如图7-7所示,一环形花坛分成四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为()种.
(A)96(B)84(C)60(D)48(E)36
【解析】环形涂色问题.方法一:
分为两类:
4
第一类,A,D种相同的花C1;C不能和A,D相同,故有3种选择;B不能和A,D
4
相同,故有3种选择;据乘法原理,得C1⨯3⨯3=36(种).
4
第二类,A,D种不同的花A2;C不能和A,D相同,故有2种选择;B不能和A,D
4
相同,故有2种选择;据乘法原理,得A2⨯2⨯2=48(种).
据加法原理,得36+48=84(种).
方法二:
公式法.
N=(s-1)k+(s-1)(-1)k=(4-1)k+(4-1)(-1)4=84(种).
【答案】B
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