中考 命题与证明.docx

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中考命题与证明

全国中考数学试题分类解析汇编

专题34命题与证明

一、选择题

1.（2012广东深圳3分）下列命题

①方程x2=x的解是x=1

②4的平方根是2

③有两边和一角相等的两个三角形全等

④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形

其中真命题有：

【】

A．4个B.3个C.2个D.1个

【答案】D。

【考点】命题与定理，解一元二次方程（因式分解法），平方根，全等三角形的判定，三角形中位线定理，

平行四边形的判定。

【分析】①方程x2=x的解是x1=0，x2=1，故命题错误；

②4的平方根是±2，故命题错误；

③只有两边和夹角相等（SAS）的两个三角形全等，SSA不一定全等，故命题错误；

④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，命题正确。

故正确的个数有1个。

故选D。

2.（2012广东广州3分）在平面中，下列命题为真命题的是【】

A．四边相等的四边形是正方形　　B．对角线相等的四边形是菱形　　

C．四个角相等的四边形是矩形　　D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

【答案】C。

【考点】命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定。

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除：

A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；

B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；

C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；

D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误。

故选C。

3.（2012浙江温州4分）下列选项中，可以用来证明命题“若a²>1,则a＞1”是假命题的反例是【】

A.a=－2.B.a==－1C.a=1D.a=2

【答案】A。

【考点】假命题，反证法。

【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题：

用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：

a=－2。

因为a=－2时，a2＞1，但

a＜1。

故选A。

4.（2012江苏泰州3分）下列四个命题：

①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对

角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是

轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有【】

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B。

【考点】真假命题，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，轴对称图形和中心对称图形。

【分析】根据平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定和轴对称图形、中心对称图形的概念逐一作出判断：

①如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，

连接BD，则

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠ADC=∠ABC，∴∠BDC=∠ABD（等量减等量，差相等）。

∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）。

∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义）。

因此命题①正确。

②举反例说明，如图，铮形对角线互相垂直且相等。

因此命题②错误。

③如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

连接AC，BD。

∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

∴EF=

AC，HG=

AC，EF=

BD，FG=

BD（三角形中位线定理）。

又∵矩形ABCD，∴AC=BD（矩形的对角线相等）。

∴EF=HG=EF=FG（等量代换）。

∴四边形EFGH是菱形（四边相等的辊边形是菱形）。

因此命题③正确。

④根据轴对称图形和中心对称图形的概念，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形。

因此命题④错误。

综上所述，正确的命题即真命题有①③。

故选B。

5.（2012福建龙岩4分）下列命题中，为真命题的是【】

A．对顶角相等B．同位角相等

C．若

，则

D．若

，则

【答案】A。

【考点】真命题，对顶角的性质，同位角的定义，平方根的意义，不等式的性质。

【分析】根据对顶角的性质，同位角的定义，平方根的意义，不等式的性质分别作出判断：

A．对顶角相等，命题正确，是真命题；

B．两平行线被第三条直线所截，同位角才相等，命题不正确，不是真命题；

C．若

，则

，命题不正确，不是真命题；

D．若

，则

，命题不正确，不是真命题。

故选A。

6.（2012湖北黄冈3分）下列说法中

①若式子

有意义，则x＞1.

②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.

③已知x=2是方程x2－6x+c=0的一个实数根，则c的值为8.

④在反比例函数

中，若x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＞2.

其中正确命题有【】

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B。

【考点】命题和证明，二次根式有意义的条件，补角的定义，一元二次方程的解，反比例函数的性质。

【分析】分别根据二次根式有意义的条件、补角的定义、一元二次方程的解及反比例函数的性质对各小题

逐一解答即可作出判断：

①若式子

有意义，则x≥1，故本命题错误；

②若∠α=27°，则∠α的补角=180°-27°=153°，故本命题正确；

③已知x=2是方程x2-6x+c=0的一个实数根，则22-12+c=0，解得c=8，故本命题正确；

④在反比例函数

中，若x＞0时，y随x的增大增大，则k-2＜0，解得k＜2，故本命题错误。

故正确命题有2个。

故选B。

7.（2012湖南益阳4分）下列命题是假命题的是【】

A．中心投影下，物高与影长成正比　　B．平移不改变图形的形状和大小　　

C．三角形的中位线平行于第三边　　D．圆的切线垂直于过切点的半径

8.（2012湖南岳阳3分）下列命题是真命题的是【】

A．如果|a|=1，那么a=1B．一组对边平行的四边形是平行四边形

C．如果a是有理数，那么a是实数D．对角线相等的四边形是矩形

【答案】C。

【考点】命题与定理，绝对值，平行四边形的判定，实数的概念，矩形的判定。

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案：

A、如果|a|=1，那么a=±1，故本命题错误；

B、一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是梯形，故本命题错误；

C、如果a是有理数，那么a一定是实数，故本命题正确；

D、对角线相等的四边形可能是矩形，也可能是等腰梯形或其它四边形，故本命题错误。

故选C。

9.（2012湖南娄底3分）下列命题中，假命题是【】

　A．平行四边形是中心对称图形

　B．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等

　C．对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差

　D．若x2=y2，则x=y

【答案】D。

【考点】命题与定理，平行四边形的性质，中心对称图形，线段垂直平分线的性质，用样本估计总体，有理数的乘方。

【分析】根据平行四边形的性质、三角形外心的性质以及用样本的数字特征估计总体的数字特征和有理数乘方的运算逐项分析即可：

A．平行四边形是中心对称图形，它的中心对称点为两条对角线的交点，故该命题是真命题；

B．三角形三边的垂直平分线相交于一点，为三角形的外心，这点到三角形三个顶点的距离相等，故该命题是真命题；

C．用样本的数字特征估计总体的数字特征：

主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差，故该命题是真命题；

D．若x2=y2，则x=±y，不是x=y，故该命题是假命题。

故选D。

10.（2012四川宜宾3分）给出定义：

设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：

①直线y=0是抛物线y=

x2的切线

②直线x=﹣2与抛物线y=

x2相切于点（﹣2，1）

③直线y=x+b与抛物线y=

x2相切，则相切于点（2，1）

④若直线y=kx﹣2与抛物线y=

x2相切，则实数k=

其中正确的命题是【】

　A．①②④B．①③C．②③D．①③④

【答案】B。

【考点】新定义，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式。

【分析】①∵直线y=0是x轴，抛物线y=

x2的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=

x2的切线。

故命题①正确。

②∵抛物线y=

x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x=－2与对称轴平行，∴直线x=﹣2与抛物线y=

x2相交。

故命题②错误。

③∵直线y=x+b与抛物线y=

x2相切，∴由

x2=4x＋b得

x2﹣4x﹣b=0，

∴△=16+4b=0，解得b=﹣4，把b=﹣4代入

x2﹣4x﹣b=0得x=2。

把x=2代入抛物线解析式得y=1，

∴直线y=x+b与抛物线y=

x2相切，则相切于点（2，1），故命题③正确。

④∵直线y=kx﹣2与抛物线y=

x2相切，∴由x2=kx﹣2得

x2﹣kx+2=0。

∴△=k2﹣2=0，解得k=±

，故命题④错误。

∴正确的命题是①③。

故选B。

11.（2012四川攀枝花3分）下列四个命题：

①等边三角形是中心对称图形；

②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；

③三角形有且只有一个外接圆；

④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．

其中真命题的个数有【】

　A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B。

【考点】命题与定理，中心对称图形，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，垂径定理。

【分析】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴①是假命题；

如图，∠C和∠D不相等，即②是假命题；

三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题。

垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题。

故②④是真命题。

故选B。

12.（2012四川凉山4分）下列命题：

①圆周角等于圆心角的一半；②x=2是方程x－1=1的解；③平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；④

的算术平方根是4。

其中真命题的个数有【】

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

【答案】A。

【考点】命题与定理，圆周角定理，方程的解，平行四边形的性质，算术平方根。

【分析】根据圆周角定理，方程的解、平行四边形的性质及算术平方根的定义进行判断即可得到真命题的个数：

同（等）弧所对的圆周角等于圆心角的一半，必须是同（等）弧，故①是假命题；

将x=2代入方程左右两边相等，故②正确，是真命题；

平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故③错误，是假命题；

的算术平方根是2，故④错误，是假命题。

真命题有1个。

故选A。

13.（2012四川乐山3分）下列命题是假命题的是【】

A．平行四边形的对边相等　　B．四条边都相等的四边形是菱形　　

C．矩形的两条对角线互相垂直　　D．等腰梯形的两条对角线相等

【答案】C。

【考点】命题与定理，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的性质，等腰梯形的性质。

【分析】根据平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的性质，等腰梯形的性质做出判断即可：

A、平行四边形的两组对边相等，正确，是真命题；

B、四条边都相等的四边形是菱形，正确，是真命题；

C、矩形的对角线相等但不一定垂直，错误，是假命题；

D、等腰梯形的两条对角线相等，正确，是真命题。

故选C。

14.（2012四川资阳3分）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE＝∠DAC，DE＝AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？

【】

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．有一组对边平行的四边形是梯形

C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形

D．对角线相等的四边形是矩形

【答案】C。

【考点】命题与定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。

【分析】∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∠B=∠C，

∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，即DE=AC，∠ADE=∠DAC，AD=AD，

∴△ADE≌△DAC（SAS）。

∴∠E=∠C，

∴∠B=∠E，AB=DE，但是四边形ABDE不是平行四边形。

故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，故此选项正确。

故选C。

15.（2012贵州毕节3分）下列命题是假命题的是【】

A.同弧或等弧所对的圆周角相等B.平分弦的直径垂直于弦

C.两条平行线间的距离处处相等D.正方形的两条对角线互相垂直平分

【答案】A。

【考点】命题与定理，圆周角定理，垂径定理，平行线之间的距离，正方形的性质。

【分析】分析是否为假命题，可以举出反例；也可以分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案：

A、错误，同弧或等弧所对的圆周角相等或互补，是假命题；

B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是正确的，是真命题；

C、两条平行线间的距离处处相等是正确的，是真命题；

D、正方形的两条对角线互相垂直平分是正确的，是真命题。

故选A。

16.（2012贵州六盘水3分）下列命题为真命题的是【】

　A．平面内任意三点确定一个圆B．五边形的内角和为540°

　C．如果a＞b，则ac2＞bc2D．如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等

【答案】B。

【考点】命题与定理，确定圆的条件，多边形内角和定理，不等式的性质，同位角。

【分析】利用确定圆的条件，多边形内角和定理，不等式的性质，同位角等知识进行判断找到正确的即可：

A．平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故本答案错误；

B．五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，故本选项正确；

C．当c=0时，原式不成立，故本答案错误；

D．两直线平行，同位角才相等，故本答案错误。

故选B。

17.（2012山东莱芜3分）以下说法正确的有【】

①正八边形的每个内角都是135º

②

与

是同类二次根式

③长度等于半径的弦所对的圆周角为30º

④反比例函数y＝－

，当x＜0时，y随x的增大而增大

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C。

【考点】命题和证明，多边形内角和定理，同类二次根式，圆周角，反比例函数的性质。

【分析】根据多边形内角和定理，反比例函数的性质，同类二次根式和圆周角的概念逐一判断：

①根据多边形内角和定理，得正八边形的每个内角为

。

说法正确。

②∵

，∴

与

是同类二次根式。

说法正确。

③长度等于半径的弦所对的圆周角除了300外，还有一个优角1500。

说法错误。

④反比例函数y＝－

，∵k=－2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大。

说法正确。

因此，说法正确的有3个。

故选C。

18.（2012山东日照3分）下列命题错误的是【】

（A）若a<1，则

（B）若

，则a≥3

（C）依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形（D）

的算术平方根是9

【答案】D。

【考点】命题与定理，二次根式的性质与化简，算术平方根，三角形中位线定理，菱形的性质，矩形的判定。

【分析】分别根据相关知识进行判断：

A、若a＜1，则

，故此命题正确，不符合题意；

B．若

，由二次根式的性质得，a－3≥0，则a≥3，故此命题正确，不符合题意；

C．根据菱形对角线互相垂直得出，依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故此命题正确，不符合题意；

D．∵

=9，9的算术平方根是3，故此命题错误，符合题意。

故选D。

19.（2012山东淄博3分）下列命题为假命题的是【】

（A）三角形三个内角的和等于180°

（B）三角形两边之和大于第三边

（C）三角形两边的平方和等于第三边的平方

（D）三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半

20.（2012山东济南3分）下列命题是真命题的是【】

A．对角线相等的四边形是矩形　　　　　　　　B．一组邻边相等的四边形是菱形

C．四个角是直角的四边形是正方形　　　　　　D．对角线相等的梯形是等腰梯形

【答案】D。

【考点】命题与定理，矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定。

【分析】根据矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定方法以及定义即可作出判断：

A、对角线相等的平形四边形才是矩形，故选项错误；

B、一组邻边相等的平形四边形才是菱形，故选项错误；

C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；

D、正确。

故选D。

21.（2012山东莱芜3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90º，BC＝2AD，F、E分别是BA、

BC的中点，则下列结论不正确的是【】

A．△ABC是等腰三角形B．四边形EFAM是菱形

C．S△BEF＝

S△ACDD．DE平分∠CDF

【答案】D。

【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理。

【分析】如图，连接AE，由AD∥BC，∠BCD＝90º，BC＝2AD，可得四边形AECD是矩形，∴AC=DE。

∵F、E分别是BA、BC的中点，∴AD

BE。

∴四边形ABED

是平行四边形。

∴AB=DE。

∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形。

故结论A正确。

∵F、E分别是BA、BC的中点，∴EF∥AC，EF=

AC=

AB=AF。

∵四边形ABED是平行四边形，∴AF∥ME。

∴四边形EFAM是菱形。

故结论B正确。

∵△BEF和△ACD的底BE=AD，△BEF的BE边上高=△ACD的AD边上高的一半，

∴S△BEF＝

S△ACD。

故结论C正确。

以例说明DE平分∠CDF不正确。

如图，若∠B=450，

则易得∠ADE=∠CDE=450。

而∠FDE＜∠ADE=∠CDE。

∴DE平分∠CDF不正确（只有在∠B=600时才成立）。

故结论D不正确。

故选D。

22.（2012广西钦州3分）下列说法错误的是【】

A．两点之间线段最短

B．对顶角相等

C．为了了解生产的一批炮弹的杀伤半径，适宜采用全面调查的方式

D．“通常加热到100℃时，水沸腾”这个事情属于必然事件

【答案】C。

【考点】线段的性质，对顶角的性质，全面调查与抽样调查，必然事件。

【分析】根据线段的公理，对顶角的性质，抽样调查的事件的特点，必然事件的定义求解：

A、两点之间线段最短，正确，故选项错误；

B、对顶角相等，正确，故选项错误；

C、了解生产的一批炮弹的杀伤半径，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批炮弹全部用于实验，错误，故选项正确；

D、“通常加热到100℃时，水沸腾”这个事情属于必然事件，正确，故选项错误。

故选C。

23.（2012内蒙古呼和浩特3分）下列命题中，真命题的个数有【】

①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行

②函数

图象上的点P（x，y）一定在第二象限

③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面

④使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为

．

A．3个B．1个C．4个D．2个

【答案】D。

【考点】命题与定理，平移和旋转的性质，非负数的性质，平行投影，公式法解一元二次方程，绝对值，二次根式有意义的条件。

【分析】①平移后对应线段平行；对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小没有发生变化；

旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化。

故此命题错误。

②根据二次根式的意义得x＜0，y＞0，故函数

图象上的点P（x，y）一定在第二象限。

故此命题正确。

③根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面。

故此命题正确。

④使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立，即y=|x|﹣3，y=﹣x2，故|x|﹣3=﹣x2，x2﹣|x|﹣3=0。

当x＞0，则x2﹣x﹣3=0，解得：

x1=

，x2=

（不合题意舍去）；

当x＜0，则x2+x﹣3=0，解得：

x1=

（不合题意舍去），x2=

。

∴使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为：

，

。

故此命题错误。

故正确的有2个。

故选D。

24.（2012内蒙古包头3分）已知下列命题：

①若a≤0，则lal＝一a；

②若ma2>na2，则m>n；

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

④垂直于弦的直径平分弦．

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是【】

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B。

【考点】命题的判断，绝对值的性质，不等式的性质，平行四边形的判定和性质，垂径定理。

【分析】①命题和逆命题均正确；②命题正确，逆命题不正确（当a=0时，由m>n→ma2=na2）；

③命题和逆命题均正确；④命题正确，逆命题不正确（当弦为直径时，平分它的直径不一定垂直于它）。

所以命题和逆命题均正确的个数有2个。

故选B。

25.（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）下列各式：

①x2+x3=x5；②a2·a3=a6；③

；④（

⑤

，其中正确的是【】

A．④⑤B．③④C．②③D．①④

【答案】A。

【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，二次根式的性质与化简，负整数指数幂，零指数幂。

【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、二次根式的化简、负指数幂与零指数幂的性质求解即可求得答案：

①x2和x3不是同类项，不可以合并，故错误；②a3•a2=a5，故错误；

③

，故错误；④

，故正确；⑤

，故正确。

故正确的是：

④⑤。

故选A。

二、填空题

1.（2012湖北黄石3分）将下列正确的命题的序号填在横线上▲.

①若n大于2的正整数，则n边形的所有外角之和为

.

②三角形三条中线的交点就是三角形的重心.

③证明两三角形全等的方法有：

SSS，SAS，ASA，SSA及HL等.

【答案】②。

【考点】命题与定理，多边形内角和外角性质，三角形的重心，全等三角形的判定。

【分析】分别根据多边形内角和定理、三角形的重心及全等三角形的判定定理得出结论：

1若n为大于2的正整数，则n边形的所有内角之和为（n－2）•180°，所有外角之和为3600，

故本命题错误；

②三角形三条中线的交点就是三角形的重心，符合重心的定义，故本命题正确；

③SSA不能证明两三角形全等，故本命题错误。

三、解答题

1.（2012福建漳州8分）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同

一直线上），并写出四个条件：

①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．

请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．

题设：

______________；结论：

________．（均填写序号）

证明：

【答案】解题设：

①②③；结论：

④．

证明：

∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF。

在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，

∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1=∠2。