学年人教版选修31微型专题6 带电粒子在磁场或复合场中的运动学案.docx

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学年人教版选修31微型专题6带电粒子在磁场或复合场中的运动学案

微型专题6　带电粒子在磁场或复合场中的运动

[课时要求]　1.掌握带电粒子在磁场中运动问题的分析方法，会分析带电粒子在有界磁场中的运动.2.会分析带电粒子在复合场中的运动问题．

一、带电粒子在有界磁场中的运动

1．带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形

（1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图1所示）

图1

（2）平行边界（存在临界条件，如图2所示）

图2

（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图3所示）

图3

2．带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

带电粒子在有界磁场中运动，往往出现临界条件，要注意找临界条件并挖掘隐含条件．

例1　如图4所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q（q>0）的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°.已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点（图中未画出），不计粒子的重力及粒子间的相互作用．

图4

（1）求两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d.

（2）求两粒子进入磁场的时间间隔Δt.

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，

由牛顿第二定律得

qvB＝m

得r1＝，r2＝

故d＝＋＝2r1sin30°＋2r2sin60°＝.

（2）粒子1做匀速圆周运动的圆心角θ1＝

粒子2做匀速圆周运动的圆心角θ2＝

粒子做匀速圆周运动的周期T＝＝

粒子1在匀强磁场中运动的时间t1＝T

粒子2在匀强磁场中运动的时间t2＝T

所以Δt＝t1－t2＝

例2　（20172018学年嵊州中学高二（上）期末）如图5所示为一金属筒的横截面，该圆筒的半径为R，内有匀强磁场，方向为垂直纸面向里，磁感应强度为B，在相互平行的水平金属板AA′和CC′之间有匀强电场，一个质量为m（重力不计）、带电荷量为q的粒子，在电场力的作用下，沿图示方向从P点无初速度运动经电场加速进入圆筒内，在筒内它的速度方向偏转了60°，求：

图5

（1）该粒子带何种电荷？

（2）粒子在筒内运动的时间．

（3）两金属板间的加速电压．

答案　

（1）负电荷　

（2）　（3）

解析　

（1）粒子向右偏转，根据左手定则可知粒子带负电荷．

（2）粒子在磁场中运动，设粒子在筒中的速度为v，由牛顿第二定律有Bqv＝，得r＝，周期：

T＝＝，筒中运动时间t＝＝.

（3）由几何关系得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r＝Rtan60°＝R

设两金属板间加速电压为U，由动能定理得qU＝mv2，解得U＝.

二、带电粒子在组合场中的运动

带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动．通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动．

（1）在电场中运动：

①若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动；

②若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动．

（2）在磁场中运动：

①若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动；

②若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动．

（3）解决带电粒子在组合场中的运动问题，所需知识如下：

例3　平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图6所示．一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动．Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍．粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等．不计粒子重力，问：

图6

（1）粒子到达O点时速度的大小和方向；

（2）电场强度和磁感应强度的大小之比．

答案　

（1）v0　方向与x轴正方向成45°角斜向上　

（2）

解析　

（1）在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，有

2L＝v0t①

L＝at2②

设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为vy

vy＝at③

设粒子到达O点时速度方向与x轴正方向夹角为α，有

tanα＝④

联立①②③④式得α＝45°⑤

即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45°角斜向上．

设粒子到达O点时速度大小为v，由运动的合成有

v＝⑥

联立①②③⑥式得v＝v0⑦

（2）设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得

F＝ma⑧

又F＝qE⑨

设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有

qvB＝m⑩

由几何关系可知R＝L⑪

联立①②⑦⑧⑨⑩⑪式得＝

三、带电粒子在叠加场中的运动

带电粒子在叠加场中的运动一般有两种情况：

（1）直线运动：

如果带电粒子在叠加场中做直线运动，一定是做匀速直线运动，合力为零．

（2）圆周运动：

如果带电粒子在叠加场中做圆周运动，一定是做匀速圆周运动，重力和电场力的合力为零，洛伦兹力提供向心力．

例4　如图7所示，在地面附近有一个范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场．匀强磁场的磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向外，一质量为m、带电荷量为－q的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀速圆周运动．（重力加速度为g）

图7

（1）求此区域内电场强度的大小和方向；

（2）若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°角，如图所示．则该微粒至少需要经过多长时间才能运动到距地面最高点？

最高点距地面多高？

答案　

（1）　方向竖直向下

（2）　H＋

解析　

（1）要满足带负电微粒做匀速圆周运动，则：

qE＝mg，得E＝，方向竖直向下．

（2）如图所示，

当微粒第一次运动到最高点时，α＝135°，

则t＝T＝

T＝

所以：

t＝

因微粒做匀速圆周运动，qvB＝m，

则R＝，故最高点距地面的高度为：

H1＝R＋Rsin45°＋H＝H＋.

1．（圆周运动的临界问题）如图8所示，比荷为的电子垂直射入宽度为d、磁感应强度为B的范围足够大的匀强磁场区域，则电子能从右边界射出这个区域，至少应具有的初速度大小为（　　）

图8

A.B.

C.D.

答案　B

2.（圆形磁场边界问题）（2018·长兴、德清、安吉期中考试）如图9所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从B点沿直径BOA方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现将带电粒子的速度变为3v，仍从B点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为（　　）

图9

A.ΔtB.Δt

C.ΔtD．Δt

答案　B

解析　设圆形磁场的半径为R，粒子速度为v时，做圆周运动的半径为r1，粒子运动轨迹如图所示，

由几何关系知，圆心角θ1＝120°，r1＝，由r＝知，若粒子速度变为3v，则r2＝3r1＝R，此时设粒子做圆周运动的圆心角为θ2，则tan ＝＝，得θ2＝60°.由Δt＝T，速度变为3v后粒子运动时间为，选项B正确．

3．（带电粒子在叠加场中的运动）如图10，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc，已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是（　　）

图10

A．ma＞mb＞mcB．mb＞ma＞mc

C．mc＞ma＞mbD．mc＞mb＞ma

答案　B

解析　设三个微粒的电荷量均为q，

a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，即

mag＝qE①

b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则

mbg＝qE＋qvB②

c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则

mcg＋qvB＝qE③

比较①②③式得：

mb>ma>mc，选项B正确．

4．（带电粒子在组合场中的运动）在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图11所示．不计粒子重力，求：

图11

（1）M、N两点间的电势差UMN；

（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；

（3）粒子从M点运动到P点的总时间t.

答案　

（1）　

（2）　（3）

解析　

（1）设粒子过N点时的速度为v，有＝cosθ

故v＝2v0

粒子从M点运动到N点的过程，由动能定理得

qUMN＝mv2－mv

解得UMN＝.

（2）过点N作v的垂线，与y轴交点为O′，如图所示，

粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动，半径为O′N，有qvB＝

解得r＝.

（3）由几何关系得ON＝rsinθ

设粒子在电场中运动的时间为t1，有ON＝v0t1

解得t1＝

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝

设粒子在磁场中运动的时间为t2，有t2＝T＝

所以t＝t1＋t2＝.

一、选择题

考点一　带电粒子在有界磁场中的运动

1．如图1所示，正方形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，有两个质子从A点沿AB方向垂直进入磁场，质子1从顶点C射出，质子2从顶点D射出，设质子1的速率为v1，在磁场中的运动时间为t1，轨迹半径为R1，质子2的速率为v2，在磁场中的运动时间为t2，轨迹半径为R2，则（　　）

图1

A．R1∶R2＝1∶2B．v1∶v2＝1∶2

C．v1∶v2＝2∶1D．t1∶t2＝2∶1

答案　C

解析　由题图可知质子1的半径为正方形的边长L，质子2的半径为，R1∶R2＝2∶1，A错误；根据洛伦兹力充当向心力可得：

Bqv＝m，v＝，故速度之比等于半径之比，故v1∶v2＝2∶1，故B错误，C正确；由T＝可知，两质子的周期相同，但由题图可知，质子1转过的圆心角为90°，而质子2转过的圆心角为180°，则可知，所用时间之比等于转过的圆心角之比，故t1∶t2＝90°∶180°＝1∶2，故D错误．

2.如图2所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为（　　）

图2

A.B．2C.D．3

答案　D

解析　粒子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出粒子的运动轨迹，如图所示：

电子1垂直射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径公式r＝可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60°，

所以电子1运动的时间为t1＝＝，

电子2运动的时间为t2＝＝，

所以＝3.

3．如图3所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°角从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动时间之比为（　　）

图3

A．1∶2B．2∶1

C．1∶D．1∶1

答案　B

解析　如图所示，粗略地画出正、负电子在第一象限内的匀强磁场中的运动轨迹．

由几何关系知，正电子轨迹对应的圆心角为120°，运动时间为t1＝，其中T1为正电子运动的周期，由T＝及qvB＝知T1＝；同理，负电子在磁场中运动的周期T2＝T1＝，但由几何关系知负电子在磁场中转过的圆心角为60°，故在磁场中运动的时间t2＝.所以正、负电子在磁场中运动的时间之比为＝＝，故B选项正确．

4.（多选）如图4所示，分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．电荷量为q、质量为m的带正电的粒子从磁场边缘A点沿圆的半径AO方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角．（不计粒子的重力）则（　　）

图4

A．粒子做圆周运动的半径为r

B．粒子的入射速度为

C．粒子在磁场中运动的时间为

D．粒子在磁场中运动的时间为

答案　ABC

解析　设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，如图所示，

∠OO′A＝30°，由图可知，粒子运动的半径R＝O′A＝r，选项A正确；

根据牛顿运动定律，

有：

Bqv＝m

得：

v＝

故粒子的入射速度v＝，选项B正确；由几何关系可知，粒子运动轨迹所对应的圆心角为60°，则粒子在磁场中运动的时间t＝T＝×＝，选项C正确，D错误．

5.如图5所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场．一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力．则（　　）

图5

A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1

B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2

C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1

D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2

答案　A

解析　带正电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动轨迹如图所示，

由几何关系得，rc＝2rb，θb＝120°，θc＝60°，由qvB＝m得，v＝，则vb∶vc＝rb∶rc＝1∶2,又由T＝，t＝T和θb＝2θc得tb∶tc＝2∶1，故选项A正确，B、C、D错误．

6．如图6所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向跟CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是（　　）

图6

A．v＞B．v＜

C．v＞D．v＜

答案　A

解析　由题意可知电子从EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度与EF平行，轨迹与EF相切，如图所示．

由几何知识得

R＋Rcosθ＝d，R＝，解得v0＝，当v＞v0时，即能从EF射出．

考点二　带电粒子在叠加场中的运动

7．（多选）一个带电微粒在如图7所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，重力不可忽略，已知轨迹圆的半径为r，电场强度的大小为E，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，则（　　）

图7

A．该微粒带正电

B．带电微粒沿逆时针旋转

C．带电微粒沿顺时针旋转

D．微粒做圆周运动的速度为

答案　BD

解析　带电微粒在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，可知，带电微粒受到的重力和电场力是一对平衡力，重力竖直向下，所以电场力竖直向上，与电场方向相反，故可知该微粒带负电，A错误；磁场方向向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断微粒的旋转方向为逆时针，B正确，C错误；由微粒做匀速圆周运动，知电场力和重力大小相等，得：

mg＝qE①

带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为：

r＝②

联立①②得：

v＝，D正确．

8.如图8所示，竖直平面内，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v与磁场方向垂直，与电场方向成45°角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，则关于电场强度E和磁感应强度B的大小，正确的是（重力加速度为g）（　　）

图8

A．E＝，B＝B．E＝，B＝

C．E＝，B＝D．E＝，B＝

答案　A

解析　假设粒子带负电，则其所受电场力方向水平向左，洛伦兹力方向斜向右下方与v垂直，可以从力的平衡条件判断出这样的粒子不可能做匀速直线运动，所以粒子应带正电荷，受力情况如图所示．

根据合外力为零得

mg＝qvBsin45°

qE＝qvBcos45°

联立以上两式可得B＝，E＝.

考点三　带电粒子在组合场中的运动

9．（多选）如图9所示，A板发出的电子（重力不计）经加速后，水平射入水平放置的两平行金属板M、N间，M、N之间有垂直纸面向里的匀强磁场，电子通过磁场后最终打在荧光屏P上，关于电子的运动，下列说法中正确的是（　　）

图9

A．当滑动触头向右移动时，电子打在荧光屏的位置上升

B．当滑动触头向右移动时，电子通过磁场区域所用时间不变

C．若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度大小不变

D．若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度变大

答案　AC

解析　当滑动触头向右移动时，电场的加速电压增大，加速后电子动能增大，进入磁场时的初速度增大，向下偏转程度变小，打在荧光屏的位置上升；在磁场中运动对应的圆心角变小，运动时间变短，选项A正确，B错误；磁感应强度增大，电子在磁场中运动速度大小不变，打在荧光屏上的速度大小不变，选项C正确，D错误．

10.如图10所示，有理想边界的匀强磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，某带电粒子的比荷（电荷量与质量之比）大小为，由静止开始经电压为U的电场加速后，从O点垂直射入磁场，又从P点穿出磁场．下列说法正确的是（不计粒子所受重力）（　　）

图10

A．如果只增加U，粒子可以从dP之间某位置穿出磁场

B．如果只减小B，粒子可以从ab边某位置穿出磁场

C．如果既减小U又增加B，粒子可以从bc边某位置穿出磁场

D．如果只增加，粒子可以从dP之间某位置穿出磁场

答案　D

解析　由已知可得qU＝mv2，＝，r＝，解得r＝.对于选项A，只增加U，r增大，粒子不可能从dP之间某位置穿出磁场．对于选项B，粒子电性不变，不可能向上偏转从ab边某位置穿出磁场．对于选项C，既减小U又增加B，r减小，粒子不可能从bc边某位置穿出磁场．对于选项D，只增加，r减小，粒子可以从dP之间某位置穿出磁场．

二、非选择题

11．（带电粒子在组合场中的运动）（2018·余姚中学第一学期高二物理测试）在如图11所示的直角坐标系xOy中，矩形区域Oabc内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝5.0×10－2T；第一象限内有沿－y方向的匀强电场，电场强度大小为E＝1.0×105N/C.已知矩形区域Oa边长为0.60m，ab边长为0.20m，在bc边中点N处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面向磁场各方向均匀地辐射出速率均为v＝2.0×106m/s的某种带正电粒子，带电粒子质量m＝1.6×10－27g，电荷量为q＝＋3.2×10－19C，不计粒子重力，求：

图11

（1）粒子在磁场中运动的半径；

（2）从x轴上射出的粒子中，进入电场前在磁场中运动的最短路程为多少？

（3）放射源沿－x方向射出的粒子，从射出到从y轴离开所用的时间．

答案　

（1）0.20m　

（2）0.21m　（3）4.6×10－7s

解析　

（1）粒子运动的轨迹如图，由牛顿第二定律可得：

qvB＝m，解得R＝0.20m.

（2）由数学知识可知，最短弦对应最短的弧长；

由图可知，α＝，最短的弧长即最短路程s＝Rα＝m≈0.21m.

（3）由qvB＝，T＝得，粒子在磁场中运动的周期T＝＝s＝6.28×10－7s

粒子在磁场中沿NP运动的时间t1＝

粒子在电场中的加速度为a＝，

v＝at2，解得t2＝1.0×10－7s

则可得粒子在电场中往返运动的时间为2t2＝2.0×10－7s

由图可知cosθ＝0.5，故θ＝，

粒子在磁场中运动的第二部分时间t3＝T＝，

粒子运动的总时间

t＝t1＋2t2＋t3≈4.6×10－7s.

12．（带电粒子在组合场中的运动）如图12所示xOy坐标系，在第二象限内有水平向右的匀强电场，在第一、第四象限内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向如图所示．现有一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在该平面内从x轴上的P点，以垂直于x轴的初速度v0进入匀强电场，恰好经过y轴上的Q点且与y轴成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于x轴进入第四象限的磁场．已知OP之间的距离为d（不计粒子的重力）．求：

图12

（1）O点到Q点的距离；

（2）磁感应强度B的大小；

（3）带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴所用的时间．

答案　

（1）2d　

（2）　（3）

解析　

（1）设Q点的纵坐标为h，粒子到达Q点的水平分速度为vx，P到Q受到的恒定的电场力与初速度垂直，为类平抛运动，则由类平抛运动的规律可知

竖直方向匀速直线运动，h＝v0t1

水平方向匀加速直线运动的平均速度＝，

则d＝

根据速度的矢量合成tan45°＝，解得h＝2d.

（2）粒子运动轨迹如图所示，

由几何知识可得，粒子在磁场中的运动半径R＝2d

由牛顿第二定律得qvB＝m，解得R＝

由

（1）可知v＝＝v0

联立解得B＝.

（3）在电场中的运动时间为t1＝

在磁场中，由运动学公式T＝

在第一象限中的运动时间为t2＝·T＝T

在第四象限内的运动时间为t3＝

带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴所用的时间为t＝t1＋t2＋t3＝.