第3章矩阵的初等变换与线性方程组.docx
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第3章矩阵的初等变换与线性方程组
第1页儿92页
、消元法解线性方程组
二、矩阵的初等变换
第三章矩阵的初等变换
与线性方程组
消元法解线性方程组
求解线性方程组:
2x,-兀2-兀3+乞=2,
•V,+兀2—2兀3+工4=4,
4x,—6*2+2*3—2x』=4,
3x^+6x2一9兀3+7心=9,
naUHa
X^十-疋2—2X3+“4=4,
2X]—^2_”丫3+兀4=2,
2Xj—3兀2+-^3—兀4=2,
3x,+6乂2—9七+7必4=9,
X^+兀2—2X3+i=4,2*2—2X3+2.v^=0,
—5*2+5丸3—3兀4=—6.
3*2—3乂3+4尤4=—3,
X^+兀2—2兀3+£=4.丸2—兀3+兀4=(人
2.丫4=-6,
“4=一3,
可取每
—行的第一个未知数为非自由未知数,进行回代)
解得
尤4=—3
V;=勺+3其中,£可任意取值
內=勺+4
其中C为任意常数.
方程组的同解变换(消元过程”
3)
A对增广矩阵/i={A\h)进行相应的三种初等行变换
第7页Jl92页
2x,—*2—心+*4=2,
*1+*2一2*3+工4=4,
-
4工丄—6*2+2*3—2斗=4,
3X]+6*2—9x3+7xj=9,
行阶梯形:
X]+尤2—2X3+兀4=49
兀2—工3+Xj=0,
兀4=—3,
0=0,
①I-21
o|©-11
①
②
③
④
(B4)
4、
0
一3
000
000丿
(R4)
X]+乂2一2心+斗=4,
兀2—兀3+Xj=0,
X4=—3,
0=0,
X^+*2—2工3=7,兀2-6=3,兀4=—3()=(\
-V,-兀3=4,
£一疋3=3,(B5)
“4=—3,
0=0.
行最简形B-
①«
诃①-10
()
«4、
3
00①一3
0000丿
第9页人92页
方程组的求解
对增广矩阵(Alb)施行初施凑换,变成行
注意:
初等列变换不能求解方程组,因为列变换
是对变元进行变换,并不是方程的同解变换。
初等变换的逆变换
fl)
2)
r.xAr
13)
巧弓;
r,x(£)或巧+k;
k
口+(—&)兮或z;-k/j.
第II页儿92页
矩阵的等价关系
行等价:
列等价:
€
A〜叭
等价:
性质:
反身性、对称性、
传递性
标准形:
F=
lOO扁
第13页儿92页
ZI!
=
Z
0
()
4、
()
0
0
0
10
0
00
0丿
/
0
()
»
0、
0
1
<)
0
<)
0
0
()
0
=F
0
0
0
0丿
初等矩阵的概念
1、定义
单位矩阵£经一次初等变换得到的矩阵
2、三种初等矩阵
三种初等变换三种初等方阵
ETE(i、“=
1
•
•
1
f
…
、
1
•
•
•
1
1
•
•
•
1
…1
k
J
F
1
•
•
«
J第I行
J第J行
1)“宀巧IqOCy
q
用加阶初等矩阵EJiJ)左乘>4=(切几如得
«||
•
•
%
•
…%
•
■
•
a讥
•
•
«
%
•
•
•
•••a•jn
•
•
~第<行
•
•
•
■
如2
■
•
•
…%
•
J第7行
•
%
■
aml
•
•••d^mnJ
第17页Jl92页
类似地,
以n阶初等矩阵右乘矩阵A,
仏、
"2«
^mny
2)r.xkICiXk仏工0)
尸1
«
♦
1
1
、
Ji
1
•
•
■
Ci
E-^E(i(k})=
第19页儿92贡
以EJi(k))左乘矩阵4,
{«11
«12
E^a(k))A=
kg
J第,行
fl
(帀(幻)=
第21页儿92页
以EJij(k))左乘矩阵A,
42+S
d(g))A=
以E("伙))右乘矩阵力?
?
AEd
A经过列变换:
勺+g
佔(兀伙))
A经过列变换:
Cf+kCjl
"«1|
«21
5+辰2/
a\j
5j
°2«
anij
1)行变换,少为A左乘相应的也阶初等矩阵
2)列变换,々为A右乘相应的M阶初等矩阵
初等矩阵的转置仍为初等矩阵;
初等矩阵均可逆,且逆都是同类的初等矩阵:
E(ijr^=E(ij)
E(⑷,E(y)
E(y(k))-^=E(y(-k))
‘010)
‘101)
r23、
例1:
已知
100
A
010
—
654
001丿
、001丿
J89,
,求A・
解:
=
记/?
=
即4=仅1乙)"〃£;(1,3
(1)尸=E(1,2)/?
F(1,3(-1))
定理2
A可逆■►存在有限个初等矩阵
片,佗,…必,使4=P'P’…Pi・证:
(充分性—)
显然.
rC
推论1A可逆■^4~£或4~£
证明:
由定理2,A町逆0力=片為…弓
04=件/^••出EoE=PiI…石出+
A经有限次初等行变换=E
可逆矩阵的行最简型为E
第29页儿92贡
▲若A可逆
||也1…/^切1(4适)=(圧力-1)
・••对(加E)做初等石交砂可转化为(EM")即可求出qj
同理,对方程组AX=〃
若朮町逆》x=/ri8
只盂对(Ab)做初等即可求得¥
(AiB)
II初等行变换E茁〃
(作业)
推论2
人~〃03尸,2可逆,便得4=刖0
集31页儿92页
"1
设A=2
.3
/1
23、
21,求a.
43.
3$10
0、
解{A\E)=2
(3
101
尸2一2尸1
00、
-2
-5i一2
打+「2
-2
-613
「1+厂2
〔10-2丨-110、
尸3一厂2
10
<1
-2、
「2-5口
1°
0I3
-11-1
-1
0I1
°|-|
-3
-I
第33页J192页
<1
2
3)
r1、
pn
A=
2
2
1,b\=
2
9/?
2=
0
<3
4
3丿
\一2丿
J5/
例3
求方程Av=為,Ax=/?
2的角乍
5、
134
\1_
兀1
第3S页」l92页
小结
初等矩阵.
.-次初等变换
1.单位矩阵
2.
(1)构造矩阵(加E)或
利用初等变换求逆阵的步骤是:
小
⑵对(加E)施行初等行变换,将A化为单位矩阵£S、
变换,将4化为单位阵^^后,疋对应部分即为/1"・
第三节矩阵的秩
矩阵秩的概念
二.矩阵秩的求法
三、矩阵秩的一些结论
第37页人92页
—、矩阵秩的概念
任何矩阵总可经过有限次初等俶换把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的冇数是唯一确定的矩阵的秩
1.矩阵的子式
Ar阶子式(ks{叫H):
任禺Ar行、R列交叉得到的筵膨的行列式
加X,"矩阵A的A:
阶子式共有昭个.
2.最高阶非零子式和秩
A的秩=4的最高阶非0子式的阶=/?
04)或r(A)
即行阶梯形中非。
行的行数
<10n
r(A)=2
1000丿
求秩:
任何矩阵,只需化为行阶梯形
求逆:
方阵,应化为单位矩阵
0 R(A^)=R(A) 可逆矩阵的秩等于其畅,故称可逆矩阵为满秩矩阵奇异矩阵为降秩矩阵. (一般地,^(A)=min(zzi,n),则称A为满秩矩阵) 塞41页Jl92页 fl 2=()• 3 又-A的3阶子式只有一个A,且A=0, R(B)=3e 第43页」l92页 二、矩阵秩的求法 因为对于任何矩阵4“沪总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形. 问题: 经过变换矩阵的秩变吗? 1、定理1若A-B,则/? (4)=R(B)・2、初等变换求矩阵秩的方法: 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩 阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵 的秩. 笫45页」192页 显然,非零行的行数为2, ・•・R{A)=2. <) 3 1 -4 2 -2 0 6 -3 4> 秩,并求A的一个最高阶非零子式 解对加乍初箸行变换: 0 0 <0 6 -4 » 0 -4 3 0 0 ,求矩阵A的 塞47*5(八92页 4、 -1 -8 0, 求A的一个最高阶子式 取行阶梯形中的1、2、4列及1、2、3行对应于原矩阵中的行和列,即可得到A的一个最高阶非0子式 注: 行、 求解最高阶非0子式时,应注意初等变换过程中列的对换情况。 例5设4= /1 2 -2 -4 2 8 -1) 0 (1、 2 -2 4 -2 3 、b= 3 、3 -6 0 -6, 3 求矩阵4及矩阵》=(A20的秩. 解分析: 设B的行阶梯形矩阵为&=(入恥 则久就是A的行阶梯形矩阵 故从B=(4/)中可同时看出RC4)及R(B).
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- 矩阵 初等 变换 线性方程组