不等式的微分法和积分法的证明.docx
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不等式的微分法和积分法的证明
不等式的微分法和积分法的证明
不等式的微分法和积分法的证明 作 者:
徐辉指导教师:
廖冬 摘要:
不等式是数学的重要类容之一,求解不等式的方法众多,利用微积分理论和方法,可使不等式证法思路变的简单,归纳和总结了一些证明不等式的方法和技巧,突出了微积分在不等式证明中的重要作用. 关键词:
不等式、证明、微积分、应用 不等式是数学的重要类容之一,在解各类方程、有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用.在不等式的许多解法中,往往需要较高的技巧[1].利用高等数学中微积分思想可以使不等式的证法思路变的简单.着重阐述利用高等数学中的微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理等众多方法解不等式的证明问题. 1.微分法 利用微分中值定理证明不等式[2] 微分中值定理:
如果函数y?
(1).在区间[a,b]上连续,
(2).在区间(a,b)内可导,则在区间(a,b)内至少存在一点?
,使 f?
(?
)?
f(b)?
f(a)b?
af(x)满足下列条件 . 拉格朗日中值定理适合证明函数f(x)与其导函数之间的不等 1 式,若观查不等式出现f?
(x)在区间上的函数值之差及f(x)的表达式,则拉格朗日中值定理是我们自然的选择,应用中值定理证明不等式的关键是构造适当的函数f(x)和闭区间[a,b],使f(x)在[a,b]上满足条件.例1.证明 h1?
h?
In(1?
h)?
h,其中h?
0. 证明:
设f(x)?
f?
(x)?
11?
xIn(1?
x),则 考虑在[0,h]上,f(x)连续且在(0,h)可导,中值定理得 f(h)?
f(0)?
In(1?
h)?
In1?
In(1?
h)?
f?
(?
)h,f?
(?
)h,其中?
?
(0,h) ?
In(1?
h)?
又因?
11?
h11?
h?
f?
(x)?
11?
?
?
1, ?
In(1?
h)?
f?
(?
)h?
h,其中h?
0 原式得证,即 11?
h?
In(1?
h)?
h. 利用函数的单调性证明不等式 函数f(x)在区间(a,b)内可导,则f(x)在(a,b)内递增的充要条件是:
f?
(x)?
0[3].可利用此定理证明不等式.例2.证明:
当x?
0时,x?
证明:
先证sin令f(x)?
sinx?
x, 16x?
sinx?
x. 3x?
x,则f(0)?
0,f?
(x)?
cosx?
1?
0. 此可知当x?
0时,f(x)是递减的,?
当x?
0时,有f(x)?
f(0)?
0,即sinx?
x 2 再证左边不等式,令F(x)?
sin且F?
(x)?
cosx?
1?
12x2x?
x?
16x3,则F(0)?
0 , 可知F?
?
(x)?
0,所以当x?
0F?
?
(x)?
?
sinx?
x,于sinx?
x时,有 F?
(x)?
F?
(0)?
0,故xx?
16x?
sinx. 3?
0时,F(x)?
0,即 所以当x?
0时,x?
16x?
sinx?
x. 用极值的方法证明不等式 在不等式的证明中,我们常常构造函数f(x),f(x)构造好后,如果无法得到f?
(x)?
0或f?
(x)?
0,即当函数不具有单调性时,可以考虑用极值的方法证明.例为常数,且a证明:
设f(x)?
ex?
In2?
1,试证明x?
2ax?
1?
e2x,其中x?
0. ?
(x?
2ax?
1). 2x?
f?
(x)?
e?
2x?
2a. 则f?
?
(x)?
ex当x?
?
2,令f?
?
(x)?
0?
x?
In2. In2时,有f?
?
(x)?
0,当x?
In2时,有f?
?
(x)?
0. In2处具有极小值. 所以函数f?
(x)在x?
又因为f?
(In2)?
eIn2 故f?
(x)?
?
?
?
2In2?
2a?
2(1?
In2)?
2a?
0. f?
(In2)?
0 ). 为凸函数 则有下列不等式成立. x1?
?
?
xnn)?
1n[f(x1)?
?
?
f(xn)],?
f?
?
(x)?
0(f?
?
(x)?
0f(x1?
?
?
xnn)?
1n[f(x1?
?
?
xn], 此可证明一些不等式,特别是含有两个或两个以上变元的[4]. a?
b?
c例4.证明不等式(abc)证明:
设f(x)?
f?
(x)?
Inxf?
?
(x)?
1x3?
abc,其中a,b,cabc均为正数. xInx,x?
0,则 ?
1, ,可知f?
?
(x)?
0成立. 所以f(x)?
f( a?
b?
c133a?
b?
c333xInx)?
13在x?
0时为严格凸函数,则有 (f(a)?
f(b)?
f(c)),从而 ?
(f(a)?
f(b)?
f(c)),)a?
b?
c即 (a?
b?
c?
abc. abc有因 abc?
a?
b?
c33,所以 a?
b?
c (abc)a?
b?
c?
(a?
b?
c3c)a?
b?
c?
abc. abc?
(abc)3?
abc. 利用泰勒公式证明不等式 当涉及到二阶或更高阶导数的命题时,可考虑用泰勒公式证明不等式.其关键是选择在恰当的特殊点展开[5].例5.设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)?
4 f
(1)?
0,minf(x)?
?
1,求证:
0?
x?
1max0?
x?
1f?
?
(x)?
8. 证明:
设f(x)在x?
a(0?
a?
1)处取得最小值,所以f(a)?
?
1,费 马定理可知a为极值点,f?
(a)?
0.泰勒公式f(x)?
f(a)?
f?
(a)(x?
a)?
f?
?
(?
)2(x?
a)2,f?
?
(?
)2(x?
a)2 =?
1?
其中?
位于a与x之间, ?
f(0)?
f
(1)?
0,所以有f?
?
(?
1)2f?
?
(?
2)2a,?
1?
(0,a), 20?
?
1?
0?
?
1?
令f?
?
(?
1(1?
a),?
2?
(a,1)2 )?
c1,f?
?
(?
2)?
c2,则上可知 0?
?
1?
0?
?
1?
?
c1?
2a2c12c22a, 2(1?
a), 2,c2?
2(1?
a)122. 若a?
max0?
x?
1,则c1?
8 f?
?
(x)?
f?
?
(?
1)?
c1?
8 12,则1?
a?
12,则c2?
8. ,若a?
,可知 max0?
x?
1 f?
?
(x)?
8. 2.积分法 5
利用积分性质证明不等式 若f(x),g(x)在区间[a,b]上可积,其中x?
[a,b].例1.证明当x?
0时,有x?
fx?
gx?
?
xaftdt?
?
xagtdt, x36?
sinx?
x?
x36?
x5120. 证明:
当x?
0时,有 sinx?
x. ?
1?
cosx?
?
x0sintdt?
12x2?
x0tdt?
12x2 ?
cosx?
1?
?
sinx?
?
x0costdt?
?
x01?
312tdt?
x?
216x, 3即sin1?
cosx?
x?
x?
16x0x.(t?
4?
x0sintdt?
12x?
2?
16t)dt?
312x?
2124x. 4?
cosx?
1?
124xx1214?
?
costdt?
?
(1?
t?
t)dt.00224x. 即sinx?
x?
16x?
31120x. 5 上可知当x x?
16x?
sinx?
x?
3?
016时有 3x?
1120x. 利用分部积分法来证明不等式 若u(x),v(x)为[a,b]上的连续函数,则有定积分分部积分公式:
?
au(x)v?
(x)dx?
u(x)v(x)?
a?
?
au?
(x)v(x)dx.[6]例2.设f(x)的一阶导数在[0,1]上连续,且f(0)?
6 bbbf
(1)?
0,求证:
?
10f(x)dx?
1014maxf?
(x). 0?
x?
110证明:
Q?
f(x)dx?
?
f(x)d(x?
1212112) 1 ?
?
于f
(1)?
?
则?
0110f(x)(x?
12f
(1)?
)?
?
?
(x?
0012)f?
(x)dx.12)f?
(x)dx. f(0)?
?
10(x?
f(0)?
0,故上式可知 1f(x)dx?
?
?
(x?
012)f?
(x)dx. 10f(x)dx?
?
10(x?
12)f?
(x)dx?
?
x?
12f?
(x)dx. 令M ?
0Q?
01?
maxf?
(x)0?
x?
11,则 x?
12f?
(x)dx?
M?
10x?
12dx. x?
12dx?
14?
1(x?
21121)dx?
?
20(12?
x)dx ?
?
?
01. f(x)dx?
10?
10x?
12f?
(x)dx?
14M?
14maxf?
(x)0?
x?
1 即?
f(x)dx?
14maxf?
(x). 0?
x?
利用积分中值定理证明不等式 积分第一中值定理:
若f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点?
?
[a,b],使的?
abf(x)dx?
f(?
)(b?
a) 积分第二中值定理推论:
设函数f(x)在[a,b]上可积,若g(x)为单调函数,则存在?
?
[a,b],使的 ?
abf(x)g(x)dx?
g(a)?
f(x)dx?
g(b)?
f(x)?
b[7]?
ba 积分中值定理多应用于涉及 7 f(x)与?
f(x)dx或?
f?
(x)dxab时 使用[8]. 例设f(x)为[0,1]上的非负单调减的连续函数,利用积分中值定理证明:
对于0?
?
成立[9]. 证明:
题设知f(x)满足第一积分中值定理的条件, ?
?
?
?
?
?
?
1,有下面不等式?
?
0f(x)dx?
?
?
?
?
?
f(x)(x)dx?
f(?
)(?
?
?
),?
?
?
?
?
. f(?
)(?
?
?
),从而 f(?
)(?
?
?
)?
?
0?
1?
f(x)dx?
f(?
)?
?
?
?
?
?
1?
f(x)dx. 因此可得( (1?
?
?
?
?
?
0?
1)?
?
0f(x)dx?
?
?
?
f(x)dx. )?
f(x)dx?
?
?
?
?
?
f(x)dx. 又因0?
?
?
1?
?
?
?
1. ?
?
?
?
1,故有 ?
0f(x)dx?
?
?
?
?
?
f(x)dx成立. 例设f(x)为[a,b]上的连续递增函数,则成立不等式 ?
baxf(x)dx?
a?
b2?
baf(x)dx. 证明:
要证上述不等式成立,只要证?
ba(x?
a?
b2)f(x)dx?
0成立即可. 于f(x)单调递增,利用积分第二中值定理,则存在?
?
[a,b],使 ?
ba(x?
a?
b2)f(x)dx?
f(a)?
(x?
a?
a?
b2)dx?
f(b)?
(x?
?
ba?
b2)dx. 8 ?
f(a)?
(x?
aba?
b22)dx?
(f(b)?
f(a))?
(x?
?
2ba?
b2)dx ?
(f(b)?
?
[f(b)?
故?
baf(a))[b?
?
2?
a?
b2(b?
?
)]. f(a)]b?
?
2(?
?
a)?
0. xf(x)dx?
a?
b2?
baf(x)dx成立. 二重积分性质法证明不等式 解题思路:
当命题涉及积分?
abf(x)dx,?
g(x)dx,?
f(x)g(x)dx,aabb 且f(x)与g(x)均单调增时,可利用二重积分的保序性解题.例4.设f(x),g(x)均为[a,b]上的单调增的连续函数,证明:
(b?
a)?
abf(x)g(x)dx?
?
baf(x)dx?
bag(x)dx. 分析:
命题符合上述特征,可利用二重积分的保序性,且?
abf(x)dx?
b?
baf(y)dy, ?
abf(x)dx?
g(y)dy?
a?
?
abbaf(x)g(y)dxdy. 证明:
于f(x),g(x),同为单调增函数,令F(x,y)?
[f(x)?
且总有[f(x)?
f(y)][g(x)?
g(y)]. f(y)][g(x)?
g(y)]?
0, 二重积分保序性有?
a?
a(f(x)g(x)?
即2?
a?
abbbbf(y)g(x)?
f(x)g(y)?
f(yg)y())dxdy?
0,, f(x)g(y)dxdy?
b?
?
abbabf(x)g(y)dxdy?
b?
?
abbabaf(y)g(x)dxdy.f(x)dx?
g(x)dx. ab于是有(b?
a)?
a成立. f(x)g(x)dx?
?
af(x)dx?
g(y)dy?
a?
3.微分法和积分法的结合 9 在许多实际问题上,不等式证明的问题都涉及微分和积分的结合[10].例.设a?
0,函数f(x)在[0,a]上连续可微,证明:
1f(0)?
?
aa0f(x)dx?
?
a0f?
(x)dx. a证明:
?
且 f(x)在[0,a]上连续可微,所以积分?
(a?
x)f?
(x)dx存在,0?
0(a?
x)f?
(x)dx?
?
0(a?
x)d[f(x)]?
(a?
x)f(x)?
0?
?
0?
af(0)?
?
0?
af(0)?
aaaaaf(x)d(a?
x) f(x)dx. ?
a0(a?
x)f?
(x)dx?
?
a0f(x)dx, ?
af(0)?
a?
a0(a?
x)f?
(x)dx?
?
a0a0f(x)dx ?
?
0(a?
x) ?
a?
0?
f(0)?
1af?
(x)dx?
?
f(x)dx. f?
(x)dx?
?
aa0f?
(x)dx. ?
aa0f(x)dx?
?
0f?
(x)dx. 微积分在实际运用中具有较高的价值.用微积分方法证明不等式是一种有效的证明方法,上面的几种方法是在证明不等式中常用的高等数学方法. 参考文献 10
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北京 高教出版社.2005. [2].刘玉琏,刘伟主编.《数学分析讲义练习题选讲》[M].北京:
北京高教出版 社.2002. [3].费定晖,周学全主编.《数学分析习题集解集》[M].济南:
山东 科学技术出版社.2001. [4].天津市数学会.不等式的证明及应用[J].天津:
天津科学技术出版社,1992:
43-66. [5].李世金,陈广义.数学分析[M].沈阳:
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重庆大学出版社,1988:
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高等教育出版社,2001. [10].王春喜.数学教学研究[J].不等式证明常用的技巧,1995. DifferentialInequalitiesandintegralmethodofproof XuHui Abstract:
Inequalityisanimportantaspectofmath,oneofmanymethodsforsolvinginequalities,usingtheoriesandmethodsofcalculuscanInequalityProofsimpleideaschanged,thisarticlesummedupandtechniquesinequality,highlightingthemicro-Atinequalitiespointstotheimportantroleofproof.Keywords:
inequality,provethatcalculus,applications. 11 目录 摘要﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒
(1)0引言﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒
(1)1微分法﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒
(1) 利用微分中值定理证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒
(1)利用函数单调性证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒
(2)用极值的方法证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(3)利用函数的凹凸性证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(3)利用泰勒公式证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(4)2积分法﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(5)利用积分性质证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(5)利用分部积分法证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(6)利用积分中值定理证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(7)二重积分性质法证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(9) 3微分法和积分法的结合﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4总结﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(11)
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