人教版初三上数学第63讲一元二次方程的应用教师版谢老师.docx
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人教版初三上数学第63讲一元二次方程的应用教师版谢老师
一元二次方程的应用
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1、了解有关一元二次方程的实际生活问题。
2、掌握典型类型应用题的解法和解决应用题的步骤。
3、回归生活,让学生体验数学在生活中的妙趣。
解应用题的步骤
(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;
(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
(3)找出相等关系,并用它列出方程;
(4)解方程求出题中未知数的值;
(5)检验所求的答数是否符合题意,并做答.
1、传播、循环问题与一元二次方程
【例1】有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
【解析】
(1)设每轮传染中平均每人传染了x人,1+x+x(x+1)=64,x=7或x=-9(舍去).
答:
每轮传染中平均一个人传染了7个人;
(2)64×7=448(人).答:
第三轮将又有448人被传染.
【方法总结】传播问题应用公式a(1+x)n=A,a表示传播之前的人数,x表示每轮每人传播的人数,n表示传播的天数或轮数,A表示最终的总人数.
练1、要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是()
A.5个B.6个C.7个D.8个
【解析】设有x个队,每个队都要赛(x-1)场,但两队之间只有一场比赛,x(x-1)÷2=21,解得x=7或-6(舍去).故应邀请7个球队参加比赛.
【答案】C
【方法总结】当个体为x个,总数为n个时,单循环公式:
=n,双循环公式:
x(x-1)=n.
练2、晨怡学校有4名学生参加黄冈市2012年12月15日语数英三科测评,另一兄弟学校有n名学生参加测这次测评,考试结束后,两校学生和双方各一名领队老师一起照了一张合影,然后每个学生又单独照了一张,按大家的要求,老师对摄影师说:
“合影照要每人一张,学生之间还要相互交换相片,即每个学生除了自己的一张照片外,还要有其他每个学生的一张照片.”这样,摄影师共冲洗了112张相片,则n=6
1、.
【解析】由题意得(n+4)(n+4)=112-(n+4+2),解得n1=6,n2=-15(不合题意舍去).
【答案】6
2、数式问题与一元二次方程
【例2】我们知道,32+42=52,这是一个由三个连续正整数组成,且前两个数的平方和等于第三个数的平方的等式,是否还存在另一个“由三个连续正整数组成,且前两个数的平方和等于第三个数的平方”的等式?
试说出你的理由.
【解析】假定存在这样的三个数,其中中间的数为n,则有(n-1)2+n2=(n+1)2,
整理得n2-4n=0,∴n=0或n=4,又∵n≥2,∴n=4.∴除了32+42=52外,不存在另一个这样的等式.
【方法总结】有关数字的应用题,大致可以分为三类,及即一般数目关系问题、连续数问题、数字排列问题.
①一般数目关系问题,数目关系比较简单,利用加、减、乘、除、和、差、积、商、倍数、余数、大、小、等于以及算律、算序等,就可以根据题目所给的条件列出方程.
②连续数问题,有三种:
连续整数、连续偶数、连续奇数,掌握它们的表示法是解决这类应用题的关键.
③数字排列问题,例如:
三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位数字.
练3、三个连续自然数的平方和比它们的和的8倍还多2,则三个自然数的平方和为( )
A.77B.149C.194D.245
【解析】设三个连续自然数且中间一个为x,所以另两个分别为x-1,x+1.则三个连续自然数的平方和为(x-1)2+x2+(x+1)2=3x2+2,三个连续自然数的和为x-1+x+x+1=3x,则3x2+2=24x+2,解得x1=0(不合题意,舍去),x2=8.∴3x2+2=194.
【答案】C
练4、一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数字比十位数字大3,则这个两位数为( )
A.25B.36C.25或36D.-25或-36
【解析】设这个两位数的个位数字为x,那么十位数字应该是x-3,由题意得10(x-3)+x=x2,解得x1=5,x2=6,那么这个两位数就应该是25或36.
【答案】C
3、增长率问题与一元二次方程
【例3】(2014•江苏南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均的每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元.
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.
【解析】
(1)2.6(1+x)2;
(2)由题意,得4+2.6(1+x)2=7.146,
解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:
可变成本平均每年增长的百分率为10%.
【方法总结】在增长率问题中,要理解a(1+x)n=b(其中a是原来的量,x是平均增长率,n是增长的次数,b是增长到的量)的含义.原来的量经过一次增长后达到a(1+x);在这个基础上,再增长一次即经过第二次增长后达到a(1+x)(1+x)=a(1+x)2;在这个基础上,再增长一次即经过第三次增长后达到a(1+x)(1+x)(1+x)=a(1+x)3;…;依次类推.
解增长率问题公式:
a(1±x)n=b.
练5、(2014•湖北宜昌)在“文化宜昌•全民阅读”活动中,某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量(单位:
本)进行了调查,2012年全校有1000名学生,2013年全校学生人数比2012年增加10%,2014年全校学生人数比2013年增加100人.
(1)求2014年全校学生人数;
(2)2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本,阅读总量比2012年增加1700本(注:
阅读总量=人均阅读量×人数).
①求2012年全校学生人均阅读量;
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍,如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a,2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a,那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%,求a的值.
【解析】
(1)由题意,得2013年全校学生人数为1000×(1+10%)=1100人,
∴2014年全校学生人数为1100+100=1200人;
(2)①设2012人均阅读量为x本,则2013年的人均阅读量为(x+1)本,由题意,得1100(x+1)=1000x+1700,解得x=6.
答:
2012年全校学生人均阅读量为6本;
②由题意,得2012年读书社的人均读书量为2.5×6=15本,2014年读书社人均读书量为15(1+a)2本,2014年全校学生的读书量为6(1+a)本,
80×15(1+a)2=1200×6(1+a)×25%,
2(1+a)2=3(1+a),
∴a1=-1(舍去),a2=0.5.
答:
a的值为0.5.
4、利润问题与一元二次方程
【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元,设第二个月单价降低x元.
(1)填表:
(不需化简)
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价(元)
80
40
销售量(件)
200
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少元?
【解析】
(1)80-x,200+10x,800-200-(200+10x);
(2)根据题意,得80×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800=9000,
整理,得x2-20x+100=0,解这个方程,得x1=x2=10.
当x=10时,80-x=70>50.
答:
第二个月的单价应是10元.
【方法总结】有关利润问题常用的关系式有:
利润=售价-成本,利润=成本×利润率,利润率=(售价一成本)÷成本,售价=成本×(1+利润率).
练6、(2014•江苏徐州)为了倡导节能低碳的生活,某公司对集体宿舍用电收费作如下规定:
一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时,则一个月的电费为20元;若超过a千瓦时,则除了交20元外,超过部分每千瓦时要交
元.某宿舍3月份用电80千瓦时,交电费35元;4月份用电45千瓦时,交电费20元.
(1)求a的值;
(2)若该宿舍5月份交电费45元,那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时?
【解析】根据3月份用电80千瓦时,交电费35元,得20+
(80-a)=35,
即a2-80a+1500=0,解得a1=30,a2=50.由4月份用电45千瓦时,交电费20元,所以a≥45,∴a=50.
(1)设月用电量为x千瓦时,交电费y元,则
y=
∵5月份交电费45元,
∴5月份的用电量超过50千瓦时,
∴20+0.35(x-50)=45,解得x=100.
答:
a的值为50;
(2)若该宿舍5月份交电费45元,那么该宿舍当月用电量为100千瓦时.
5、面积问题与一元二次方程
【例5】为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召,我市某单位准备将院内一块长30m,宽20m的长方形空地,建成一个矩形花园,要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?
(注:
所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)
【解析】设小道进出口的宽度为x米,依题意得(30-2x)(20-x)=532.
整理,得x2-35x+34=0,解得,x1=1,x2=34.
∵34>30(不合题意,舍去),∴x=1.
答:
小道进出口的宽度应为1米.
【方法总结】几何图形一般从面积(或体积)相等方面找等量关系,有关的面积(或体积)公式:
①面积公式:
S长方形=ab,S正方形=a2,S圆=
,S三角形=
ah;②体积公式:
V长方体=abh,V正方体=a3,V圆柱=
,V圆锥=
.
求解不规则图形的面积问题,通常做法是:
把不规则图形转化成规则图形,找出变化前后面积之间的关系,然后列出方程求解.
练7、(2014•南京联合体一模)如图,某市近郊有一块长为60米,宽为50米的矩形荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,其中阴影部分为通道,通道的宽度均相等,中间的三个矩形(其中三个矩形的一边长均为a米)区域将铺设塑胶地面作为运动场地.
(1)设通道的宽度为x米,则a=(用含x的代数式表示);
(2)若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米.请问通道的宽度为多少米?
【解析】
(1)
;
(2)根据题意得,(50-2x)(60-3x)-x•
=2430,解得x1=2,x2=38(不合题意,舍去).
答:
中间通道的宽度为2米.
6、几何问题与一元二次方程
【例6】如图,要建造一个直角梯形的花圃.要求AD边靠墙,CD⊥AD,AB:
CD=5:
4,另外三边的和为20米.设AB的长为5x米.
(1)请求出AD的长(用含字母x的式子表示);
(2)若该花圃的面积为50米2,且周长不大于30米,求AB的长.
【解析】
(1)作BE⊥AD于E,
∴∠AEB=∠DEB=90°.
∵CD⊥AD,
∴∠ADC=90°.
∵BC∥AD
∴∠EBC=90°,
∴四边形BCDE是矩形,
∴BE=CD,BC=DE.
∵AB:
CD=5:
4,AB的长为5x,
∴CD=4x,
∴BE=4x,
在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE=3x.
∵BC=20-5x-4x=20-9x,
∴DE=20-9x,
∴AD=20-9x+3x=20-6x.
(2)由题意,得
,解得x1=
,x2=1,
由20−9x+20−6x+4x+5x≤30,得x≥
,∴x=
,AB=5×
=
.
【方法总结】本题依托梯形的面积公式、梯形的周长公式的运用,通过面积、勾股定理构造一元二次方程求解,同时运用一元一次不等式,确立一元二次方程的解是否合符实际意义.
练8、(2015•江苏苏州模拟)如图,矩形ABCD,AB=6cm,AD=2cm,点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动,同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发向点D运动,当其中一个动点到达末端停止运动时,另一点也停止运动.
(1)问两动点运动几秒,使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
;
(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为
?
若存在,求出运动所需的时间;若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)设两动点运动t秒,使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
.
根据题意,得BP=6-2t,CQ=t,矩形的面积是12.
则有
(t+6-2t)×2=12×
,解得t=
;
(2)设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为
.
①当0<t≤3时,则有(6-2t-t)2+4=5,解得t=
或
;
②当3<t≤4时,则有(8-2t)2+t2=5,得方程5t2-32t+59=0,此时△<0,此方程无解.
综上所述,当t=
或
时,点P与点Q之间的距离为
.
1.(2014•天津市)要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( )
A.
x(x+1)=28B.
x(x-1)=28
C.x(x+1)=28D.x(x-1)=28
2.已知平面中有n个点,A,B,C三个点在一条直线上,A,D,E,F四个点也在一条直线上,除些之外,再没有三点共线或四点共线,以这n个点作直线,那么一共可以画出38条不同的直线,这时n等于( )
A.9B.10C.11D.12
3.一名跳水运动员从10m高台上跳水,他每一时刻所在高度h(单位:
m)与所用时间t(单位:
s)的关系是h=-5(t-2)(t+1),则该运动员从起跳到入水所用的时间是( )
A.5 sB.2 sC.3 sD.1 s
4.(2014•湖北武汉元月调考)为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:
将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n=.
5.一个两位数,个位与十位上的数字之和为8,把这个两位数的个位数字与十位数字对调,得到一个新的两位数,所得的新两位数与原数的乘积为1855,则原两位数是35或53
.
6.(2014•浙江湖州模拟)甲型H1N1流感传染能力很强.若有一人患这种流感,经过两轮传染后共有64人患流感,则每轮传染中平均一人传染了人,若不加以控制,以这样的速度传播下去,经过三轮传播,将共有人患流感.
7.(2014•湖北鄂州)近几年,我国经济高速发展,但退休人员待遇持续偏低.为了促进社会公平,国家决定大幅增加退休人员退休金.企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元,2013年达到2160元.设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x,可列方程为( )
A.2016(1-x)2=1500
B.1500(1+x)2=2160
C.1500(1-x)2=2160
D.1500+1500(1+x)+1500(1+x)2=2160
8.某商场有一种工艺品,一件工艺品进价为100元,标价为135元售出,每天可售出100件,根据销售统计,一件工艺品每降低1元出售,则每天可多售出4件,要使顾客尽量得到优惠,且每天获得利润为3596元,每件工艺品需降价( )
A.4元B.6元C.4元或6元D.5元
9.(2014•鄂州二模)某方便面厂10月份生产方便面100吨,这样1至10月份生产量恰好完成全年的生产任务,为了满足市场需要,计划到年底再生产231吨方便面,这样就超额全年生产任务的21%,则11、12月的月平均增长率为( )
A.10%B.31%C.13%D.11%
10.(2014•湖北武汉调考)武汉市某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米,宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草(如图所示),若使每一块草坪的面积都为96平方米,设人行道的宽为x米,下列方程:
①(36-2x)(20-x)=96×6,②2×20x+(36-2x)x=36×20-96×6,③(18-x)(10-
)=
×96×6,其中正确的个数为( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
11.(2015•贵州遵义模拟)如图,矩形ABCD的周长是20cm,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形ABCD的面积是( )
A.21cm2B.16cm2C.24cm2D.9cm2
12.(2014•江苏宿迁)一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是m.
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1.(2014•江苏镇江模拟)通过对苏科版九(上)教材一道习题的探索研究,“在一次聚会中,有45个人,每两个参加聚会的人都互相握了一次手,一共握了多少次手?
”
对这个问题,我们可以作这样的假设:
第1个学生分别与其他44个学生握手,可握44次手;第2个学生也分别与其他44个学生握手,可握44次手;…依此类推,第45个学生与其他44个学生握手,可握44次手,如此共有45×44次握手,显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的.因此,按照题意,45个人每两人之间握一次手共握了
=990次手.像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手解法”.
(1)若本次聚会共有n个人,每两个参加聚会的人都互相握了一次手,一共握了次手.
请灵活运用这一知识解决下列问题.
(2)一个QQ群中有若干好友,每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息,这样共有756条信息,这个QQ群中共有多少个好友?
(3)已知一条直线上共有5个点,那么这条直线上共有几条线段?
(4)利用(3)的结论解决问题:
已知由边长为1的正方形拼成如图所示的矩形ABCD,图中共有①多少个矩形?
②多少个正方形?
2.(☆☆2012•山东潍坊)如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为( )
A.32B.126C.135D.144
3.某旅店一楼的客房比二楼少一间,各个客房的床位同这层的房间数相同,现有36人入住,底楼都住满了,二楼也只剩下一间空房,则二楼的房间有( )
A.5间B.6间C.7间D.4间
4.(☆☆☆)某书的页码是连续的自然数1,2,3,4,…9,10…,当将这些页码相加时,某人把其中一个页码加了两次,结果和为2006,加了两次的是第( )页.
A.10B.20C.43D.53
5.(☆☆☆)在一次象棋比赛中,实行单循环赛制(即每个选手都与其他选手比赛一局),每局胜者记2分,负者记0分,如果平局,两个选手各记1分.某位同学统计了比赛中全部选手的得分总和为110分,则这次比赛中共有11
名选手参赛.
6.(2014•江苏淮北模拟)如图,每个大正方形是由边长为1的小正方形组成.观察如图图形,完成下列填空:
(1)猜想:
当n为奇数时,图n中黑色小正方形的个数为2n-1
,当n为偶数时,图n中黑色小正方形的个数为2n
;
(2)在边长为偶数的正方形中,白色小正方形的个数是黑色小正方形个数的4倍,求这个正方形的边长.
7.某校为培育青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形,如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时做圆周运动,甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:
l=
t2+
t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.
(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
8.某商店将甲、乙两种糖果混合运算,并按以下公式确定混合糖果的单价:
单价=
(元/千克),其中m1,m2分别为甲、乙两种糖果的重量(千克),a1,a2分别为甲、乙两种糖果的单价(元/千克).已知a1=20元/千克,a2=16元/千克,现将10千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合(搅拌均匀)销售,售出5千克后,又在混合糖果中加入5千克乙种糖果,再出售时混合糖果的单价为17.5元/千克,这箱甲种糖果有千克.
9.(2014•新疆乌鲁木齐)某工厂使用旧设备生产,每月生产收入是90万元,每月另需支付设备维护费5万元,从今年1月份起使用新设备,生产收入提高且无设备维护费,使用当月生产收入达100万元,1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长,累计达364万元,3月份后,每月生产收入稳定在3月份的水平.
(1)求使用新设备后,2月、3月生产收入的月增长率;
(2)购进新设备需一次性支付640万元,使用新设备几个月后,该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润?
(累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费)
10.(2014•湖北随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为30万元/辆,若当月销售量超过5辆时,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查,月销售量不会突破30台.
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30,且x为正整数),实际进价为y万元/辆,求y与x的函数关系式;
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆,公司计划当月销售利润25万元,那么月需售出多少辆汽车?
(注:
销售利润=销售价-进价)
11.(2014•安徽安庆模拟)某市2012年国内生产总值(GDP)比2011年增长了12%,由于受到国际金融危机的影响,预计今年比2012年增长7%,若这两年GDP年平均增长率为x%,则x%满足的关系是( )
A.12%+7%=x%
B.(1+12%)(1+7%)=2(1+x%)
C.
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