配套K12七年级数学下册 第4章《因式分解》培优测试题 新版浙教版.docx

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配套K12七年级数学下册第4章《因式分解》培优测试题新版浙教版

第4章《因式分解》单元培优测试题

班级_________姓名_____________得分_____________

注意事项：

本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟.

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.

1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A﹒2x2+8x－1＝2x（x+4）－1B﹒（x+5）（x－2）＝x2+3x－10

C﹒x2－8x+16＝（x－4）2D﹒6ab＝2a·3b

2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）

A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+aD﹒（a－2）2－2（a+2）+1

3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（）

A﹒5mnB﹒5m2n2C﹒5m2nD﹒5mn2

4﹒下列因式分解正确的是（）

A﹒－a2－b2＝（－a+b）（－a－b）B﹒x2+9＝（x+3）2

C﹒1－4x2＝（1+4x）（1－4x）D﹒a3－4a2＝a2（a－4）

5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）

A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+

C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－y2

6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）

A﹒M＞NB﹒M≥NC﹒M≤ND﹒不能确定

7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x－3），则a+b的值是（）

A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1

8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（）

A﹒－1B﹒1C﹒－2D﹒2

9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，

则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为（）

A﹒490B﹒245

C﹒140D﹒1960

10.已知:

a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2－ab－ac－bc的值为（）

A﹒0B﹒1C﹒2D﹒3

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.

11.请从4a2，（x+y）2，16，9b2四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_________________________________﹒

12.用简便方法计算：

20172－34×2017+289＝_________﹒

13.若m－n＝2，则多项式2m2－4mn+2n2－1的值为___________﹒

14.如果x2－2xy+2y2+4y+4＝0，那么yx＝___________﹒

15.把多项式a2017－4a2016+4a2015分解因式，结果是__________________﹒

16.如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒

三、解答题（本题有7小题，共66分）

解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.

17.（8分）分解因式：

（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2﹒

（2）5a3b（a－b）3－10a4b2（b－a）2﹒

18.（10分）分解因式：

（1）（x2+16y2）2－64x2y2﹒

（2）9（x－y）2－12x+12y+4﹒

19.（10分）分解因式：

（1）ac－bc－a2+2ab－b2﹒

（2）1－a2－4b2+4ab﹒

20.（8分）已知m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，且满足（m+4）2－（n+4）2＝16，求代数式m2+n2－

的值﹒

21.（8分）如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒

（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；

（2）若每块小长方形的的面积为10cm2，四个正方形的面积之和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒

22.（10分）设y＝kx，是否存在实数k，使得多项式（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）能化简5x2？

若能，请求所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由﹒

23.（12分）如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：

4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，……因此4，12，20……都是“神秘数”﹒

（1）28，2016这两个数是“神秘数”吗？

为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？

为什么？

（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？

为什么？

浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题

参考答案

Ⅰ﹒答案部分：

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

C

D

C

B

A

D

A

D

二、填空题

11﹒答案不唯一，如：

4a2－16＝4（a+2）（a－2）﹒12﹒4000000﹒13﹒7﹒

14﹒

﹒15﹒a2015（a－2）2﹒16﹒2a+b，a+b﹒

三、解答题

17.

（1）解：

－18a3b2－45a2b3+9a2b2＝－9a2b2（2a+5b－1）﹒

（2）解：

5a3b（a－b）3－10a4b3（b－a）2

＝5a3b（a－b）3－10a4b2（a－b）2

＝5a3b（a－b）2（a－b－2ab）﹒

18.

（1）解：

（x2+16y2）2－64x2y2

＝（x2+16y2）2－（8xy）2

＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2－8xy）

＝（x+4y）2（x－4y）2﹒

（2）解：

9（x－y）2－12x+12y+4

＝[3（x－y）]2－12（x－y）+22

＝[3（x－y）－2]2

＝（3x－3y－2）2﹒

19.

（1）解：

ac－bc－a2+2ab－b2

＝c（a－b）－（a2－2ab+b2）

＝c（a－b）－（a－b）2

＝（a－b）[c－（a－b）]

＝（a－b）（c－a+b）﹒

（2）解：

1－a2－4b2+4ab

＝1－（a2－4ab+4b2）

＝1－（a－2b）2

＝[1+（a－2b）][1－（a－2b）]

＝（1+a－2b）（1－a+2b）﹒

20.解：

∵m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，

∴m，n互为相反数，即m+n＝0①，

又∵（m+4）2－（n+4）2＝16，

∴（m+n+8）（m－n）＝16，

8（m－n）＝16，

∴m－n＝2②，

联立①②得

，解得

，

∴m2+n2－

＝1+1+1＝3﹒

21.解：

（1）观察图形知：

九块图形的面积之和等于这张长方形纸板的面积，

所以2a2+5ab+2b2可分解为（2a+b）（a+2b），

故答案为：

（2a+b）（a+2b）﹒

（2）由题意，知：

2a2+2b2＝58，ab＝10，则a2+b2＝29，

∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝29+20＝49，

∵a+b＞0，

∴a+b＝7，

则6a+6b＝6（a+b）＝6×7＝42，

答：

图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42﹒

22.解：

能，假设存在实数k，

（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）

＝（2x－y）（－2x－y）

＝－（2x－y）（2x+y）

＝－（4x2－y2）

＝－4x2+y2，

把y＝kx代入，原式＝－4x2+（kx）2＝－4x2+k2x2＝（k2－4）x2，

∵多项式（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）能化简5x2，

∴（k2－4）x2＝5x2，

∴k2－4＝5，解得k＝±3，

故满足条件的k的值有3或－3﹒

23.解：

（1）是，∵28＝2×14＝（8－6）（8+6）＝82－62，2016＝2×1008＝（505－503）（505+503）＝5052－5032，∴28，2016这两个数都是“神秘数”；

（2）是，∵（2k+2）2－（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2－2k）＝4（2k+1），∴2k+2和2k这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数﹒

（3）不是，设两个连续奇数为2k+1和2k－1（k取正整数），

则（2k+1）2－（2k－1）2＝（2k+1+2k－1）（2k+1－2k+1）＝4k×2＝8k，

此数是8的倍数，由

（2）知“神秘数”可表示为4的倍数，但不能表示为8的倍数，

所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”﹒

Ⅱ﹒解答部分：

一、选择题

1﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A﹒2x2+8x－1＝2x（x+4）－1B﹒（x+5）（x－2）＝x2+3x－10

C﹒x2－8x+16＝（x－4）2D﹒6ab＝2a·3b

解答：

A﹒右边2x（x+4）－1不是积的形式，故A项错误；

B﹒（x+5）（x－2）＝x2+3x－10，是多项式乘法，不是因式分解，故B项错误；

C﹒x2－8x+16＝（x－4）2，运用了完全平方公式，符合因式分解的定义，故C正确；

D﹒6ab＝2a·3b，左边不是多项式，故D错误﹒

故选：

C﹒

2﹒将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）

A﹒a2－1B﹒a2+a－2C﹒a2+aD﹒（a－2）2－2（a+2）+1

解答：

因为A﹒a2－1＝（a+1）（a－1）；B﹒a2+a－2＝（a+2）（a－1）；C﹒a2+a＝a（a+1）；

D﹒（a－2）2－2（a+2）+1＝（a+2－1）2＝（a+1）2，

所以结果中不含有因式a+1的选项是B﹒

故选：

B﹒

3﹒多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（）

A﹒5mnB﹒5m2n2C﹒5m2nD﹒5mn2

解答：

多项式15m3n2+5m2n－20m2n3中，各项系数的最大公约数是5，各项都含有相同字母m，n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，所以多项式的公因式是5m2n﹒

故选：

C﹒

4﹒下列因式分解正确的是（）

A﹒－a2－b2＝（－a+b）（－a－b）B﹒x2+9＝（x+3）2

C﹒1－4x2＝（1+4x）（1－4x）D﹒a3－4a2＝a2（a－4）

解答：

A﹒－a2－b2＝－（a2+b2），不能进行因式分解，故A项错误；B﹒多项式x2+9不能进行因式分解，故B项错误；C﹒1－4x2＝（1+2x）（1－2x），故C项错误；D﹒a3－4a2＝a2（a－4），故D项正确﹒

故选：

D﹒

5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）

A﹒a2－2ab+4b2B﹒4m2－m+

C﹒9－6y+y2D﹒x2－2xy－y2

解答：

A﹒a2－2ab+4b2中间乘积项不是这两数的2倍，故A项错误；B﹒4m2－m+

中间乘积项不是这两数的2倍，故B项错误；C﹒9－6y+y2＝（3－y）2，故C项正确；D﹒x2－2xy－y2不是两数的平方和，不能用完全平方公式，故D项错误﹒

故选：

C.

6﹒已知x，y为任意有理数，记M＝x2+y2，N＝2xy，则M与N的大小关系为（）

A﹒M＞NB﹒M≥NC﹒M≤ND﹒不能确定

解答：

∵M＝x2+y2，N＝2xy，

∴M－N＝x2+y2－2xy＝（x+y）2≥0，则M≥N.

故选：

B.

7﹒把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x－3），则a+b的值是（）

A﹒－5B﹒5C﹒1D﹒－1

解答：

∵（x+1）（x－3）＝x2－3x+x－3＝x2－2x－3，

∴x2+ax+b＝x2－2x－3，

∴a＝－2，b＝－3，

∴a+b＝－5，

故选：

A﹒

8﹒已知x2－x－1＝0，则代数式x3－2x+1的值为（）

A﹒－1B﹒1C﹒－2D﹒2

解答：

∵x2－x－1＝0，∴x2－x＝1，

∴x3－2x+1＝x3－x2+x2－2x+1＝x（x2－x）+x2－2x+1＝x+x2－2x+1＝x2－x+1＝1+1＝2﹒

故选：

D﹒

9﹒如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，

则多项式a3b+2a2b2+ab3的值为（）

A﹒490B﹒245

C﹒140D﹒1960

解答：

由题意，知：

a+b＝7，ab＝10，

则a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）

＝ab（a+b）2＝10×49＝490﹒

故选：

A.

10.已知:

a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2－ab－ac－bc的值为（）

A﹒0B﹒1C﹒2D﹒3

解答：

∵a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，

∴a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，

∴a2+b2+c2－ab－ac－bc＝

[（a－b）2+（b－c）2+（a－c）2]＝

×（1+1+4）＝3﹒

故选：

D.

二、填空题

11.请从4a2，（x+y）2，16，9b2四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_________________________________﹒

解答：

答案不唯一，如：

4a2－16＝4（a+2）（a－2），

故答案为：

4a2－16＝4（a+2）（a－2）﹒

12.用简便方法计算：

20172－34×2017+289＝_________﹒

解答：

20172－34×2017+289

＝20172－2×17×2017+172－172+289

＝（2017－17）2

＝20002

＝4000000，

故答案为：

4000000﹒

13.若m－n＝2，则多项式2m2－4mn+2n2－1的值为___________﹒

解答：

∵m－n＝2，

∴2m2－4mn+2n2－1

＝2（m2－2mn+n2）－1

＝2（m－n）2－1

＝2×4－1

＝7﹒

故答案为：

7﹒

14.如果x2－2xy+2y2+4y+4＝0，那么yx＝_______﹒

解答：

∵x2－2xy+2y2+4y+4＝x2－2xy+y2+y2+4y+4＝（x－y）2+（y+2）2＝0，

∴

，解得：

，

∴yx＝（－2）－2＝

，

故答案为：

﹒

15.把多项式a2017－4a2016+4a2015分解因式，结果是__________________﹒

解答：

a2017－4a2016+4a2015＝a2015·a2－a2015·4a+4a2015＝a2015（a2－4a+4）＝a2015（a－2）2，

故答案为：

a2015（a－2）2﹒

16.如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒

解答：

所画示意图如下，

∵2a2+3ab+b2＝a2+2ab+b2+a2+ab＝（a+b）2+a（a+b）＝（a+b）（a+b+a）＝（a+b）（2a+b），

∴所画长方形的长为2a+b，宽为a+b；

故答案为：

2a+b，a+b﹒

三、解答题

17.分解因式：

（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2

（2）5a3b（a－b）3－10a4b2（b－a）2

解答：

（1）－18a3b2－45a2b3+9a2b2＝－9a2b2（2a+5b－1）﹒

（2）5a3b（a－b）3－10a4b3（b－a）2

＝5a3b（a－b）3－10a4b2（a－b）2

＝5a3b（a－b）2（a－b－2ab）﹒

18.分解因式：

（1）（x2+16y2）2－64x2y2

（2）9（x－y）2－12x+12y+4

解答：

（1）（x2+16y2）2－64x2y2

＝（x2+16y2）2－（8xy）2

＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2－8xy）

＝（x+4y）2（x－4y）2﹒

（2）9（x－y）2－12x+12y+4

＝[3（x－y）]2－12（x－y）+22

＝[3（x－y）－2]2

＝（3x－3y－2）2﹒

19.分解因式：

（1）ac－bc－a2+2ab－b2

（2）1－a2－4b2+4ab

解答：

（1）ac－bc－a2+2ab－b2

＝c（a－b）－（a2－2ab+b2）

＝c（a－b）－（a－b）2

＝（a－b）[c－（a－b）]

＝（a－b）（c－a+b）﹒

（2）1－a2－4b2+4ab

＝1－（a2－4ab+4b2）

＝1－（a－2b）2

＝[1+（a－2b）][1－（a－2b）]

＝（1+a－2b）（1－a+2b）﹒

20.已知m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，且满足（m+4）2－（n+4）2＝16，求代数式m2+n2－

的值﹒

解答：

∵m，n为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，

∴m，n互为相反数，即m+n＝0①，

又∵（m+4）2－（n+4）2＝16，

∴（m+n+8）（m－n）＝16，

8（m－n）＝16，

∴m－n＝2②，

联立①②得

，解得

，

∴m2+n2－

＝1+1+1＝3﹒

21.如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，若图中①②都是剪成边为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成边长分别为a、b的小长方形﹒

（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为____________________；

（2）若每块小长方形的的面积为10cm2，四个正方形的面积之和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和﹒

解答：

（1）观察图形知：

九块图形的面积之和等于这张长方形纸板的面积，

所以2a2+5ab+2b2可分解为（2a+b）（a+2b），

故答案为：

（2a+b）（a+2b）﹒

（2）由题意，知：

2a2+2b2＝58，ab＝10，则a2+b2＝29，

∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝29+20＝49，

∵a+b＞0，

∴a+b＝7，

则6a+6b＝6（a+b）＝6×7＝42，

答：

图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42﹒

22.设y＝kx，是否存在实数k，使得多项式（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）能化简5x2？

若能，请求所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由﹒

解答：

能，假设存在实数k，

（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）

＝（2x－y）（－2x－y）

＝－（2x－y）（2x+y）

＝－（4x2－y2）

＝－4x2+y2，

把y＝kx代入，原式＝－4x2+（kx）2＝－4x2+k2x2＝（k2－4）x2，

∵多项式（x－y）（2x－y）－3x（2x－y）能化简5x2，

∴（k2－4）x2＝5x2，

∴k2－4＝5，解得k＝±3，

故满足条件的k的值有3或－3﹒

23.如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：

4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，……因此4，12，20……都是“神秘数”﹒

（1）28，2016这两个数是“神秘数”吗？

为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？

为什么？

（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？

为什么？

解答：

（1）是，∵28＝2×14＝（8－6）（8+6）＝82－62，2016＝2×1008＝（505－503）（505+503）＝5052－5032，∴28，2016这两个数都是“神秘数”；

（2）是，∵（2k+2）2－（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2－2k）＝4（2k+1），∴2k+2和2k这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数﹒

（3）不是，设两个连续奇数为2k+1和2k－1（k取正整数），

则（2k+1）2－（2k－1）2＝（2k+1+2k－1）（2k+1－2k+1）＝4k×2＝8k，

此数是8的倍数，由

（2）知“神秘数”可表示为4的倍数，但不能表示为8的倍数，

所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”﹒