整式的运算经典解析.doc
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整式的运算经典解析.doc
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整式的基本概念
1、代数式的有关概念
代数式:
用基本的运算符号(包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式,单独一个数或一个字母也是代数式。
2、整式的有关概念
(1)单项式的定义:
都是数与字母的积的代数式叫做单项式.
说明:
判断一个代数式是不是单项式,主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系.如就不是一个单项式.a2是一个单项式,因为a2可以看作是a·a.特别地,单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式,如-3,0,,x,等都是单项式
(2)单项式次数:
一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
说明:
在单项式中,系数只与数字因数有关;次数只与字母有关.如x3yz4的系数是1,次数为3+1+4=8.
(4)多项式的定义:
几个单项式的和叫做多项式.
(5)多项式的次数:
一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.
说明:
在确定多项式的次数时,应先计算出多项式的每一项的次数,次数最大的项的次数作为该多项式的次数.如,多项式x3-x2y2+x中,单项式x3的次数是3,单项式-x2y2的次数是4,单项式x的次数是1,所以多项式x3-x2y2+x的次数是4.
(6)多项式的项数:
一个多项式中有几个单项式就有几项.每一个单项式就是一项。
说明:
多项式的项,包括符号.如多项式5-3x2中,二次项是-3x2.
(7)常数项的定义:
在多项式中,不含有字母的项叫做多项式的常数项。
(8)降幂排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列.
(9)升幂排列 :
把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列.
说明:
把多项式按升幂或降幂排列时,一定要弄清是针对哪个字母的排列,排列时只看这个字母的指数,而后按照加法交换律交换项的位置.对于不同的字母,排列后的顺序往往不同,切记重新排列多项式时,各项一定要带着符号移动位置.如:
x3+2x4y-7xy3-y4-7=2x4y+x3-7xy3-y4-7 ①
=-7-y4-7xy3+x3+2x4y ②
=-y4-7xy3+2x4y+x3-7 ③
=-7+x3+2x4y-7xy3-y4 ④
其中,①是按x的降幂排列;②是按x的升幂排列;③是按y的降幂排列;④是按y的升幂排列.
(10)整式的定义:
单项式和多项式统称整式.
说明:
知道一个代数式,不论是单项式还是多项式,都一定是整式;反之,如果已知一个代数式是整式,那么它或者是单项式,或者是多项式,二者必具其一.如单项式-3x2,x等都是整式,多项式3-x,-x3-x+1等都是整式;在整式2x,x4-1中,2x是单项式,x4-1是多项式.
探究引导:
是二次单项式,这里要注意是一个常数,不是一个字母,所以单项式中只有一个字母b,它的指数是2,就是一个二次单项式。
代数式4a-4b是单项式4a,-4b的和,像这样的几个单项式的和所形成的代数式,我们把它叫做多项式.,每个单项式就是这个多项式的一项,多项式4a-4b中的项是4a和-4b,要注意多项式的项包括符号,所以第二项是-4b。
在一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.x2y这一项在x2y+2y-1中次数最高,因此我们把x2y的次数3作为多项式x2y+2y-1的次数,即x2y+2y-1是一个三次三项式。
二、方法频道由解题理解知识,由知识学会解题
1.对单项式、多项式、整式进行判断
例1 判断下列各代数式,哪些是单项式,哪些是多项式,哪些不是整式.
(1)-3xy2;
(2)2x3+1; (3)(x+y+1); (4)-a2; (5)0;
(6); (7); (8); (9)x2+-1; (10);
解:
单项式有:
(1)-3xy2,(4)-a2,(5)0,(7);
多项式有:
(2)2x3+1,(3)(x+y+1);
不是整式的有:
(6),(8),(9)x2+-1,(10).
知识体验:
只有数字与字母的乘积,这样的代数式是单项式,几个单项式的和组成多项式,单项式和多项式都是整式。
在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法(可转化为加法)的运算,这样的代数式就是整式。
没有出现2÷x即,或x÷2即这样的式子,那么,是整式吗?
可以写成·x,所以是单项式,而是数字与字母的商,所以不是单项式,更不是整式,所以整式最显著的特征是字母不能作分母。
所以(6);(8);(9)x2+-1;(10);这几个代数式分母中含有字母,就不是整式。
例2、 填空:
(1)多项式2x4-3x5-2π4是 次 项式,最高次项的系数是 ,四次项的系数是 ,常数项是 ,补足缺项后按字母x升幂排列得 ;
(2)多项式a3-3ab2+3a2b-b3是 次 项式,它的各项的次数都是 ,按字母b降幂排列得 .
解:
(1)五,三,-3,2,-2π4,-2π4+0x+0x2+0x3+2x4-3x5;
(2)三,四,3,-b3-3ab2+3a2b+a3.
解题技巧:
多项式应看作是省略括号的和的形式.因此,当确定多项式的项时,应包括符号.另外,圆周率π是一个常数.回答多项式是几次几项式时,数字要大写.如五次三项式,不能写成5次3项式.;补足缺项,是把升(或降)幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.,移动多项式的某一项的位置时,要连同前面的符号一起移动.,对含有两个以上字母的多项式,一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列,本题是按规定的字母指数大小排列。
三、例题频道
(一)题型分类全析
1、与代数式有关的题型
例1.用代数式表示:
(1)把温度是t℃的水加热到100℃,水温升高了___________℃。
(2)一个两位数,个位数字是a,十位数字是b,则这个两位数可表示为___________。
(3)用字母表示两个连续奇数为___________。
(4)若正方体的棱长是a-1,则正方体的表面积为___________。
(
思维直现:
(1)温度差别就是末了温度-初始温度;
(2)一个两位数的表示方法:
十位数字×10+各位数字;(3)连续奇数之间相差2;(4)正方体的表面积=棱长×棱长×6;
解:
(1)(100-t)
(2)10b+a
(3)2n-1,2n+1(n为整数)
阅读笔记:
用代数式表示,要仔细读题,找到题目中的等量关系,将需要表示的量表达出来,书写代数式时要注意:
(1)数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写,数字要写在字母前面,如10b+a;数字因数是1或-1时,“1”省略不写,如(100-t);
(2)带分数与字母相乘时要化成假分数,如:
要写成的形式;(3)除号要改写成分数线,如:
a÷b要写成;(4)书写单位时要把代数式用括号括起来,如(+)平方米。
题评解说:
列代数式是学习整式的基础,有代数式才能研究整式,而列代数式用到的知识很多,比如面积公式、温差等生活知识,对学生能力要求较高,难度视题目而定,可能很简单也可能比较难。
列代数式是后续学习列方程解决实际问题的基础,所以要掌握好。
建议:
对列代数所用到的知识要努力回忆和复习,要多练才能熟练。
2、单项式、多项式的概念有关的题型
例2一个五次多项式,它的任何一项的次数都
A.小于5 B.等于5 C.不小于5 D.不大于5
思维直现:
由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”,因此五次多项式中,次数最高的项是五次的,其余的项的次数可以是五次的,也可以是小于五次的,却不能是大于五次的.因此,五次多项式中的任何一项都是不大于5次的.
解答:
选D。
例3说出下列各多项式分别是几次几项式.
(1)3x-23;
(2)a2b+2a-3b-4; (3);
(4)(a3-b3+1)×; (5)x6-x5+3x2-12x+a; (6)2(xy+x3-y+π4).
思维直现:
需要找出多项式的每一项,算出每一项的次数,然后回答是几次几项式。
解:
(1)多项式3x-23是一次二项式;
(2)多项式a2b+2a-3b-4是三次四项式;
(3)因为=x2-x+4,所以多项式是二次三项式;
(4)因为(a3-b3+1)×=a3-b3+,所以多项式(a3-b3+1)×是三次三项式;
(5)多项式x6-x5+3x2-12x+a是六次五项式;
(6)因为2(xy+x3-y+π4)=2xy+x3-2y+2π4,所以多项式2(xy+x3-y+π4)是三次四项式.
阅读笔记:
当所给的多项式不能直观地辨别其次数和项数时,就需要对其整理变形,使其成为标准形式的多项式.如第(3)、(4)、(6)小题,变形后便容易多了.另外,常数项中的指数,不能做为多项式的次数.如第
(1)、(6)小题中23、π4,不影响多项式的次数.
题评解说:
判断多项式是几次几项式的问题,是理解多项式概念中的常规题,具体在解答时会遇到具体困难,如多项式给出不规范要先变形,有常数项中有指数的干扰,这增加了本题的难度。
建议:
要概念清晰,排除干扰。
(二)思维重点突破
例5若-3axym是关于x、y的单项式,且系数为-6,次数为3,则a=________,m=________.
思维直现:
“关于x、y的单项式”说明只有x、y才是单项式中的字母,a只是系数的一部分,所以-3a是系数,也就是-6,即-3a=-6,解得:
a=2.而单项式的次数是x、y的指数和:
(1+m),也就是3.因此1+m=3得m=2.
解:
a=2,m=2
阅读笔记:
单项式是数与字母的积,数字因数是单项式的系数,所有字母的指数和是单项式的次数。
在本题中x、y才是单项式中的字母,a只是系数的一部分,这两点一定要理解到位。
例6 当x为何值时,下列多项式可化简为关于y的一次单项式.
(1)x-5y-5;
(2)+6.
思维直现:
把一个多项式转化为关于某一字母的单项式,就是指除符合题目要求的项保留外,其余各项的和等于0.如
(1)中,要使多项式x-5y-5化简为关于y的一次单项式,只保留-5y这一项,其余各项的和为0,即使x-5=0的x的值即为所要求的x的值.
解:
(1)由x-5=0,即x=5,得x=.
所以当x=时,多项式x-5y-5可化简为关于y的一次单项式.
(2)多项式+6可化为x+y+4.由x+4=0,即x=-4,得x=-8.
所以当x=-8时,多项式+6可化简为关于y的一次单项式.
建议:
要多项式可化简为关于y的一次单项式,就要能够将含y的项从多项式中分离出来,其它部分的和是0即可。
整式的运算复习指导
一、知识结构图:
二、有关的运算法则:
一)、幂的运算性质:
(1)aman=_______(m,n都是正整数);
(2)am÷an=________(a≠0,m,n都是正整数,且m>n),特别地:
a0=1(a≠0),a-p=(a≠0,p是正整数);
(3)(am)n=______(m,n都是正整数);
(4)(ab)n=________(n是正整数)
(5)平方差公式:
(a+b)(a-b)=_________.
(6)完全平方公式:
(a±b)2=__________.
.
答案:
(1)am+n;
(2)am-n;(3)amn
(4)anbn;(5)(a+b)(a-b)=a2-b2;(6)(
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