北工大工程数学数学建模实验03.docx
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北工大工程数学数学建模实验03
1.曲线拟合
有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系,
y=β0+β1x,
其中x为车速,y为刹车距离,现测得50组数据(xi,yi)(i=1,2,3…,50)(见表3.1,用三种方法(
(1)平方和最小;
(2)绝对偏差和最小;(3)最大偏差最小)估
计系数β0和β1,并分析三种方法的计算效果(注:
用LINGO软件求解,用其他软件画出散点图和回归直线),说明哪一种方法得到有结果更合理.
解:
(1)平方和最小,根据最小二乘方法求解,相应的无约束问题为
,为了方便计算,将β0,β1换成A,B,相应的LINGO程序如下:
sets:
quantity/1..50/:
x,y;
endsets
data:
y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25;
enddata
min=@sum(quantity:
(A+B*x-y)^2);
@free(A);@free(B);
计算结果如图所示
用LINGO解得:
A=-17.57909,B=3.932409,
所以y=-17.57909+3.932409*x.β0=-17.57909,β1=3.932409
(2)绝对偏差和最小,根据最小一乘方法求解,相应的无约束问题为
,为了方便计算,将β0,β1换成A,B,相应的LINGO程序如下:
sets:
quantity/1..50/:
x,y;
endsets
data:
y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25;
enddata
min=@sum(quantity:
@abs(A+B*x-y));
@free(A);@free(B);
计算结果如图所示
用LINGO解得:
A=-11.6,B=3.4,
所以y=-11.6+3.4*x.β0=-11.6,β1=3.4
(3)最大偏差最小,根据最大偏差的最小的方法求解,相应的无约束问题为
,为了方便计算,将β0,β1换成A,B,相应的LINGO程序如下:
sets:
quantity/1..50/:
x,y;
endsets
data:
y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25;
enddata
min=@max(quantity:
@abs(A+B*x-y));
@free(A);@free(B);
计算结果如图所示
用LINGO解得:
A=-12,B=4,
所以y=-12+4*x.β0=-12,β1=4
X轴为速度,Y轴为距离,蓝色点多已知数据点,y1,y2,y3分别为前三种方法求得的数据点,黑色线为通过蓝色数据点得到的线性回归方程y=1.445x+6.121,比较三种方法得到曲线,可以看到与红色曲线吻合度高于其他两种方法,所以第一种方法得到的结果更为合理。
2.非线性优化问题:
解:
(1)设汽油由A类原油x1桶和B类原油y1桶化合而成,民用燃料油由A类原油x2桶和B类原油y2桶化合而成,汽油广告费为z1元,民用燃料的广告费为z2元。
汽油产量:
x1+y1桶,销量:
0.5桶;民用油产量为x2+y2桶,销量为z2桶。
约束条件:
销售:
0.5z1<=x1+y1,z2<=x2+y2
原料:
x1+x2<=5000,y1+y2<=10000
指标:
(10x1+5y1)/(x1+y1)>=8,(10x2+5y2)/(x2+y2)>=6
目标函数:
利润=0.5z1*250+z2*200-(z1+z2)
Lingo:
max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2;
x1+x2<=5000;
y1+y2<=10000;
10*x1+5*y1>=8*(x1+y1);
10*x2+5*y2>=6*(x2+y2);
0.5*z1<=x1+y1;
z2<=x2+y2;
运行程序后可得:
由以上可得最优的生产方案即:
原油类别
原油A/桶
原油B/桶
广告费/元
总利润/元
汽油/桶
3000
2000
10000
3230000
民用燃油/桶
2000
8000
10000
(2)设汽油中增加SQ量k1,民用燃料油增加SQ量k2.
约束条件:
销售:
0.5z1<=x1+y1+k1,z2<=x2+y2+k2
SQ:
k1<=(x1+y1)*5%,k2<=(x2+y2)*5%
原料:
x1+x2<=5000,y1+y2<=10000
指标:
(10x1+5y1)/(x1+y1)+(k1)^0.5>=8,(10x2+5y2)/(x2+y2)+0.6(k2)^0.6>=6
Lingo:
max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2-200*(k1+k2);
x1+x2<=5000;
y1+y2<=10000;
10*x1+5*y1>=(8-k1^0.5)*(x1+y1);
10*x2+5*y2>=(6-0.6*k2^0.6)*(x2+y2);
0.5*z1<=x1+y1+k1;
z2<=x2+y2+k2;
k1<=(x1+y1)*0.05;
k2<=(x2+y2)*0.05;
运行程序后可得:
则可以得到新的生产方案:
原油类别
原油A/桶
原油B/桶
广告费/元
SQ/桶
总利润/元
汽油/桶
5000
10000
31500
750
375600
民用燃油/桶
0
0
0
0
(3)利润:
0.5z1×250+z2×200-(z1+z2)-200×400-100×(k1+k2-400)
Lingo:
max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2-200*400-100*(k1+k2-400);
x1+x2<=5000;
y1+y2<=10000;
10*x1+5*y1>=(8-k1^0.5)*(x1+y1);
10*x2+5*y2>=(6-0.6*k2^0.6)*(x2+y2);
0.5*z1<=x1+y1+k1;
z2<=x2+y2+k2;
k1<=(x1+y1)*0.05;
k2<=(x2+y2)*0.05;
运行程序后可以得知:
由此可以得出新的生产方案:
原油类别
原油A/桶
原油B/桶
广告费/元
SQ/桶
总利润/元
汽油/桶
5000
10000
31500
750
3791000
民用燃油/桶
0
0
0
0
根据题意,不允许缺货,日消耗量为30件,D=30;每天每件库存费用为0.05元,C_P=0.05;订货费每次100元,C_D=100;如果一次购买量不超过600件,单价为10元,否则为8元。
根据经济订购批量存储模型
TC(Q)=1/2*C_P*Q+C_D*D/Q+C(Q)D
如果Q>600,C(Q)=8;Q<=600,C(Q)=10
Lingo程序为:
D=30;C_P=0.05;C_D=100;
C=@if(Q#lt#600,10,8);
Min=1/2*C_P*Q+C_D*D/Q+C*D;
运行程序后可以得知:
费用最小为260元,一次采购量为600件,由于订货提前时间为21天,订货点为21D=21*30=630件。
这样最优库存策略为当存储量下降到630件时,订货600件,最优库存总费用为每天260元。
4.库存问题II
解:
(1)如果自己生产:
单次生产量为y(为整数)。
启动机器次数为:
26000/y;
每天的库存量平均为:
(y-26000/2/(100*365)*y);
Lingo:
min=0.5*0.02*365*(y-26000*y/36500)+20*26000/y;
@gin(y);
执行结果为:
如果自己生产,最小费用为1477.836元,每次生产704件;
(2)如果向合同购买:
设最大库存为x(取整)
Min=0.5*0.02*365*x+15*26000/x;
@gin(x);
执行结果为:
如果向合同购买,最小费用为2386.211元,最大库存为327件
如果自己生产,最小费用为1477.836元,所以该公司可以自己生产。
Min=1/2*C_P*Q+C_D*D/Q+C*D,将ABC三种最小费用累加
C_P为存储费;C_D为订货费,D为需求,Q为进货数
所占面积小于等于24平方米,购货次数取整
可得新的lingo程序为:
sets:
kinds/1..3/:
C_P,D,C,W,Q,C_D,N;
endsets
min=@sum(kinds:
0.5*C_P*Q+C_D*D/Q);
@sum(kinds:
W*Q)<=W_T;
@for(kinds:
N=D/Q;@gin(N));
data:
C_D=10,5,15;
D=2,3,4;
C_P=0.3,0.1,0.2;
W=1.0,1.0,1.0;
W_T=24;
Enddata
运行程序后可知:
A货物订货2件,B货物订货3件,C货物订货4件。
最小费用为30.85元
3.3.加分实验
解:
令pi为位于P(5,1)的临时料场运到工地i的水泥量/吨,令q为位于Q(5,1)的临时料场运到工地i的水泥量/吨。
由以上题目可以得出下表:
项目规划
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
i=6
P到工地i的距离/公里
3.7583
3.7583
5.8577
4.06971
5.8523
7.1151
Q到工地i的距离/公里
5.7987
9.1992
2.7042
4.25
1.118
5.3033
由P运到工地i的水泥量/吨
p1
p2
p3
p4
p5
p6
由Q运到工地i的水泥量/吨
q1
q2
q3
q4
q5
q6
工地i需要的水泥量/吨
3
5
4
7
6
11
由此可以得出目标函数为;
Z=3.7583p1+3.7583P2+5.8577p3+4.06971p4+5.8523p5+7.1151p5+7.1151p6+5.7987q1+9.1992q2+2.7042q3+4.25q4+1.1180q5+5.3033q6;
P1+p2+p3+p4+p5+p6<=20;
q+q2+q3+q4+q5+q6<=20;
p1+q1=3;
p2+q2=5;
p3+q3=4;
p4+q4=7;
p5+q5=6;
p6+q6=11;
可以得到如下的lingo程序:
min=3.7583*p1+3.7583*p2+5.8577*p3+4.06971*p4+5.8523*p5+7.1151*p6+5.7987*q1+9.1992*q2+2.7042*q3+4.25*q4+1.118*q5+5.3033*q6;
p1+p2+p3+p4+p5+p6<=20;
q1+q2+q3+q4+q5+q6<=20;
p1+q1=3;
p2+q2=5;
p3+q3=4;
p4+q4=7;
p5+q5=6;
p6+q6=11;
运行程序可以得出如下结果:
可以得出如下的生产规划:
项目规划
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
i=6
由P运到工地i的水泥量/吨
3
5
0
7
0
1
由Q运到工地i的水泥量/吨
0
0
4
0
6
10
工地i需要的水泥量/吨
3
5
4
7
6
11
总的吨公里为
136.2273
(2)由题目令新的临时料场为P(x1,y1),Q(x2,y2),则可以得到新的目标函数Z1=((x1-1.25)^2+(y1-1.25)^2)^0.5*p1+((x1-8.75)^2+(y1-0.75)^2)^0.5*p2+((x1-0.5)^2+(y1-4.75)^2)^0.5*p3+((x1-5.75)^2+(y1-5)^2)^0.5*p4+((x1-3)^2+(y1-6.5)^2)^0.5*p5+((x1-7.25)^2+(y1-7.75)^2)^0.5*p6+((x2-1.25)^2+(y2-1.25)^2)^0.5*q1+((x2-8.75)^2+(y2-0.75)^2)^0.5*q2+((x2-0.5)^2+(y2-4.75)^2)^0.5*q3+((x2-5.75)^2+(y2-5)^2)^0.5*q4+((x2-3)^2+(y2-6.5)^2)^0.5*q5+((x2-7.25)^2+(y2-7.75)^2)^0.5*q6;
可以得出新的lingo程序:
min=((x1-1.25)^2+(y1-1.25)^2)^0.5*p1+((x1-8.75)^2+(y1-0.75)^2)^0.5*p2+((x1-0.5)^2+(y1-4.75)^2)^0.5*p3+((x1-5.75)^2+(y1-5)^2)^0.5*p4+((x1-3)^2+(y1-6.5)^2)^0.5*p5+((x1-7.25)^2+(y1-7.75)^2)^0.5*p6+((x2-1.25)^2+(y2-1.25)^2)^0.5*q1+((x2-8.75)^2+(y2-0.75)^2)^0.5*q2+((x2-0.5)^2+(y2-4.75)^2)^0.5*q3+((x2-5.75)^2+(y2-5)^2)^0.5*q4+((x2-3)^2+(y2-6.5)^2)^0.5*q5+((x2-7.25)^2+(y2-7.75)^2)^0.5*q6;
p1+p2+p3+p4+p5+p6<=20;
q1+q2+q3+q4+q5+q6<=20;
p1+q1=3;
p2+q2=5;
p3+q3=4;
p4+q4=7;
p5+q5=6;
p6+q6=11;
运行程序后可以得出新的结果:
可以得出新的建设与运送方案:
项目规划
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
i=6
由P运到工地i的水泥量/吨
3
0
4
7
6
0
由Q运到工地i的水泥量/吨
0
5
0
0
0
11
工地i需要的水泥量/吨
3
5
4
7
6
11
总的吨公里为
85.26604
临时料场位置:
P(3.2549,5.6523)
Q(7.25,7.75)
原先总的吨公里为136.2273吨公里,现在的方案为85.26604吨公里,缩短了136.2273-85.26604=50.9613吨公里。
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- 北工大 工程 数学 建模 实验 03