学年度高中数学31和角公式习题课优化训练新人教B版必修4.docx
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学年度高中数学31和角公式习题课优化训练新人教B版必修4
——教学资料参考参考范本——
2019-2020学年度高中数学3-1和角公式习题课优化训练新人教B版必修4
______年______月______日
____________________部门
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.化简cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ的结果为()
A.1B.cosαC.sinαD.cos(α-2β)
提示:
逆用两角和的余弦公式.
答案:
B
2.若sinαcosβ=,则cosαsinβ的取值范围是()
A.[-1,]B.[,1]
C.[]D.[,]
解析:
sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)∈[-1,1],①
sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)∈[-1,1],②
由①≤cosαsinβ≤,
由②≤cosαsinβ≤,
∴≤cosαsinβ≤.
答案:
D
3.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=m,且β为第二象限角,则cosβ的值为()
A.B.
C.D.
解析:
由sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=m,
得sin[(α-β)-α]=m,
∴sin(-β)=m,
∴sinβ=-m.
又β为第二象限角,
∴cosβ=.
答案:
B
4.(20xx高考陕西卷,13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_______________.
解析:
cos43°cos77°+sin43°cos167°=sin13°cos43°-cos13°sin43°=sin(13°-43°)=sin(-30°)=.
答案:
-
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.设α∈(0,),β∈(,π),若cosβ=,sin(α+β)=,则sinα等于()
A.B.C.D.
解析:
∵α∈(0,),β∈(,π),
∴α+β∈(,).
又sin(α+β)=,
∴cos(α+β)=.又cosβ=,
∴sinβ=.
∴sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)·cosβ-cos(α+β)·sinβ
=·(-)-()·=.
答案:
C
2.已知△ABC中,若tanA=成立,则△ABC为()
A.等腰三角形B.A=60°的三角形
C.等腰三角形或A=60°的三角形D.不确定
解析:
由tanA=,得
,
∴sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC.
∴cosAcosB+sinAsinB=cosAcosC+sinAsinC.
∴cos(A-B)=cos(A-C).
∴A-B=A-C或A-B=C-A.
∴B=C或2A=B+C.
由2A=B+C且A+B+C=180°,得A=60°.
答案:
C
3.若,则cot(+α)=_____________.
解析:
=cot(+α)=.
答案:
4.计算=_______________.(用数字作答)
解析:
=-tan15°=-tan(45°-30°)=.
答案:
5.化简:
-2cos(α-β).
解:
-2cos(α-β)
.
6.已知cos(θ-α)=a,sin(θ-β)=b,求证:
cos2(α-β)=a2+b2-2absin(α-β).
证明:
由cos(θ-α)=a得cosθcosα+sinθsinα=a,①
由sin(θ-β)=b得sinθcosβ-cosθsinβ=b,②
①×sinβ+②×cosα得sinθcos(α-β)=asinβ+bcosα,③
①×cosβ-②×sinα得cosθcos(α-β)=acosβ-bsinα,④
③2+④2得cos2(α-β)=a2+b2+2ab(sinβcosα-cosβsinα)=a2+b2-2absin(α-β),
∴结论成立.
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.(1+tan17°)(1+tan18°)(1+tan27°)(1+tan28°)的值是()
A.2B.4C.8D.16
解析:
tan(α+β)=,当α+β=45°时,tanα+tanβ=1-tanαtanβ,
∴tanα+tanβ+tanαtanβ+1=2.
∴(1+tanα)(1+tanβ)=2.
∴(1+tan17°)(1+tan18°)=2,(1+tan27°)(1+tan28°)=2.
答案:
B
2.y=3sin(x+10°)+5sin(x+70°)的最大值是()
A.B.C.7D.8
解析:
y=3sin(x+10°)+5sin(x+70°)
=3sin(x+10°)+5sin(x+10°+60°)
=3sin(x+10°)+5sin(x+10°)cos60°+5cos(x+10°)sin60°
=sin(x+10°)+cos(x+10°),
∴y的最大值为()2+()2=7.
答案:
C
3.已知sin(x-y)cosy+cos(x-y)siny≥1,则x、y的取值范围分别是()
A.不存在B.x=2kπ+,k∈Z,y∈R
C.x∈R,y=2kx+,k∈ZD.x、y∈R
解析:
由sin(x-y)cosy+cos(x-y)siny≥1得sinx≥1,又-1≤sinx≤1,
∴sinx=1,x=2kπ+,k∈Z.
答案:
B
4.设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是()
A.B.C.-3D.
解:
由a2+2b2=6,可设a=cosα,b=sinα,
∴a+b=cosα+sinα=3(cosα+sinα)
=3sin(θ+α)(其中,sinθ=,cosθ=).
∴a+b的最小值为-3.
答案:
C
5.(20xx高考福建卷,理3)已知α∈(,π)sinα=,则tan(α+)等于()
A.B.7C.D.-7
解析:
∵α∈(,π),sinα=,∴cosα=,tanα=.
∴tan(α+)=.
答案:
A
6.(tan10°-)=____________.
解析:
原式==-2.
答案:
-2
7.在△ABC中,tanAtanB>1,则△ABC为___________三角形.
解析:
由于tanAtanB>1,
∴A、B均为锐角,tan(A+B)=<0.
而tanC=-tan(A+B)>0,∴C为锐角.
答案:
锐角
8.(20xx高考江西卷,文13)已知向量a=(1,sinθ),b=(1,cosθ),则|a-b|的最大值为___________.
解析:
由题意得a-b=(0,sinθ-cosθ),
则|a-b|=|sinθ-cosθ|=|sin(θ-)|≤2.
故|a-b|的最大值为.
答案:
9.如图3-1-1,矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使AB+BP=PD,求tan∠APD的值.
图3-1-1
解:
设BP=x,则PC=2a-x,设∠BPA=α,∠DPC=β,
由于AB+BP=PD,∴a+x=,得x=.
∴tanα=,tanβ=.
∴tan(α+β)==-18.
∴tan∠APD=tan[180°-(α+β)]=18.
10.已知3sinβ=sin(2α+β),α≠kπ+,α+β≠kπ+,k∈Z,求证:
tan(α+β)=2tanα.
证明:
由3sinβ=sin(2α+β),
∴3sin(α+β-α)=sin(α+β+α).
∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.
∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.
又α≠kπ+,α+β≠kπ+,k∈Z,
∴cosα≠0,cos(α+β)≠0.
∴,
即tan(α+β)=2tanα.
快乐时光
化学课开始了,老师经过一通理论说教后,进入了实验阶段.“同学们注意了,”老师郑重其事地说:
“我手上有一块银元,现在我要把它投进这杯硫酸里面,回想一下我刚才讲过的内容,银元会溶解吗?
”立即有一声音答道:
“不会.”“为什么?
”老师追问道.该学生:
“如果银元会溶解的话,您一定舍不得投进硫酸里面.”
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