数控机床讲义 5章.docx

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数控机床讲义5章

第五章数控装置的轨迹控制原理

第一节概述

数控机床上进行轨迹加工的各种工件，大部分由直线和圆弧构成，因此大多数数控装置都具有直线和圆弧的插补功能。

对于非直线、非圆弧组成的轨迹，可以用一小段直线或圆弧来拟合。

数控车床还具有螺纹切削功能。

目前使用的插补算法有两类：

一类是脉冲增量插补；另一类是数据采样插补。

一、脉冲增量插补

脉冲增量插补算法主要为各坐标轴进行脉冲分配什算。

其特点是每次插补的结束仅产生一个行程增量，以一个个脉冲的形式输出给各进给轴的伺服电动机。

一个脉冲所产生的进给轴移动量叫脉冲当量，用δ表示。

脉冲当量是脉冲分配计算的基本单位，根据加工精度选择，普通机床取δ=0.01mm，较为精密的积床取δ=１μm或0.1μm。

插补误差不得大于一个脉冲当量。

二、数据采样插补

数据采祥插补又称时间标量插补或数字增量插补。

这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。

插补运算分两步完成。

第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定曲线，每一微小直线段的长度△L都相等，且与给定进给速度有关。

粗插补在每一微小直线段的长度△L与进给速度F和插补T周期有关，即△L=FT。

第二步为精插补，它是在粗插补算出的每一微小直线上再作“数据点的密化”工作。

这一步相当于对直线的脉冲增量插补。

数据采样插补方法适用于闭环和半闭环的直流或交流伺服电动机为驱动装置的位置采样控制系统。

第二节脉冲增量插补

脉冲增量插补就是分配脉冲的计算，在插补过程中不断向各坐标轴发出相互协凋的进给脉冲，控制机床坐标作相应的移动。

脉冲增量插补算法中分：

逐点比较法、数字积分法和比较积分法等。

一、逐点比较法插扑原理

逐点比较法又称为代数运算法或醉步法。

它的基本原理是：

数控装置在控制刀具按要求的轨迹移动过程中，不断比较刀具与给定轮廓的误差，由此误差决定下一步刀具移动方向，使刀具向减少误差的方向移动，且只有一个方向移动。

四个工作节拍是：

第一节拍---------偏差判别判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏离情况，以此决定刀具移动方向；

第二节拍--------进给根据偏差判别结果，控制刀具相对于工件轮廓进给一步，即向给定的轮廓靠拢，减少偏差；

第三节拍-------偏差计算由于刀具进给已改变了位置，因此应计算出刀其当前位置的新偏差，为下次判别作准备；

第四节拍--------终点判别判别刀具是否已到达被加工轮廓线段的终点。

若已到达终点，则停止插补；若未到达终点，则继续插补。

逐点比较法既可作为直线插补，又可作圆弧插补。

它的特点是：

运算直观。

插补误差小于一个脉冲量，输出脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小，调节方便。

１．直线插补

（l）偏差计算设被加工直线OE位于XOY平面的第一象限内，起点为原点，终点为E（Xe,Ye）。

直线方程为：

x/y=xe/ye

改写为yxe-xye=0

直线插补时，所在位置可能有三种情况：

位于直线的上方（如A点）；位于直线的下方（如C点）；在直线上（B点）。

（2）进给

综合以上三种情况，偏差判别函数F与刀具位置有以下关系：

F＝O，刀具在直线上；

F＞O，刀其在直线上方；

F＜O，刀具在直线下方。

第一象限直线偏差判别函数与进给方向的关系如下：

F＞0沿+X方向走一步,F←F-ye

F＞O沿+y方向走一步,F←F+xe

（3）终点判别

每进给一步后，都要进行一次终点判别，以确定是否到达直线插补的终点判别，可采用两种方法：

一是把每个程序段中的总步数n=∣xe∣+

∣ye∣求出，每走一步减1，二是每走一步判断xi-xe≥0是否成立。

（4）直线插补软件流程图逐点比较法第一象限直线插补软件流程图书P120图5-3。

２．圆弧插补

（l）偏差计算现以第一象限逆圆为例推导出偏差计算公式。

设第一象限直线插补软件流程图圆弧起点为（xs，ys），终点为（xe,ye），以圆心为坐标原点。

如图。

设圆上任意一点为（x,y），则下式成立

F=（x2+y2）-（xs2+ys2）

若F＞O，则动点在圆弧外侧

F＝O，则动点在圆弧上

F＜O，则动点在圆弧内侧

（2）进给第一象限逆圆偏差判别函数F与进给方向的关系如下

F≥O，沿－X方向走一步，F←F-2x+1

x←x-1

F

y←y-1

（3）终点判断圆弧插补时每进给一步要进行终点判断。

（4）圆弧插补软件流程图逐点比较法第一象限逆圆软件流程图书P122如图5-6所示。

3．象限处理与坐标变换

（l）直线插补与圆弧插补的象限处理前面介绍的插补运算公式只适用于第一象限的直线。

对于其它象限直线，x的进给方向与第一象限不同，具体按书P124页表5-3计算。

二、数字积分法

数字积分法又称数字微分分析法（DDA）。

数字积分法具有运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动及描绘平面各种函数曲线的特点。

其缺点是速度调节不便，插补精度需要采用一定措施才能满足要求。

根据积分法的基本原理，函数y=f（x）的积分，就是该函数曲线与横坐标兹在区间内所围成的面积

l．DDA直线插补

（l）DDA直线插补原理以xy平面为例，设直线OE，起点在原点，终点为（xe，ye），如图所示。

令vx，vy分别表示动点在x轴y轴方向的速度，根据前述积分原理计算公式，在x轴y轴方向上微小位移增量△x、△y应为:

△x=Vx△t

△y=Vy△t

V和L满足下式Vx/v=xe/L

Vy/V=ye/L

因此坐标轴的位移增量为:

△x=kxe△t

△y=kye△t

各坐标轴的位移量为:

x=k∑xe△t

y=k∑ye△t

所以，动点从原点走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时问间隔△t，分别以增量kxe,kye时累加的过程。

据此可以作出直线插补原理图，如图5-15所示。

假设经过n次累加后到达终点则下式成立

x=k∑xe△t=kxen=xe

y=k∑ye△t=kyen=ye

由此得到nk=1，即n=1/k

上式表明比例数k和累加（迭代）次数的关系，由于n必须是整数，所以k一定为小数。

k的选择主衷考虑每次增量△x或△y不大于l，以保证坐标轴上每次进给脉冲不超过一个。

若取寄存器位数为N位。

因此累加次数为：

N=1/K=2N

DDA直线插补的终点判别较简单，因为直线程序段需要进行2N次累加运算，进行2N次累加后就一定到达终点，故可由一个与积分器中寄存器容量相同的终点记数器JE实现，其初值为0。

每累加一次，JE加l，当累加2N次后，产生溢出，使JE=O，完成插补。

（2）DDA直线插补软件流程图

2．DDA圆弧插补

（l）DDA圆弧插补原理（请自学）

数字积分直线插补的物理意义是使动点沿速度矢量的方向前进，这同样适合于圆弧插补。

3．不同象限的脉冲分配

不高象限的直线`顺圆及逆圆的DDA插补有一共同点，就是累加方式是相同的，都是作JR←JR+Jv运算，被积函数为绝对值。

只是进给脉冲的分配（正或负）及圆弧插补软件流程图弧插补时对动点瞬时值Xi，Yi作+l或-l修正的情况不同,修正方式如表5-6所示。

4．DDA插补的合成进给速度及稳速控制

（l〉合成进给速度DDA插补的特点是：

控制脉冲源每发出一个脉冲，进行一次累加运算。

（2）稳速控制DDA插补实施稳速的方法有：

左移规格化、按进给速度率数FRN代码编程等。

l）左移规格化直线插补时，若寄存器中的数其最高位为”l”时，该数称为规格化数；反之，若最高位数为“O”，则该数为非规格化数。

显然，规格化数经过两次累加后必有一次溢出；而非规格化数必须作两次以上的累加后才会有溢出。

直线插补的左移规格化方法是：

将被积函数寄存器JVX，JVY中的数高时左移（最低有效位输入零），并记下左移位数，直到Jvx或Jvy中的一个数是规格化数为止。

直线插补经过左移规格化处理后，x、y两方向脉冲分配速度扩大同样倍数（即左移位数），而两者数值之比不变，所以斜率也不变。

因为规格化后，每累加运算两次必有一次溢出，溢出速度不受被积函数的大小影响，较均匀，所以加工的效率和质量都大为提高。

由于左移后，被积函数变大，为使发出的进给脉冲总数不变，就要相应的减少累加次数。

圆弧插补的左移规格化处理与直线插补基本相同，不同的是：

圆弧插补的左移规格化是使坐标值最大的被积函数寄存器的次高位为“l”（即保留一个前零）。

综上所述,虽然直线插补和圆弧插补时规格化数不一样，但均能提高进给脉冲溢出速度。

2）按FRN（FeedrateNumber）代码编程

编程时，可按FRN代码编制进给速度

即F=FRN=VO/L（直线）

F=FRN=VO/R（圆弧）

合成速度V=FL=VO（直线）

V=RF=XO（圆弧

由此可见,若不同的程序段要求相同的切削速度VO,可选择不同的F代码予以实现。

例子：

若某CNC系统的脉冲当量=O.Olmm,被加工直线长度L=4Omm,耍求的进给速度Vo=240mm/mim,设寄存器位数N=8。

试计算时钟频率fMF。

解FRN=Vo/L=240/40=61/min

按此代码选择程编F代码,即插补时将fMF作为中断频率。

5．提高DDA插补精度的措施

DDA直线插补的插补误差小于脉冲当量。

圆弧插补误差小于或等于两个脉冲当量。

其原因是:

当在坐标轴附近进行插补时,一个积分器的被积函数值接近于O,而另一个积分器的被积函数值接近最大值（圆弧半径）,这样,后者连续溢出,而前者几乎没有溢出脉冲,两个积分器的溢出脉冲速率相差很大,致使插补轨迹偏离理论曲线。

减少插补误差的方法有:

（l）减少脉冲当量减少脉冲当量,加工误差则也变小。

（2）余数寄存器预置数在DDA插补之前,余数寄存器JRx.JRy,预置某一数值。

通常采用余数寄存器半加载。

6．多坐标插补（同理）

三、比较积分法

DDA可灵活的实现各种函数的插补和多坐标直线的插补。

但是由于溢出脉冲频率与被积函数值大小有关,所以存在着速度调节不便的缺点。

而逐点比较法由于以判断原理为基础,其进给脉冲是跟随插补运算频率,因而速度平稳、调节方便,但使用的方便性上不如DDA插补。

比较积分法集DDA插补和逐点比较法插补于一身,能够实现各种函数和多坐标插补,且插补精度高,度线插补误差小于l个脉冲当量,易于调速、运算简单。

1．比较积分法的原理

我们先用直线插补来说明。

设已知直线方程：

y=（ye/xe）ydy/dx=ye/xe

dyxe=dxye∑ye=∑xe

此式表明,x方向每发一个进给脉冲,相当于积分值增加一个量ye,y方向每发一个进给脉冲,积分值增加一个量xe。

为了得到直线,必须使两个积分值相等。

在时间轴上分别作出轴和轴的脉冲序列,当x轴发出x个脉冲后，有：

∑ye=ye+ye+……

同样,当y轴发出y个脉冲后,有：

∑xe=xe+xe+……

要实现直线插补必须始终保持上述两个积分式相等因此,参照逐点比较要实现直线插补,我们引入一个判别函数F,令F=∑ye-∑xe

若X轴进给一步则Fi+1=Fi+ye

若y轴进给一步则Fi+1=Fi-xe

若X轴和Y轴同时进给则Fi+1=Fi+ye-xe

根据F可以决定两轴的脉冲分配关系。

2.直线插补

设第一象限直线OE,起点O（0,0）,终点E（xe,ye）。

根据比较积分法原理,其理想的脉冲分配应为:

x轴xe个脉冲,时间间隔为ye,y轴ye个脉冲,时间间隔为xe。

现取脉冲间隔为基准轴,每次判别,该轴都发出一个脉冲;另一轴即非基准轴则根据判别函数F决定。

假设xe>ye,则有

F≥O,x、y均进给一步

F

也就是说,在x轴的整个脉冲进给期间,逐次判断其相对的y轴脉冲是否存在。

SFG的直线插补软件流程图见图5-26。

但是上述方式插补误差较大，如果加以改进

使：

F>1/2xe，进给△x,△y

F≤1/2xe，进给△x

改进后的插补轨迹精度明显提高,误差小于半个脉冲当量。

3．圆弧插补（方法同上）

第三节数据采样插补

在以直线伺服电机或交流伺服电机为驱动元件的数控系统中,一般采用数据采样方法插补。

一、概述

l．数据采样插补的基本原理

数据采样插补是根据程编的进给速度将轮廓曲线按时间分割为采样周期的进给段,即进给步长。

数据采样插补一般分为粗，精插补两步完成。

第一步是粗插补,由它在给定曲线的起、终点之间插入若于个中间点,将曲线分割成若干个微小直线段,即用一组微小直线段来逼近曲线。

这些微小直线段由精插补进一步进行数据点的密化工作,即进行对直线的脉冲增量插补。

2．插补周期的选择

（l）插补周期与插补运算时间的关系一旦选定了插补法,则完成该算法的时间也就确定了。

一般来说,插补周期必须大于插补运算所占用的CPU时间。

（2）插补周期与位置反馈采样的关系插补周朋与采样周期可以相等,也可以不等。

如果不等,通常插补周期是采样周期的整数倍。

插补周期与精度、速度的关系在直线插补时,插补所形成的每一个小直线段与给定直线重合,不会造成轨迹误差。

在圆弧插补时,用内接弦线或内外均差弦线来逼近圆弧,这种逼近必然会造成轨迹误差,对内接弦线,最大半径误差与步距角的关系为

er=r[1-cos（δ/2）]

er=r-rcos（δ/2）=r{1-[1-（δ/2）2/2!

+（δ/4）4/4!

-……]}

由于（δ/2）4/4！

=δ4/384<1

δ=L/r

（用进给步长代替弧长）

L=TFre=（TF）2/8*1/r

插补周期T分别与精度re，半径r和速度F有关。

二、直接函数法

l．直线插补

在xy平面加工直线OE。

起点在原点,终点在E（xe，ye）,OE与轴夹角为α，插补进给步长：

xi+1=xi+△x

yi+1=yi+△y

2．圆弧插补

在如图5-37中,设刀具沿顺时针运动,在圆上有插补点A（xi,yi）,所谓插补,在这里是指由巳加工点A求出下一点B,实际上是求在一个插补周期内,x轴和y轴的进给增量△x和△y。

图中弦AB正是圆弧插补时每周期的进给步长l,AP是A点的切线,M是弦的终点,OM⊥AB,ME⊥AF,E是AF的中点。

由图中几何关系得

α=∠PAF+∠BAP=β+1/2δ

式中，δ为弧AB所对应的圆心角，即步距角。

在△MOD中

tan（β+1/2δ）=（xi+1/2lcosα）/（yi-1/2lsinα）

tanα=tan（β+1/2δ）

=（xi+1/2lcos）/（yi-1/2lsinα）

又因为tanα=FB/FA=△y/△x

由此可以推出（xi,yi）与△x、△y的关系式

△y/△x=（xi+1/2lcosα）/（yi-1/2lsinα）

在式中，cosα和sinα都是未知数，难以求解△x、△y，所以采用近似算法，用cos45°和sin45°来代替，即

tanα=（xi+1/2lcosα）/（yi-1/2lsinα）

≈（xi+1/2lcos45°）/（yi-1/2lsin45°）

其中xi,yi为已知。

由上式tanα可求出cosα

所以△x=lcosθ可求得

由于tanα是近似值，则△x值也是近似值。

但是这种偏差不会使插补点离开圆弧轨迹，这是由△y/△x=（xi+1/2lcosα）/（yi-1/2lsinα）保证的。

因为圆弧上任意相邻两点必满足

△y=[（xi+1/2△x）△x]/（yi-1/2△x）

△x、△y求出后，可求得新的插补点的坐标

xi+1=xi+△x

yi+1=yi-△y

以此新的插补点坐标又可求出下一个插补点的坐标。

由于圆弧插补是以弦逼近圆弧，因此插补误差主要是径向误差。

该误差取决于进给速度的大小。

进给速度越高，每次插补进给的弦长越长，径向误差就越大。

由以前所学知识可以求出l≤√8err

式中，er为最大径向误差；r为圆弧半径。

当er≤1μm，插补周期T=8ms,则进给速度

ν≤√8err/T=（√8r/1000）*（60*1000/8）

=√450000r

式中，ν为进给速度，单位mm/min。

三、双DDA插补算法

双DDA插补采用二套数据，第一套数据由第一组公式计算出，即得到插补点B、F、……。

地第二套数据由第二组公式计算出来，得到插补点C、G、……。

将二套数据相对应的点（如B和C，F和G等）连接，求出中点坐标（如P1和P2点坐标），P1和P2点即为双DDA圆弧插补的步长分隔点，插补轨迹如图所示。

双DDA圆弧插补分二组公式计算第一组，

第一步,△y01=（ν/R）x01,y11=y01+△y01

△x01=-（ν/R）y11,x11=x01+△x01

第二步,△y11=（ν/R）x11,y21=y11+△y11

△x11=-（ν/R）y21,x21=x11+△x11

第二组，

第一步△x02=-（ν/R）y02,x12=x02+△x02

△y02=（ν/R）x12,y12=y02+△y02

第二步△x12=-（ν/R）y12,x22=x12+△x12

△y12=（ν/R）x22,y22=y12+△y12

坐标下标中的第一个数字表示动点，第二个数字表示组号。

式中，△y01、△x01和△y02、△x02为采样周期T时间内从起点开始第一组和第二组坐标轴方向的进给增量；ν为合成速度，R为圆弧半径；y01、x01和y02、x02分别为第一组和第二组插补起点（第0点）的坐标值；y11、x11和y12、x12为一个插补周期后，第一组和第二组分别得到的新的插补点（第一点）的坐标值；

式中其它符号意义类同。

第一组插补公式先求出△yi,然后修正y值，用修正的y值去求△xi,再修正x值，从而得到第一组新的插补点（xi1,yi1）。

以次类推，循环进行下去，可以计算出其它插补点B、F、……。

第二组插补公式先求出△xi,然后修正x值，用修正的值去求△xi+1（△xi+1=xi+△xi）,去求这一点的△y值，从而得到该点的坐标值（xi2,yi2）,即第二组的插补点。

以次类推，也可以计算出其它插补点C、G、……

每次取二组计算的平均值作为本采样周期的数字增值量，即

第一步△x0=（△x01+△x02）/2

△y0=（△y01+△y02）/2

第二步△x1=（△x11+△x12）/2

△y1=（△y11+△y12）/2

写成一般形式△xi=（△xi1+△xi2）/2

△yi=（△yi1+△yi2）/2

经过取平均值处理,使原来一组坐标点在圆内,另一组坐标点在圆外的误差大大减小。

如图，被加工起点在P0点,用第一组公式的第一步求出B（xll,y1l）点和第二组公式求出C（x12,y12）点,取B点和C点的中值得实际插补点Pl（x1,yl）。

然后用第一组公式的第二步以B点为基点求出F（x21,y21）和第二组公式的第二步以C为基点求出G（x22,y22）点,取F点和G点的中值求得实际第二步的插补点坐标P2（x2,y2）。

以此类推,求出一系列的P1、P2、…pi.....pn。

第四节数控装置的进给速度控制

轮廓控制系统中,既要对运动轨迹严格控制,也要对运动速度严格控制,以保证被加工零件的精度和表面粗糙度、刀具和机床的寿命以及生产效率。

一、进给速度控制

脉冲增量插补和数据采样插补由于其计算方法不同,其速度控制方法也有不同。

1．脉冲增量插补算法的进给速度控制

脉冲增量插补的输出形式是脉冲,其频率与进给速度成正比。

因此可通过控制插补运算的频率来控制进给速度。

常用的方法有:

软件延时法和中断控制法。

（l）软件延时法根据程编进给速度,可以求出要求的进给脉冲频率,从而得到两次插补运算之间的时间间隔t,它必须大于CPU执行插补程序的时间t程,t与t程之差即为应调节的时间t延,可以编写一个延时子程序来改变进给速度。

（2〉中断控制法根据程编进给速度计算出定时器/计数器（CTC）的定时时间常数,以控制CPU中断。

在中断服务中进行一次插补运算并发出进给脉冲,CPU等待下一次中断,如此循环进行,直至插补完毕。

２．数据采样插补算法的进给速度控制

数据采样插补根据程编进给速度计算一个插补周期内合成速度方向上的迸给量。

fs=FTK/60*1000

式中,fs为系统在稳定进给状态下的插补进给量,称为稳定速度（mm/min）,F为程编进给速度（mm/min）,T为插补周期（ms）,K为速度系数.包括快速倍率,切削进给倍率等。

取K=0-200%。

二、加减速度控制

在进给速度突变时必须对送到进给电机的脉冲频率和电压进行加减速控制。

当速度突然升高时｀应保证加在伺服进给电机上的进给脉冲频率或电压逐渐增大;当速度突降时,应保证加在伺服进给电机上的进给脉冲频率或电压逐渐减小。

在插补前进行的加减速控制称为前加减速控制,仅对程编速度F指令进行控制,其优点是不会影响实际插补输出的位置精度,单需预测减速点,计算量较大。

在插补后进行的加减速控制称为后加减速控制,分别对各运动轴进行加减速控制,故不必预测减速点,而是在插补输出为零时才开始减速,经过一定的延时逐渐靠近终点。

但在加减速过程中对坐标合成位置有影响。

１．前加减速控制

（l）稳定速度和瞬时速度稳定速度即系统处于稳定进给状态时,一个插补周期内的进给量。

瞬时速度指系统在每个插补周期内的进给量。

当系统处于稳定进给状态时,瞬时速度fi=fs,当系统处于加速（或减速）状态时,（fifs）。

（2）线性加减速处理当机床启/停或在切削加工过程中改变进给速度时,数控系统自动进行线性加减速处理。

加减速的速率必须作为机床的参数预先设置好,其中包括机床允许最大进给速度Fmax和由O加速到Fmax或由Fmax减速到O所需的时间t（ms）。

例如,取t=100ms。

设定了上述参数后,快速进给的加速度。

为a=（1/60*1000）*（Fmax/t）

而切削进给时,上式中应代入进给速度F以及加速到F所用时间t。

l）加速处理每插补一次,都应进行稳定速度、瞬时速度的计算和加减速处理。

Fi+1=fi+aT

2）减速处理每进行一次插补计算,系统都要进行终点判别,计算出刀具离开终点的瞬时距离si,并判别是否已到达减速区域。

S=fs2+△s

△s为前提量。

（3）终点判别处理每进行一次插补计算,系统都要计算Si，然后进行终点判别。

若即将到达终点,就设置相应标志;若本程序段要减速,则在到达减速区域时设减速标志,井开始减速处理,终点判别计算分为直线和圆弧插补两个方面。

l）直线插补设刀具沿直线OE运动,E为直线程序段终点,N为某一瞬时点。

瞬时点离终点E的距离为xi=xi-1+△x

yi=yi-1+△y

si=NE=√（xe-xi）2+（ye-yi）2

2）圆弧插补设刀具沿圆弧AE作顺时针运动.N为某一瞬间插补点.其坐标值xi和yi巳在插补计算中求出。

N离开终点E的距离si为:

si=√（xe-xi）2+（ye-yi）2

终点判别的原理框图如图5-41所示。

2.后加减速控制

后加减凑控制方法主要有指数加减速控制算法和直线加减速控制算法。

（l）指数加减速控制算法在切削进给或手动进给时,跟踪响应要求较高,一般采用指数加减速控制,将速度突变处理成速度随时间指数规律上升或下降。