数值模拟基础知识.docx
- 文档编号:25964418
- 上传时间:2023-06-16
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:181.88KB
数值模拟基础知识.docx
《数值模拟基础知识.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值模拟基础知识.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数值模拟基础知识
流体流动与传热数值模拟的基础知识
1、div(divergenc®散度
设想J代表一个典型因变量中的流量密度。
考虑如图2-1所示
尺寸为:
dx、dy、dz的控制容积.Jx(J在x方向的分量)代表进入面积为dydz的
一个面的流量密度,
离开与这个面相对的面上的流量密度用人H人/来表示。
在x方向,通过该面的整个面积上流出的净流量是:
G:
Jx/:
x)dxdydz
用同样的方法,考虑y方向的贡献,整个面积上流出的净流量是:
G:
Jy/:
y)dxdydz
考虑z方向的贡献,整个面积上流出的净流量是:
(:
Jz/:
z)dxdydz
同时注意到dxdydz是所讨论区域的容积,我们就有:
jjI
单位体积的净流量=divJ=―x-'—-(2.1)
:
x:
y:
z
div是散度(divergenee)的缩写。
divJ表示j的散度
上述divJ的表达方式对微分方程的表达是特别有用的
2、“场”的概念
如果在某空间区域的每个点,都有某个物理量的确定值相对应,则在该空间区域,就确疋了该物理量的一个场。
例如:
温度场,速度场(流场)。
也就是说,求某个物理量的场,就是求某空间内该物理量在每个点的值。
3、向量与向量的坐标
具有大小和方向的量称为向量。
例如:
速度,力。
—>
向量通常用有指向的线段表示,例如:
线段AB的长度为向量的模。
记为:
hB。
模等于1的向量为单位向量。
对于直角坐标系Oxyz,分别以ei,e2,e3记ox,oy,oz轴正方向的上的单位向量,
称为基本单位向量,则对于向量u,可记为:
u=u1e1u2e2u3e3
u「上、U3就是向量u的坐标(分别表示x,y,z方向上的数值)
向量u常记为:
u={Ui,U2,U3}
向量u的模为:
U=VU1+u2+U3
如下图所示:
4、数量场的梯度
设U(x,y,z)为给定的数量场,U(x,y,z)在点p(x,y,z)处的梯度为:
U:
U;:
U
gradUe1e2e3
dxdycz
grad是梯度gradient的缩写,含义是“变化率”。
注意梯度是有方向的
6哈密顿(hamiltonian)算子'、、
'、读作naipula
pC,cc
=—e-i—e?
—e3
:
x旳■:
z
为了方便,数学上引入了哈密顿算子\。
gradU八U
即grad二'、
意义:
对某物理量求变化率,同梯度gradient。
第2章流体力学基础知识
【内容提要】
本章重点介绍流体力学的基础知识,包括流体力学基本方程和流体力学的基本概念,Fluent主要用来求解粘性不可压流动,所以对粘性不可压的基础知识进行了详细的介绍,最后介绍了解决流体力学问题的基本方法。
【学习重点】
流体力学基本方程和流体力学的基本概念。
对于所有的流动,Fluent都是求解质量和动量守恒方程的,在进行数值模拟时,经常要选择计算模型、设置边界条件和初始条件,这必须具有相应的流体力学知识。
卜面简单地对流体力学基本知识进行介绍。
2.1流体力学基本方程及边界条件
流体的运动一般遵循三个最基本的守恒定律,那就是质量守恒、动量守恒和能量守恒。
这三个守恒定律在流体力学中由相应的方程来描述,并且对具体的研究问题有不同的表达'形式。
此外,这些方程的求解也需要边界和初始条件。
下面将详细地介绍相关知识0
2,1.1流体力学基本方程组
众所周知,流体的运动一般要遵循三个最基本的守恒定律,即质量守恒定律、动量守恒定律及能量守恒定律,在流体力学中具体体现为连续性方程、动量方程和能量方程。
连续性方程又称质量守恒方程*它的守恒的微分形式表达为:
詈嚅仙Z(2.11
该方程是质量守恒方程的一般形式,它适用于可压流动和不可压流动。
源项乂是加入到连续相的质量(例如液滴的蒸发),源项也可以是其他自定义源项.
二维轴对称问题的连续性方程为:
具体各个变量的意义可以参阅相关的流体力学书籍。
几种特殊流动的连续性方程表述如下°
定常流动:
—[pui)-div(pv)=0
不町压流动:
彩(码)=凸¥(卩)=0
动量方程在惯性(非加速)坐标系中d方向上的动量守恒方程如下所示:
(2.3)
务码)+右甩)=_瓷+鬻+阳+耳
分别为F方向上的重力体积力和外部体积力(如外加电场力等)・北包含了其他的模世相关源项,如多孔介质利自定义源项。
对于二维轴对称几何外形,轴向和径向的动量守恒方程分别为:
、Dp13
_(pM)+__(rpuk)4___(r/7vw).__+__w
(2,5)
以及
乔的+顶(如}+応(初忙百+;却叫无+討
+丄孕—紗训_2山占+詳(站)十疋+£
rdr\dx3)r3rr
其中:
弘V
办r
用是漩涡速度a
Flu切t求解的能量方程形式如下;
卜£)+叙侶+卩)]£(鬲爭谒佔+勺(%+&(2.7)
式中,此厅二为有效导热系数(湍流导热系数根据湍流模型来定义h丿「是组分「的扩散通量口方程右边前三项分别为导热项、组分扩散项和粘性耗散项。
比是化学反应热和其他体积热源。
其中,e十上£对于理想气体,h=对于不可压缩
p2八'
气体,h=Xm/h+JL.佗「是组分,的质量分数,组分/的熔定义为乩=]
r7;P'」
中為=298J5K。
对于上面的三个方程,可以给出一个统…的表达式如下:
其中鸭代表某一个变城,厂是扩散系数,£是源项,注意这里的厂和S是对应特定的变量®来说的(严格地说,上面的公式(2.8)中,应该采用厂“和打,但是为了公式的描述简便下标毋都省略了在通用的公式(2.8)中,从左到右的四项分别是时间项、对流项*扩散项和源项匕将卩取为不同的变址,并取扩散系数和源项为适当的表达式,就可以得到连续性方程*动量方程和能量方程©具体如表2-1所示。
表2*1方程式
方程
4P
sv
连续性方程
1
0
0
潜动量方程
U
cp/dx+SMx
屮动量方程
V
典
-cp/dy+跖
旷动量方程
忡
-dp/dz-^-
能量方程
i
2
-p.div(u)+^>+Si
例如,流体质点的速度欠量、温度或者常数1等.从而可以分别描述动量方程,能量方程和连续性方程。
当然,厂和S的物理意义也发生了相应的变化。
护畢
了解了流体力学方程后,介绍两个重要的概念;单通道坐标和双通道坐标。
单通道坐标是指该坐标中给定位置上的状态只受该位置的一侧状态的变化影响;双通道坐标是指该坐标中给定位置上的状态受该位置的两侧状态的变化影响。
举一个简单的例子来解释双通道坐标的概念。
如图2-1所示为维热传导问题,杆的两端的温度门、72不等,杆上存在热传导,若选择杆中的任意一点P1,该点的温度受到两侧的温度变化的影响。
一般地,空间塑标都是双通道坐标;而时间总是单通道坐标,也就是过去会影响到今天,但是今天影响不到过去。
71PI72
图2・1一维热传导示意图
上面提到的是一般情况下单通道坐标与双通道坐标的分类,但是在流体流动的情况下,甚至空间坐标也可以变成单通道的。
如果沿着某一个空间坐标的方向存在很强的单方向流动,那么对于这个坐标上的某一点,它所受到的来自匕游的影响远远大于來自下游的影响,从而可以认为此时的空间坐标是缸通道的,对应的流体力学问题可简化n
在流体力学问题中运动方程可分为抛物线型、椭圆型和双曲线型。
抛物线电表示单通道性质,而椭圆型表示双通道性质。
所以非定常的热传导问题对时间是抛物线型的,而对空间坐标则是椭圆型的’稳定的热传导问题在所有的坐标上都是椭圆型的。
二维的边界层的流动在流动方向的坐标上是抛物线型的,在流动的横向坐标上却是椭圆型的。
一般来说,如果在问题中至少有一个单通道坐标,则它是抛物线型的,否则就是椭圆型的•双曲线型问题具有几分単通道性质,但是它不是沿着坐标方向而是沿着特定的线对下游产生彫响,而这些特定的线就被称为特征线©
上面讨论单通道和双通道繼标的意义就是:
如果给宦的一个流体力学问题可以确定丸单通道问题,那么就可以节省大量的计算机存储空间和计算时间,这一点在进行流体力学问题简化时须牢牢记住。
另外需要注意的是,定常动量方程和能量方程是椭圆型的,而非定常动量方程和能量方程是抛物线型的。
由于动量方程的求解是数值模拟中的重点,所以这里列出动量方程的一般分类,如表2-2所示。
表2-2动量方程的一般分类
类型
定常
非定常
有粘性
椭圆型
抛物线型
无粘性
*A/
双曲线型
双曲钱型
薄剪切层
抛物线型
抛物线型
为马赫数。
2J2初始条件和边界条件
对于流动和传热问题的求解,除了使用上述介绍的三大控制方程以外,还要指定边界条件,对于非定常问题还要指定初始条件。
t初始条件
初始时刻(=心时,流体运动所具有的初始状态可用常见物理量及其导数形式表示,如―畑T=Tg等。
对于非稳态问题,所有计算变量在开始计算以前都应该有一个初始值,这样才有可能根据时间步长计算场变量随时间的变化,这就是初始条件。
对数值计算來讲,初始条件的给定并不影响计算过程的实施,给定初始值即可,一般不需另外的处理。
因此这里不对初始条件进行深入的讨论。
2.边界条件
边界条件就是在流体运动边界上控制方程应该满足的条件,-'般会对数值计算产生重要的影响。
即使对于同一个流场的求解*随着方法的不同,边界条件和初始条件的处理方式也是不同的•下面结合Fluent对边界条件进行详细的讨论。
Fluent提供了以下10种类型的流动进、出口条件。
•速度入口:
给出入口速度和需要计算的标量值。
•压力入口:
给出入口的总压和其他需要计算的入口标量值。
•质量流动入口:
主要用于可压缩流动,给出入口的质量流量。
对于不可压缩流动,没有必要给出该边界条件,因为密度是常数,可以用速度入口条件。
•压力出□:
给定流动出口的静压。
对于有回流的出口,该边界条件比outflow边界条件更容易收敛◎
•压力远场:
该边界条件只对可压缩流动适合。
•outflow:
该边界条件用以模拟前无法知道出口速度或者压力的情况;出口流动符合完全发展条件,出口处,除了压力之外,其他参量梯度为0.该边界条件不适合可压缩流动口
•inletvent:
入口风扇条件需要给定-个损失系数、流动方向、环境总压和总温°
•intakefan:
入口风扇条件需要给定压降、流动方向、环境总压和总温。
•outletvent:
排出风扇给定损失系数、环境静压和静温。
•exhaustfan;排除风扇给定压降才环境静压。
•下面对上述常用边界条件详细地进行介绍。
(1)入口边界条件
入口边界条件就是指定入口处流动变量的值。
常见的入口边界条件有速度入口边界条件、压力入口边界条件和质量流动入口边界条件。
速度入口边界条件:
用于定义流动速度和流动入□的流动属性相关的标量。
这一边界条件适用于不可压缩流,如果用于可压缩流会导致非物理结果,这是因为它允许驻点条件浮动。
应注意不要让速度入口靠近固体妨碍物,因为这会导致流动入口驻点属性具有太高的非一致性。
压力入口边界条件:
用于定义流动入口的压力和其他标量属性。
适用于可压缩流和不可压缩流。
压力入口边界条件可用于压力已知但是流动速度或速率未知的情况。
可用于浮力驱动的流动等许多实际悄况.压力入口边界条件也可用來定义外部或无约束流的自由边界。
质量流动入口边界条件:
用于己知入口质量流速的可压缩流动。
在不可压缩流动中不必指定入口的质量流率,因为密度为常数时,速度入口边界条件就确定了质量流条件。
当要求达到的是质量和能量流速而不是流入的总压时,通常就会使用质量入口边界条件。
调节入口总压可能会导致解的收敛速度较慢,当压力入口边界条件和质量入口条件都可以接受时,应该选择压力入口边界条件口
(2)出口边界条件
压力出口边界条件:
压力出口边界条件需要在岀口边界处指定表压(GaugePressure)o表压值的指定只用于亚声速流动。
如果当地流动变为超声速,就不再使用指定表压了,此时压力要从内部流动中求出,包括其他的流动属性。
在求觥过程中,如果压力出口边界处的流动是反向的,回流条件也需要指定。
如果对于回流问题指定了比较符合实际的值,收敛性困难问题就会不明显口
压力远场边界条件:
Fluent中使用的压丿J远场条件用于模拟无穷远处的自由流条件,其中自由流马赫数和静态条件被指定.这一边界条件只适用于密度规律与理想气体相同的情况,对于其他情况要有效地近似无限远处的条件,必须将其放到所关心的计算物体的足够远处。
例如,在机翼升力计算中远场边界一般都要设到20倍弦长的圆周之外。
战星出口边界条件:
当流动山口的速度和压力在解决流动问题之前是未知时,Fluent会使用质量出口边界条件来模拟流动。
不需要定义流动出口边界的任何条件(除非模拟辐射热传导、粒子的离散相或者分离质量流):
Fluent会从内部推导所需要的信息@然而,重要时是要清楚这一边界类型所受的限制。
需要注意的是,如果模拟可压缩流或者包含压力出口时,不能使用质量出口边界条件。
(3)固体壁面边界条件
对于粘性流动问题,Fluent默认设置是壁面无滑移条件,但也可以指定壁面切向速度分量(壁面平移或者旋转运动时),给出壁面切应力,从而模拟壁面滑移口可以根据当地流动情况,计算壁面切应力和与流体换热情况。
壁面热边界条件包括固定热通量、固定温度・对流换热系数、外部辐射换热、对流换热等。
・
下面介绍固壁条件下换热计算边界条件。
如果给定壁面温度,则壁面向流体换热屋为:
q—Wn建(2.9)
对流换热系数是根据当地流场计算得到的(湍流水平、温度和速度曲线)。
向固体壁面里面传热的方程为:
7半亿TJ+g爲(2-10)
An
如果给定热通屋,则根据流体换热和固体换热计算出的壁面温度分别为:
(2-11)
T=(9一_9皿)也±t、〔2.12)
*K,s
如果是对流换热边界条件(给定对流换热系数饥)则;
『二wnr"heKS(:
-TJ(2.⑶
如果是辐射换热边界条件,给定辐射系数绻「贝IJ:
9”=如(人—7})+q爲二占/(町-”)(2」4)
如果同时考虑对流和辐射,贝东
/书(几-G+g爲认/応-7J十皆7(T:
Y)(2.15)
流体侧的换热系数根据如下公式计算;
(2-16)
(4)对称边界条件
对称边界条件应用于计算的物理区域(或者流动或传热场)是对称的情况◎在对称轴或者对称平面上,没有对流通量,因此垂直于对称轴或者对称平面的速度分量为0,在对称轴或者对称平面上,没有扩散通量’即垂直方向上的梯度为0。
因此在对称边界上,垂直边界的速度分量为0,任何量的梯度为山
计算中不需要给定任何参数,只需要确定合理的对称位置。
该边界条件可以用于粘性流中的运动边界处理。
(5)周期性边界条件
如果流动的几何边界.流动和换热是周期性重复的,则可以采用周期性边界条件。
Fluent提供了两种周期性边界类型;一类是流体经过周期性重复后没有压降(Cyclic);另一类则有压降(Periodic)cFluent在周期性边界处理流动就像反向周期性平面*和前面的周期性边界直接相邻…样匚当计算流过邻近流体单元的周期性边界时・就会使用与反向周期性平面相邻的流体单元的流动条件口
22流体力学基本概念
为了能更好地对Fluent计算参数进行设置,这里概括性地介绍一下流体力学中的基本概念,包括流体力学问题的研究方法、基本流体运动的分类和描述流体运动的方法。
2.2.1流体运动的分类
•按运动形式分:
若rotv=0,则流体做无旋运动:
若rotv^O,则流体做有旋运动。
•按时间变化分:
若1=0*则流体做定常运动;若2疋0,则流体做不定常运动。
dtdt
•按空间变化分:
流体的运动有一维运动、二维运动和三维运动口
2.2.2描写流体运动的两种方法——拉格朗日方法和欧拉方法
拉格朗日方法:
研究流场中每一个流体质点的运动,分析运动参数随时间的变化规律,然后综合所有的流体质点,得到整个流场的运动规律。
拉格朗日方法着眼于流体质点,将运动参数看作空间位置与时间的函数。
举个简单的例子・例如,在现代空战中,“锁定目标”这个词的意思就是咬住一个目标不放;拉格朗日方法中的流体质点若是理解为E机,就比较容易理解拉格朗日方法就是“跟踪监视”目标。
欧拉方法:
研究某瞬时整个流场内位于不同位置上流体质点的运动参数,然后综合所有空间点,用于描述整个流场。
欧拉方法着眼于空间点,将运动参数看作空间坐标和时间的函数”因此其定义区域为场。
举个容易理解的例子。
假如警察要抓捕小偷,但是又不知道小偷具体在哪里,警察常常采用的方法就是在特定的几个区域内布控,观察哪个人会有偷盗行为就可以抓获他占在研究流体的运动时,借鉴这种方法,也就是对一个特泄区域,密切观察这个区域内部的流体质点的运动,从而可以给出流动的规律。
简单地说,欧拉方法就是歸蹲点监视”O
在一般的流体力学问题中,欧拉方法应用最为广泛,但是两者可以互相转化。
2.3粘性不可压缩流体运动
2.3.1基本概念
在流体力学中有些非常重要的概念需要进行介绍。
可压流休与非可压流体:
根据密度是否为常数,流体可分为可压流体和不可压流体。
当密度为常数时,流体为不可压流体,否则为可压流体.水的可压缩型是很小的,压强每增加一个大气压,其体积变化不到万分之一G工程中常用的其他工作液体,如液压油机械油等,其体积模量数值也都很大。
在一般工程计算屮,可以忽略其可压缩性,看作不可压流体。
气体的可压缩性与液体相比则大得多,因此,在研究气体的时候,无论温度还是压强对体积和密度的影响都必须考虑。
在低速(通常小于50m/s)气流中,当压强变化不大时,通常可以忽略可压缩性的影响,按不可压流体來处理,其结果也是足够精确的。
体积模量:
流体体积随压强变化的属性通常以压缩率或体积模量来表示。
压缩率是当流体温度保持不变,所受压强改变时,其体积的相对变化率。
压缩率的倒数称为体积模量。
用体积模量来表示流体的可压缩性的大小很方便。
体积模量人的流体可压缩性小,体积模量小的流体可压缩性大。
水力半径与当量直径:
水力半径是总流过流断面面积与湿周之比。
当量直径是总流过流断面面积的四倍与湿周之比。
因此,肖量直径是水力直径的两倍"所谓湿周,就是在总流的过流断面上与流体相接触的固体边瞿周检。
近壁面区流动:
对于有固体壁面的充分发展的湍流流动,沿壁面法线方向的不同距离上,可将流动划分为壁面区和核心区。
核心区的流动是完全湍流区。
在壁面区,流体流动受壁面流动条件的影响比较明显。
壁面区又可分为三个子层:
粘性底层、过渡层、对数律层°粘性底层是一个紧贴固体壁面的极薄层,其中粘性力在动量、热量和质量交换中起主导作用,湍流切应力可以忽略,所以流动几乎为层流流动.平行于壁面的速度分量沿壁面法线方向为线性分布。
过渡层处于粘性底层的外面,其中粘性力和湍流切应力作舟相当,流动状况复杂,很难用一个公式或定律來描述,但过渡层的厚度极小,可以归入到对数律层中。
对数律层处于最外层,其中粘性力的影响不明显,湍流切应力占主要地位,流动处于充分发展的湍流状态,流速分布接近对数律。
牛顿流体与非牛顿流体:
依据内摩擦剪应力与速度变化率的关系不同*粘性流体又分为牛顿流体和非牛顿流体〜牛顿内摩擦定律表示:
流体内摩擦剪应力和单位距离上的两层流体间的相对速度成比例。
比例系数“称为流休动力粘度,常简称为粘度。
它的值取决于流体的性质、温度和压力大小。
若“为常数,则称为牛顿流体,否则为非牛顿流体。
空气、水等均为牛顿流体,聚合溶液、含有悬浮粒杂质或纤维的流体为非牛顿流体。
任何流体都是有粘性的,粘性流体运动中总是伴随着与内摩擦和传热有关的能量耗散过程,因此粘性流体运动不可避免地要研究阻力、耗散、衰减等问题。
理想流体是真实流体的近似模拟,适用于粘性力比惯性力小得多的场合。
粘性力比惯性力小得多的场合下,对源于粘性或能量耗散的流动现象进行研究时,就必须毫不犹豫地采用粘性流体模型。
对于粘性力和惯性力同阶或比惯性力大得多的时候,必须釆用粘性流体模型&粘性流体研究中最重要的问题Z—是阻力n流动阻力可分为摩擦阻力和压差阻力。
其中压差阻力
又包括诱导阻力和不定常阻丿J,以及尾涡阻力。
摩擦阻力是指作用在物面上的切应力在运动方向的合力乜它的人小取决于粘性系数和物体表面的面积。
压差阻力是指垂言于物血的压力在运动方向的合力。
它乂分成两部分,一部分是诱导阻力和不定常阻力,可以用理想流体模型解决:
另一部分是尾涡阻力,它是由流体脱离物面后在下游形成尾涡区.其损耗的动能所形成的压力差.
实验表明,粘性流体运动有两种形态,即层流和湍流。
这两种形态的流动其性质截然不同。
层流的特征是流体运动规则F各层流动互不掺混,质点的轨线是光滑的,且流场稳定©
湍流的特征则截然相反,流体运动极不规则,各部分激烈掺混,质点的轨线杂乱无章'流场也极不稳定。
两种运动形态在一定条件下可以互相转化。
转化依据是临界雷诺数・层流和湍流无论在流动现象、规律和处理方法上都不同'故应分开研究口
2.3.2边界层
对于工程实际中大量出现的大雷诺数问题,应该分成两个区域:
外部势流区域和边界层区域"对于外部势流区域,可以忽略粘性力,因此可以采用理想流体运动理论(笫7章介绍)•解出外部流动,从而知道边界层外部边界上的压力和速度分布,并将其作为边界层流动的外边界条件中在边界层区域必须考虑粘性力,而且只有考虑了粘性力才能满足粘性流体的粘附条件;边界层虽小,但是物理量在物面上的分布、摩擦阻力及物面附近的流动都和边界层内流动联系在…起,因此非常重要。
描述边界层内的粘性流体运动的是N・S方程"但是由于边界层厚度d比特征长度小得多,而且龙方向速度分量沿法向的变化比切向大得多,所以方程可以在边界层内作很人的简化,简化后的方程称为普朗特边界层方程,它是处理边界层流动的基本方程口边界层示意图如图2-2所示。
图2-2边界层示意图
大雷诺数情形边界层流动的性质:
边界层的厚度较物体的特征长度小得多,即§仏(边界层相对厚度)是一个小量。
边界层内粘性力和惯性力同阶。
对于二维平板或楔边界层方程,通过量阶分析得:
卒普朗特边界层方程组du
羽dtdx
边界条件:
在物而y二0上皿二卩二0,在)u5^yT<»此\u-U(xX
初始条件二当r=g时,已知见啲分布』
对于曲面物体,则应采用贴休曲面坐标系,从而建竟相应的边界层方程。
2.3.3层流
层流流动从宏观上来说是规则的粘性流体运动「因此可以直接从N・S方程出发进行求解◎求解方法类似于理想流体。
从方程的性质来讲’粘性不可压缩流体运动方程纠是二阶非线性偏微分方程组&压力项和粘性项是线性的,惯性项却是非线性的,这个非线性项的存在使得求解方程时变得很困难。
在流体力学中解决上述二阶非线性方程组通常有两种途径口
(1)准确解
在一些很简单的问题中,非线性的惯性项等丁零或有非常简单的形式,此时方程组或化为线性方程组,或化为非常简单的非线性方程组,从而找出方程组的准确解來口不过这种情况很少,且大多无实际意义。
(2)近似解
根据问题的特点,通过力学分析.略去方程中某些次要项,从而
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数值 模拟 基础知识