浅谈小学数学2.docx
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浅谈小学数学2
浅谈小学数学
如何培养孩子的口算能力
(一)
口算也称心算,它是一种不借助计算工具,主要依靠思维、记忆,直接算出得数的计算方式。
新大纲指出:
口算既是笔算、估算和简算的基础,也是计算能力的重要组成部分。
由此可见,培养学生的计算能力,首先要从口算能力着手。
那么怎样培养学生的口算能力呢?
我的体会是教师念好“基(抓基本)、教(教方法)、练(常训练)”三字经是至关重要的。
念好“基”字经
“基”是指基本口算。
小学数学教学中的口算分为基本口算、一般口算和特殊口算三类。
这三类口算以基本口算的内容为主,它是计算的基础,基本口算必须要求熟练,而熟练的程度是指达到“脱口而出”,其它两类口算只要求比较熟练或学会。
因此,要注意抓好如下几个方面:
1、直观表象助口算。
从运算形式看,小学低年级的口算是从直观感知过渡到表象的运算。
如教学建立9+2的表象:
先出示装有9个皮球的盒子,另外再准备2个皮球,让学生想一想,“应该怎样摆才能一眼就看出一共有几个皮球?
”很快有学生说:
“我从盒子外面的2个皮球中拿1个皮球放进盒子里,盒子里就有10个皮球,外面还有一个,一共11个。
”我表扬了这个同学说得好,并说明这种方法叫做“凑十法”,即看到9就想到9和几凑成10。
这样,表象建立了,口算的准确性也就有基础了。
2、理清算理助口算。
基本口算的教学,不在于单一的追求口算速度,而在于使学生理清算理,只有弄清了算理,才能有效地掌握口算的基本方法。
因此,应重视抓好算理教学,例如教学8+5=13时,要从实际操作入手,让学生理解:
8比10少2,求8与5之和,
应把8+5分成2和38+5
8与2组成1023
10加3得13。
10
并画出口算8+5=13的思维过程图。
在学生充分理解了算理的基础上,简缩思维过程,抽象出进位加法的法则:
“看大数,分小数,凑成10,再加几。
”最后,再引导学生想一想“5+8”怎样算。
这样,学生理解了算理,亦就掌握了口算的基本方法。
3、说理训练助口算。
抓好说理训练,能使学生有效地掌握基本口算,培养学生思维的灵活性。
例如教学20以内的退位减法,上课一开始先出示“13-8=?
”,问学生“13-8等于几呢?
”“等于5。
”又问:
“是怎样想出来的?
”“做减法,想加法。
”再鼓励学生:
“能不能想出另外的口算方法呢?
”在学生说出几种口算方法后,归纳出不同的退位减法,并要求学生就不同的方法加强说理训练,以提高口算的速度!
如何培养孩子的口算能力
(二)
(一)用“凑十法”口算。
根据式题的特征,应用定律和性质使运算数据“凑整”:
1、加数“凑整”。
如14+5+6=?
启发学生:
几个数相加,如果有几个数相加能凑成整十的数,可以调换加数的位置,把几个数相加。
2、运用减法性质“凑整”。
如50-13-7,启发学生说出思考过程,说出几种口算方法并通过比较,让学生总结出:
从一个数里连续减去几个数,如果减数的和能凑成整十的数,可以把减数先加后再减。
这种口算比较简便。
3、连乘中因数“凑整”。
如25×14×4,25与4的积是100,可直接口算出结果是140。
(二)运用“分解法”口算。
就是把题目中的某数“拆开”分别与另一个数运算,如25×32,原式变成25×4×8=10×8=80。
(三)运用一些速算技巧进行口算。
1、首同尾合10的两个两位数相乘的乘法速算。
即用其中一个十位上的数加1再乘以另一个数的十位数,所得积作两个数相乘积的百位、千位,再用两个数个位上数的积作两个数相乘的积的个位、十位。
如:
14×16=224(4×6=24作个位、十位、(1+1)×1=2作百位)。
2、头差1尾合10的两个两位数相乘的乘法速算。
即用较大的因数的十位数的平方,减去它的个位数的平方。
如:
48×52=2500-4=2496。
3、采用“基准数”速算。
如623+595+602+600+588可选择600为基数,先把每个数与基准数的差累计起来,再加上基数与项数的积。
(四)熟记常用数据。
如:
1~20各自然数的平方数;
念好“练”字经
“练”是指口算要经常训练。
口算能力的形成,要通过经常性的训练才能实现,且训练要多样化。
快速计算口诀
1.十几乘十几:
口诀:
头乘头,尾加尾,尾乘尾。
例:
12×14=?
解:
1×1=1
2+4=6
2×4=8
12×14=168
注:
个位相乘,不够两位数要用0占位。
2.头相同,尾互补(尾相加等于10):
口诀:
一个头加1后,头乘头,尾乘尾。
例:
23×27=?
解:
2+1=3
2×3=6
3×7=21
23×27=621
注:
个位相乘,不够两位数要用0占位。
3.第一个乘数互补,另一个乘数数字相同:
口诀:
一个头加1后,头乘头,尾乘尾。
例:
37×44=?
解:
3+1=4
4×4=16
7×4=28
37×44=1628
注:
个位相乘,不够两位数要用0占位。
4.几十一乘几十一:
口诀:
头乘头,头加头,尾乘尾。
例:
21×41=?
解:
2×4=8
2+4=6
1×1=1
21×41=861
5.11乘任意数:
口诀:
首尾不动下落,中间之和下拉。
例:
11×23125=?
解:
2+3=5
3+1=4
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾
11×23125=254375
注:
和满十要进一。
6.十几乘任意数:
口诀:
第二乘数首位不动向下落,第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字,加下一位数,再向下落。
例:
13×326=?
解:
13个位是3
3×3+2=11
3×2+6=12
3×6=18
13×326=4238
注:
和满十要进一。
在小学阶段,数学思想方法主要有符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数形结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等等。
一、符号化思想
符号在小学数学中的应用如下表。
知识领域
知识点
应用举例
应用拓展
数与代数
数的表示
阿拉伯数字:
0~9
中文数字:
一~十
百分号:
%
千分号:
‰
用数轴表示数
数的运算
+、-、×、÷、( ) ﹝﹞﹛﹜2(平方)3(立方)
数的大小关系
=、≈、>、<
≥、≤、≠
运算定律
加法交换律:
a+b=b+a
加法结合律:
a+b+c=a+(b+c)
乘法交换律:
ab=ba
乘法结合律:
(ab)c=a(bc)
乘法分配律:
a(b+c)=ab+ac
方程
ax+b=c
数量关系
时间、速度和路程:
s=vt
数量、单价和总价:
a=np
正比例关系:
y/x=k
反比例关系:
xy=k
用表格表示数量间的关系
用图象表示数量间的关系
空间与图形
用字母表示计量单位
长度单位:
km、m、dm、cm、mm
面积单位:
km2、m2、dm2、cm2、mm2
质量单位:
t、kg、g
用符号表示图形
用字母表示点:
三角形ABC
用符号表示角:
∠1、∠2、∠3、∠4
△ABC
线段AB
直线CD
直线L
两线段平行:
AB∥CD
两线段垂直:
AB⊥CD
ABCD
用字母表示公式
三角形面积:
S=
ab
平行四边形面积:
S=ah
梯形面积:
S=
(a+b)h
圆周长:
C=2πr
圆面积:
S=πr?
长方体体积:
v=abc
正方体体积:
v=a?
圆柱体积:
v=sh
圆锥体积:
v=
sh
统计与概率
统计图和统计表
用统计图表描述和分析各种信息
可能性
用分数表示可能性的大小
二、化归思想
1. 化归思想的概念。
人们在面对数学问题,如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时,往往将需要解决的问题不断转化形式,把它归结为能够解决或比较容易解决的问题,最终使原问题得到解决,把这种思想方法称为化归(转化)思想。
2. 化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上,把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规,从而解决各种问题。
因此,应用化归思想时要遵循以下几个基本原则:
(1)数学化原则
(2)熟悉化原则(3)简单化原则(4)直观化原则
化归思想在小学数学中的应用如下表。
知识领域
知识点
应用举例
数与代数
数的意义
整数的意义:
用实物操作和直观图帮助理解
小数的意义:
用直观图帮助理解
分数的意义:
用直观图帮助理解
负数的意义:
用数轴等直观图帮助理解
四则运算的意义
乘法的意义:
若干个相同加数相加的一种简便算法。
除法的意义:
乘法的逆运算。
四则运算的法则
整数加减法:
用实物操作和直观图帮助理解算法。
小数加减法:
小数点对齐,然后按照整数的方法进行计算。
小数乘法:
先按照整数乘法的方法进行计算,再点小数点。
小数除法:
把除数转化为整数,基本按照整数除法的方法进行计算,需要注意被除数小数点与商的小数点对齐。
分数加减法:
异分母分数加减法转化为同分母分数加减法。
分数除法:
转化为分数乘法。
四则运算各部分间的关系
a+b=c,c -a=b
ab=c,a=c÷b
简便计算
利用运算定律进行简便计算
方程
解方程:
解方程的过程,实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程(x=a)。
解决问题的策略
化繁为简:
植树问题、鸡兔同笼问题等。
化抽象为直观:
用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系、帮助推理。
化实际问题为数学问题:
化一般问题为特殊问题:
化未知问题为已知问题:
空间与图形
三角形内角和
通过操作把三个内角转化为平角
多边形的内角和
转化为三角形求内角和
面积公式
正方形的面积:
转化为长方形求面积
平行四边形面积:
转化为长方形求面积
三角形的面积:
转化为平行四边形求面积
梯形的面积:
转化为平行四边形求面积
圆的面积:
转化为长方形求面积
组合图形的面积:
转化为求基本图形的面积
体积公式
正方体的体积:
转化为长方体求体积
圆柱的体积:
转化为长方体求体积
圆锥体积:
转化为圆柱求体积
统计与概率
统计图和统计表
运用不同的统计图表描述各种数据
可能性
运用不同的方式表示可能性的大小
4.解决问题中的化归策略。
(1)化抽象问题为直观问题。
下面举例说明。
案例:
分析:
此问题通过观察,可以发现一个规律:
每一项都是它前一项的
。
但是对于小学和初中的学生来说,还没有学习等比数列求和公式。
如果把一条线段看作1, 先取它的一半表示
,再取余下的一半的一半表示
,这样不断地取下去,最终相当于取了整条线段。
因此,上式的结果等于1, 这样利用直观手段解决了高中生才能解决的问题。
(2)化繁为简的策略。
下面举例加以说明。
案例1:
把186拆分成两个自然数的和,怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大?
187呢?
分析:
此题中的数比较大,如果用枚举法一个一个地猜测验证,比较繁琐。
如果从比较小的数开始枚举,利用不完全归纳法,看看能否找到解决方法。
如从10开始,10可以分成:
1和9,2和8,3和7,4和6,5 和5。
它们的积分别是:
9,16,21,24,25。
可以初步认为拆分成相等的两个数的乘积最大,如果不确定,还可以再举一个例子,如12可以分成:
1和11,2和10,3和9,4和8,5和7,6和6, 它们的积分别是:
11,20,27,32,35,36。
由此可以推断:
把186拆分成93和93,93和93的乘积最大,乘积为8649。
适当地加以检验,如92和94的乘积为8648,90和96的乘积为8640, 都比8649小。
因为187是奇数,无法拆分成相等的两个数,只能拆分成相差1的两个数,这时它们的乘积最大。
不再举例验证。
案例2:
你能快速口算85×85=,95×95=,105×105=吗?
分析:
仔细观察可以看出,此类题有些共同特点,每个算式中的两个因数相等,并且个位数都是5。
如果不知道个位数是5的相等的两个数的乘积的规律,直接快速口算是有难度的。
那么,此类题有什么技巧呢?
不妨从简单的数开始探索,如15×15=225,25×25=625,35×35=1225。
通过这几个算式的因数与相应的积的特点,可以初步发现规律是:
个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部分:
左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数,右边为25(5乘5的积)。
所以85×85=7225,95×95=9025,105×105=11025,实际验证也是如此。
学会化繁为简的解题策略,对于提高解决繁难问题的能力大有帮助。
(3)化实际问题为特殊的数学问题。
案例1:
某旅行团队翻越一座山。
上午9时上山,每小时行3千米,到达山顶时休息1小时。
下山时,每小时行4千米,下午4时到达山底。
全程共行了20千米。
上山和下山的路程各是多少千米?
分析:
由于只知道上山和下山的速度,不知道上山和下山的具体时间,因此无法直接求出上山和下山的路程,但是知道总路程。
仔细观察可以发现:
题中给出了两个未知数量的总和以及与这两个数量有关的一些特定的数量,如果用假设的方法,那么就类似于鸡兔同笼问题。
假设都是上山,那么总路程是18(6×3)千米,比实际路程少算了2千米,所以下山时间是2﹝2÷(4-3)﹞小时,上山时间是4小时。
上山和下山的路程分别是12千米和8千米。
案例2:
李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了11元,王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克香蕉,用了6.5元。
每千克苹果和香蕉各多少钱?
分析:
此题初看是关于单价、总价和数量的问题,但是,由于题中没有告诉苹果和香蕉各自的总价是多少,无法直接计算各自的单价。
认真观察,可以发现:
题中分两次给出了不同数量的苹果和香蕉的总价,虽然题中有苹果和香蕉各自的单价这两个未知数,但这二者没有直接的关系,如果用方程解决,也超出了一元一次方程的范围。
那么这样的问题在小学的知识范围内如何解决呢?
利用二元一次方程组加减消元的思想,可以解决这类问题;具体来说就是把两组数量中的一个数量化成相等的关系,再相减,得到一个一元一次方程。
不必列式推导,直接分析便可:
1千克苹果和2千克香蕉6.5元,那么可得出2千克苹果和4千克香蕉13元;题中已知2千克苹果和3千克香蕉11元。
用13减去11得2,所以香蕉的单价是每千克2元。
再通过计算得苹果的单价是每千克2.5元。
(4)化未知问题为已知问题。
案例:
水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍多30千克,这两种水果一共销售了180千克。
销售香蕉多少千克?
分析:
学生在学习列方程解决问题时学习了最基本的有关两个数量的一种模型:
已知两个数量的倍数关系以及这两个数量的和或差,求这两个数量分别是多少。
题中的苹果和香蕉的关系,不是简单的倍数关系;而是在倍数的基础上增加了一个条件,即苹果比香蕉的2倍还多30千克。
假如把180减去30得150,那么题目可以转化为:
如果水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍,那么这两种水果一共销售了150千克。
销售香蕉多少千克?
这时就可以列方程解决了,设未知数时要注意设谁为x,题目求的是哪个量。
学生既要学习知识,又要学习方法。
学生不仅要学会类型套类型的解题模式,更重要的是在理解和掌握最基本的数学模型的基础上,形成迁移类推或举一反三的能力。
学生深入思考以下几个问题:
1. 水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍少30千克,这两种水果一共销售了180千克。
销售苹果多少千克?
2. 水果商店昨天销售的香蕉比苹果的
多30千克,这两种水果一共销售了180千克。
销售苹果多少千克?
3. 水果商店昨天销售的香蕉比苹果的
少30千克,这两种水果一共销售了120千克。
销售苹果多少千克?
4. 水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍,销售的梨是香蕉的3倍。
这三种水果一共销售了180千克。
销售香蕉多少千克?
5. 水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍,销售的梨是苹果的2倍。
这三种水果一共销售了210千克。
销售香蕉多少千克?
从以上几个题目的步数来说,可能已经超越了教材基本的难度标准。
但近年来一直有一个理念:
“高标准教学,标准化考试”
(5)化一般问题为特殊问题。
案例:
任意一个大于4的自然数,拆成两个自然数之和,怎样拆分才能使这两个自然数的乘积最大?
分析:
此问题如果运用一般的方法进行推理,可以设这个大于4的自然数为N。
如果N为偶数,可设N=2K(K为任意大于2的自然数);那么N=K+K=(K-1)+(K+1)=(K-2)+(K+2)=…,
因为K2>K2-1>K2-4>…,
所以K×K>(K-1)×(K+1)>(K-2)×(K+2)>…,
所以把这个偶数拆分成两个相等的数的和,它们的积最大。
如果N为奇数,可设N=2K+1(K为任意大于1的自然数);那么N=K+(K+1)=(K-1)+(K+2)=(K-2)+(K+3)=…,
因为K2+K>K2+K-2>K2+K-6>…,
所以K×(K+1)>(K-1)×(K+2)>(K-2)×(K+3)>…,
所以把这个奇数拆分成两个相差1的数的和,它们的积最大。
仔细观察问题可以发现,题中的自然数只要大于4, 便存在一种普遍的规律;因此,取几个具体的特殊的数,也应该存在这样的规律。
这时就可以把一般问题转化为特殊问题,仅举几个有代表性的比较小的数(只要大于4)进行枚举归纳,如10,11等,就可以解决问题。
五、方程和函数思想
1.方程和函数思想的概念。
方程和函数是初等数学代数领域的主要内容,也是解决实际问题的重要工具,它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系,而且它们之间有着密切的联系,因此,本文将二者放在一起进行讨论。
(1)方程思想。
含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程,只需要同时满足两个条件:
一个是含有未知数,另一个是必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题:
χ=0 和χ=1是不是方程?
根据方程的定义,他们满足方程的条件,都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数,可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等,这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号(常用χ、y等字母)表示,根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已知与未知的对立统一。
(2)函数思想。
设集合A、B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系?
,如果对于集合A中的任意一个数χ,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称y是χ的函数,记作y=f(χ)。
其中χ叫做自变量,χ的取值范围A叫做函数的定义域;y叫做函数或因变量,与χ相对应的y的值叫做函数值,y的取值范围B叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的,自变量只有一个,与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系,一个变量的取值发生了变化,另一个变量的取值也相应发生变化,中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化,这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数,但实际上它是存在的,如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系:
V=πr2h。
半径和高有一对取值,体积就会相应地有一个取值;也就是说,体积随着半径和高的变化而变化。
函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系,因变量随着自变量的变化而变化,通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则,从而构建函数模型。
函数思想体现了运动变化的、普遍联系的观点。
小学数学中方程和函数思想的应用如下表。
思想方法
知识点
应用举例
方程思想
方程
用一元一次方程解决整数和小数等各种问题
分数、百分数和比例
用一元一次方程解决分数、百分数和比例等各种问题
等量代换
二(三)元一次方程组思想的渗透
鸡兔同笼
用方程解决鸡兔同笼问题
函数思想
加法
一个加数不变,和随着另一个加数的变化而变化,可表示为
y=χ+b的形式,渗透一次函数的思想
积的变化规律
一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化,可表示为
y=kχ,渗透正比例函数思想
商的变化规律
除数不变,商随着被除数的变化而变化,可表示为
,渗透正比例函数思想;被除数不变,商随着除数的变化而变化,可表示为
,渗透反比例函数思想
正比例关系
正比例关系改写成y=kχ,就是正比例函数
反比例关系
反比例关系改写成
,就是反比例函数
数列
等差数列、等比数列、一般数列的每一项与序号之间的对应关系,都可以看作是特殊的函数关系。
空间与图形
长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式,长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积公式,圆的周长和面积公式等都渗透了函数的思想
统计图表
函数的列表法与统计表有相似之处
下面再结合案例谈谈方程和函数思想。
案例1:
妈妈买了3千克香蕉和2千克苹果,一共花了16元。
苹果的价格是香蕉的2倍多1元,苹果和香蕉的单价各是多少?
分析:
题目涉及的是商品的数量、单价和总价的关系,根据数量关系“单价×数量=总价”进行分析,题中出现了两种商品,总价也是两种商品的总价。
所以等量关系应为“香蕉的单价×香蕉的数量+苹果的单价×苹果的数量=总价”。
再根据这个等量关系找出题中已知的量,总价16元、香蕉的数量3千克和苹果的数量2千克。
未知的是香蕉和苹果的单价,也就是题目中要求的量。
设香蕉的单价是χ元/千克,苹果的单价是y元/千克。
根据题意,可列出如下方程。
3χ+2y=16,y=2χ+1。
根据等量代换的原理,两个方程可合并成一个方程,3χ+2(2χ+1)=16。
这是在小学数学中遇到含有有关系的两个未知数的方程时能够直接列出一个方程的依据。
如和倍、差倍、鸡兔同笼等问题,用方程解决也是利用了这个原理。
解方程,χ=2,y=5。
案例2:
小明家的果园供游人采摘桃,每千克10元。
请写出销售桃的总价(总收入)y元与数量(千克数) χ之间的关系式。
如果某天的销量是50千克,这天的总收入是多少?
如果上个月的总收入是12000元,上个月的销量是多少?
分析:
此题涉及的也是商品的单价、数量和总价的关系,仍然要根据数量关系“单价×数量=总价”进行分析。
根据题意,已知的量是单价,未知的量是总价和数量,题目已经告诉我们分别用y和χ表示。
因为桃的单价一定,所以它的总价与数量成正比例,可列关系式:
y=10χ。
某天的销量是50千克,总收入是500元。
上个月的总收入是12000元,销量是1200千克。
案例2和案例1相比较,都有两个量分别用y和χ表示。
案例1中的y和χ虽然是未知的量,但是它们实际上是具体的静止的常量,都有一个固定的值,通过解方程可以得到它们的值。
案例2的两个量y和χ则是相关联的变化的量,χ的取值可以是一定范围内 (果园内桃子总质量的最大值以内) 的任何一个数
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