空间向量知识点归纳期末复习doc.docx
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空间向量期末复习
知识要点:
1.空间向量的概念:
在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注:
(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.空间向量的运算。
定义:
与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
运算律:
⑴加法交换律:
a+h=b+ci
⑵加法结合律:
(N+T)+E=N+0+e)
⑶数乘分配律:
=+
3.共线向量。
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,&平行于5,记作allbo
当我们说向量N、T共线(或a//b)时,表示万、5的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线。
(2)共线向量定理:
空间任意两个向量万、b(方工6),allb存在实数2,使a=kbo
4.共面向量
(1)定义:
一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明:
空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理:
如果两个向量方,5不共线,"与向量刁,5共面的条件是存在实数x^y\^p=xa-\-yb。
5.空间向量基本定理:
如果三个向量a.b.c不共面,那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使0=xN+y5+zC。
若三向量万不共面,我们把{a.b.c}叫做空间的一个基底,a,b,c叫做基向量,空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底。
推论:
设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC。
6.空间向量的数量积。
(1)空I'可向量的夹角及其表示:
已知两非零向量a.b,在空间任取一点0,作0A=a,0B=b,则厶叫做向量N与方的夹角,记作且规定OMa9b><7T,显然有<丽>=<歸>;若<云伍>=仝,则称万与5互相垂直,记作:
N丄方。
(2)向量的模:
设0A=a,则有向线段刃的长度叫做向量万的长度或模,记作:
\a\o
(3)向量的数量积:
已知向量丽,贝ij|5|-|6|-cos<5^>叫做乳方的数量积,记
作a-b,即方・5=\a\-\h\-coso
(4)空间向量数量积的性质:
①3-e=|5|coso②万丄h<^=>a-h=0o③\a^=a•ao
(5)空间向量数量积运算律:
©(25)-b=2(3-b)=a-(Ab)o②ab=b-a(交换律)。
@a-(b+c)=a-b+a-c(分配律)。
7.空I'可向量的坐标运算:
(1).向量的直角坐标运算
(2)a—b=(a】-b^a2-b2,a3-b3);
—e
(4)a9b=aAb}+a2b2+a3b3;
设a=(a^a29a3)fb=(bx,b2,b3)则
(1)a+b=(勺+勺卫2+〃2,。
3+伏);
(3)入万=(加],加2,加3)(入WR);
•,•,•
(2)•设A(xpypZj),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2-x{,y2-y},z2-z}).
丄丄
(3).设a=(X],必,Z]),b=(x2,y2,z2),贝】J
7——9?
2
_=a•a=石+片+Zj
丄丄丄iii丄丄丄丄
aPba=^b(bHO);d丄boa・b=0ox}x2+y}y2+z,z2=0•
⑷.夹角公式设云=(坷“吗),方=(4,2厶),则cos=/砒+警+小
+q;+ci;Jb;+b;+b;
(5).异面直线所成角
丨兀內+儿儿+么乓!
J*/+J/,+可2•&:
+旳?
+Z?
2
(6).直线和平面所成的角的求法
则有sin0=|cos〃|=
I心Ii«ikr
两向暈0与證的夹角为0,
如图所示,设直线/的方向向量为0,平面G的法向量为弘直线/与平面G所成的角
(1)如图①,AB,CQ是二面角a・1中的两个面内与棱/垂直的直线,则二面角的大小0
=〈乔,CD).
(2)如图②③,Hz,心分别是二面角a-l-fi的两个半平面a,”的法向量,则二面角的大小&=51,刃2〉或兀—51,兀2〉・
2.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a〃b,贝9()
A.x=6,尹=15B.x=3,y=2
C.x=3,y=15D.兀=6,y=2
3.已知空间三点/(0,2,3),5(-2,1,6),C(l,-1,5).若阀=羽,且a分别与乔,花垂直,则向量。
为()
A.(1,1,1)
B.(-1,-1,-1)
C.(1,1,1)或(一1,—1,—1)
D.(1,—1,1)或(-1,1,-1)
4.若a=(2,一3,5),*=(-3,1,一4),贝也一2切=.
5.
A
如图所示,
已知正四面体ABCD4E=*B,CF=^CD,则直线DE和3F所成角的余弦值为
4.A/258
解析Va-2ft=(8,-5,13),・•・\a~2b\=^82+(-5)2+132=^258.
5土
亠13
解析因四面体ABCD是正四面体,顶点/在底面BCQ内的射影为△BCQ的垂心,所以有BC丄D4,ABLCD.设正四面体的棱长为4,
则亦赤=(貶+拆)•(茹+屁)
=O+BGAE+CF-DA+O
=4XlXcos120°+lX4Xcos120。
=一4,
BF=DE=y^^+12-2X4X1Xcos60°=匹,
_4_
=1?
所以异面直线DE与3F的夹角0的余弦值为:
cos0=
6.如图所示,在平行六面体ABCD-A}B\C\DX屮,设AA}=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA]fBC,GD的中点,试用a,dc表示以下各向量:
⑴乔;
(2)4^;
(3)MP+NC,.
解:
(1)VP是CQi的中点,
:
.AP=AA{+孫+D^P
一1
=a+AD+^Z)]Ci
=a+c+^AB
=a+c+如.
(2)・.・N是3C的中点,
:
.A^N=A^A+AB+BN=-a+b+^BC
1一1
=~a+b+^AD=—a+b+^c.
(3)TM是曲i的中点,
:
.MP=MA+JP=*命+~AP
=-*a+(d+c+*»=*a+如+c,又NC}=7jC+CC{^BC+AA,
=〒D+AA}pc+a,
~MP+NC、=©+如+c)+(a+*c)
313
=严+卫+㊁c.
7.己知直三棱柱ABC-A[BlC[中,N4BC为等腰直角三角形,ZBAC=90。
且AB=AAifD,E,F分别为BS,CiC,BC的中点.
(1)求证:
DE〃平面MC;
(2)求证:
3|F丄平面/EF.
证明:
以/为原点,4B,AC,所在直线为x轴,尹轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,令力〃=/川=4,则力(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),3(4,0,4),D(2,0,2),4(0,0,4),
Al
(1)D£=(-2A0),平面的法向量为AA}=(0,0,4),
':
~DE~AAX=0,DEG平而ABC,
•••DE〃平面ABC.
(2)8f=(_2,2,-4),EF=(2,-2,-2),
乔・EF=(-2)X2+2X(-2)+(-4)X(-2)=0,
•••B、F丄EF,B、F丄EF,
乔•乔=(-2)X2+2X2+(-4)X0=0,
:
.B^F丄乔,:
.B}F丄/F.
•••4FCEF=F,:
・B\F丄平面AEF.
8•如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC丄平面ABCD,PC=2.在
四边形ABCD中,Z^=ZC=90°,AB=4,CD=\,点M在刖上,
(1)CM〃平面PAD;
(2)平面刃B丄平面PAD.
证明:
以C为坐标原点,C8为X轴,CQ为y轴,CP为Z轴建立如图所示的空间直角坐标系C・xyz.
•:
PC丄平面ABCD,
:
.乙PBC为PB与平面ABCD所成的角,
•••ZPBC=30°,
9:
PC=2,•••BC=2EPB=4,
・・・Q(0,l,0),BQ晶0,0),A(2y/3t4,0),尸(0,0,2),
•••丽=(0,-1,2),DA=(2^3,3,0),
CM=
o,I)
⑴设〃=(x,“z)为平面刊D的一个法向量,
—y+2z=0,
2伍+3y=0,
令丁=2,得"=(—^3,2,1).
*:
nCM=-^3><2+2X0+1X2=0,
・•・〃丄而.又CMQ平面PAD,
:
.CM〃平面PAD.
(2)如图,取力尸的中点E,连接BE,
则E©,2,1),匪=(一点2,1).
•・・PB=AB,・・・BE丄PA.
又•:
~BEDA=(-a/3,2,1)(2萌,3,0)=0,
・・・BE丄DA.BE丄D4.
5LPAr}DA=Af:
.BE丄平面B4D.
又・:
BEU平面R4B,
・•・平面/MB丄平面PAD.
9.如图,在正方体人BCD・A\B、C\D\中,E为的中点.
(1)求直线/D和直线5C所成角的大小;
(2)求证:
平面EEQ丄平面B、CD.
DD\分别为x轴、尹轴、z轴,
解:
不妨设正方体的棱长为2个单位长度,以DA,DC,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
根据已知得:
£>(0,0,0),J(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),耳(2,2,2).
⑴・・•可=(2,0,0),画=(2,0,2),・・・cos〈可,西〉=巴迅=半
11|DA||CB,|2
7T
・;直线力D和直线所成角为才.
(2)证明:
取3Q的中点F,得F(l,l,l),连接EF.
TE为力3的中点,£(2,1,0),
AEF=(-1,0,1),5C=(0,2,0),
・•・丽反=0,EFCB}=0,
:
.EF丄DC,EF丄CB\.
•:
DCCCB\=C,・・・EF丄平面B\CD.
又TEFU平面EB、D,・•・平面EBQ丄平面B\CD.
10.如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB//CD,MB丄BC,AB=2CD=2BC,EA丄EB.
⑴求证:
MB丄DE;
(2)求直线EC与平而ABE所成角的正弦值;
⑶线段以上是否存在点F,使EC〃平面FBD?
若存在,求出徐
理由.
解:
(1)证明:
取力3的中点O,连接EO,DO.因为EB=EA,所以EO丄MB.
因为四边形ABCD为直角梯形.
AB=2CD=2BC,AB丄BC,
所以四边形OBCD为正方形,所以丄OD因为EOODO=O,
所以力〃丄平面EOD,所以力3丄ED.
(2)因为平面/BE丄平面ABCD,且EO丄4B,所以EO丄平面ABCD,所以EO丄OD
A
若不存在,请说明
由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
因为三角形EAB为等腰直角三角形,
所以OA=OB=OD=OE,
设OB=1,
所以0(0,0,0),1,0,0),3(1,0,0),C(1丄0),
D(0,l,0),E(0,0,l).所以丽=(1,1,-1),平面ABE的一个法向量为筋=(0,1,0).设直线EC与平面所成的角为0,
所以sin<9=|cos<£C,
OD)|=
\ECOD\_y[3
\EC\\OD\~3
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为誓.
11.
P4=AB=2fBC
(12分)如图,在底面是矩形的四棱锥P—/BCD中,刃丄平面=4,E是PD的中点.
(1)求证:
平面PQC丄平面刊D
⑵求点B到平面PCD的距离.
y轴、z轴建立空
21.
⑴证明如图,
间直角坐标系,则依题意可知力(0,0,0),3(0,2,0),C(4,2,0),£>(4,0,0),P(0,0,2).
・••励=(4,0,-2),励=(0,-2,0),场=(0,0,-2).设平面PDC的一个法向量为n=(X.y,l),
-2v=0
4x-2=0
所以平面尸CQ的一个法向量为仕,0,1)
•・•丹丄平面ABCD,:
.PALAB,
又':
ABLAD,PA^AD=A9:
.AB丄平面刊D
・•・平面PAD的法向量为乔=(0,2,0).
':
n-AB=0,・•・聽丄乔
・•・平面PDC丄平面PAD.
⑵解由⑴知平面PCD的一个单位法向量为侖=(平,0,芈j.
-n
'■T(4'O'°)梓'O'爭)1普'
・••点B到平面PCD的距离为攀.
12.如图所示,在多面体ABCD-AyBxCyD\中,上、下两个底面A}B}C}D}和力3CQ互
相平行,且都是正方形,DQ丄底面ABCD,AB=2A、B\=2DD\=2a.
(1)求界面直线与DDX所成角的余弦值;
(2)已知F是40的中点,求证:
Mi丄平面BCC\B\;
(3)在⑵的条件下,求二面角F-CCi-5的余弦值.
解:
以D为坐标原点,分别以D4,DC,DDi所在直线为兀轴、y轴、z轴建立如图所
C(0,2q,0),D(0,0,a),F(q,O,O),
示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2af0,0),B(2a,2d,0),
B\(a,a,a),C)(0,a,a).
(2”正明:
VBB}=(~a9
—a,a),
FB、=(0,a,a),
=(-267,0,0),
・••异面直线/Bi与QDi所成角的余弦值为¥•
FB、・BB\=0,
耳祝=0,
•••FB』BB\,FB』BC・
•:
BB\CBC=B,・・・FBi丄平面BCC/i.
(3)由
(2)知,FB}为平面BCC\B\的一个法向量.
设n=(xlfzj为平面FCG的法向量,
Vcq=(0,-a,a)fFC=(-a,2a,0)f~ay\+qZ]=0,
~ax\+2ay\=0.
令尹1=1,则"=(2丄1),
•・•二面角F-CCi-B为锐角,
・•・二面角F・CC\・B的余弦值为¥•
mBQ=0,
一即“
inCE=0,
x—2y—z=0f
—x+y—z=0.
消去x,得y+2z=0,
不妨令z=l,可得一个法
向量为加=(—3,—2,1).
由
(1)次口,BC丄CE,
又CC]丄B]C],
可得5G丄平面CECl9故B.C.=(1,0,一1)为平
面CEC、的一个法向量.
于是cos{tn,EC〉
m-BQ
2a/7
7,
从而sin
S,昭>=罕
所以二面角B、・CE・C\的正弦值为警I
EM=(x,久+1,X).可取AB=(0,0,2)为平面ADD}A}的一个法向量•设0为直线/M与平
'■'•
面ADM所成的角‘则sin0=|c°s
法二:
⑴证明:
因为侧棱CC1丄底面力/iCQi,B]C]U平面AxBxC\D\,所以CCi丄5C].经计算可得B、E=^,B\C、=也,EC\=晶从而B^=BXC\+EC\,所以在△BXECX中,BiC\丄C\E,又CG,GEU平面CC、E,CC]QCE=C],所以5G丄平面CC\E.又CEU平面CC\E,故B\C」CE.
(2)过厲作0G丄CE于点G,连接GG.由
(1)知,B\C」CE,故CE丄平面B\C\G,得CE丄C|G,所以ZBiGCi为二面角B\・CE・C\的平面角.在ZkCCiE中,由CE=C\E=羽,CC|=2,可得C】G=爭.在RtZ\5C|G中,B】G=攀,所以sinZBg=^,
即二面角B\・CE・C\的正弦值为厚.
(3)连接D、E,过点M作MH丄ED于点H,可得加丄平®ADD}AXy连接/H,AM,则ZMAH为直线与平面ADDXAX所成的角.
、Qa/34
AM=x,从而在Rt△昇HM中,有MH=AH=〒£在RtACQiE中,CQ】=1,
ED\=y[i,得EH=y/2MH=jx.在中,Z4EH=\35。
AE=\,由AH2=AE2+EH2-2AEEHcos135°,
得徐—i+|x2+^x,整理得5,—2伍一6=0,解得所以线段的长为QI
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