平行四边形的判定.docx
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平行四边形的判定.docx
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平行四边形的判定
1.已知:
如图l,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F,求证:
OE=OF。
证明:
在□ABCD中
OA=OC,
AB∥CD
∴∠OAE=∠OCF,
∠OEA=∠OFC
∴△OAE≌△OCF(AAS)
∴OE=OF
变形题:
已知:
如图2,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与DA,BC延长线分别相交于点E、F,求证:
OE=OF。
2.已知:
□ABCD中,E在AC上,AE=2EC,F在AB上,BF=2AF,若△BEF的面积为
,求:
□ABCD的面积。
解:
∵S△BEF=2
且BF=2AF,
∴S△AEF=
S△BEF=1
∴S△BAE=3
∵AE=2EC
∴S△BCE=
S△BAE=1.5
∴S△ABC=4.5
∴S□ABCD=2S△ABC=9
3.如图,E、F分别是□ABCD边AD和BC上的点,并且AE=CF,AF和BE相交于G,CE和DF相交于H,求证:
EF和GH互相平分。
证明:
在□ABCD中
AD=BC
AD∥BC
∴AE∥CF
∵AE=CF
∴四边形AFCE是平行四边形
∴AF∥CE
∵AD-AE=BC-CF
DE=BF
DE∥BF
∴四边形EDBF是平行四边形
EB∥DF
∴四边形EGFH是平行四边形
∴EF和GH互相平分。
4.如图,□ABCD的周长为
,BC的长为
,AE⊥BC,AF⊥DC的延长线于F,AE=3,求
(1)∠D的度数;
(2)AF的长。
解:
在□ABCD中
AB=CD∠B=∠D
∵□ABCD的周长为
BC的长为
∴
,
∵AE⊥BCAE=3,
∴BE=3,
∴∠B=∠D=45°
∵AF⊥CD,
∵AE·BC=AF·CD
∴
,
。
5.如图,□ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,直线CE交BA的延长线于G,直线DF交AB的延长线于H,CG与DH交于点O,若
,求
。
解:
连结EF,
E、F分别是AD、BC的中点
S□ABFE的面积=S□CDEF的面积=2
在□ABCD中
AB∥CD
∠G=∠DCE
ED=EA
∠CED=∠AEG
CDE≌△GAE,
同理△CDF≌△BHF;
6.已知,如图,在□ABCD中,AE⊥BDCF⊥BD,M、N分别是BC、AD中点,求证:
四边形EMFN是平行四边形。
证明:
在□ABCD中
AD=BCAB=CD
AD∥BCAB∥CD
∴∠ADB=∠CBD
∠ABD=∠CDB
∵AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AED=∠CFB=90°
∴△ABE≌△CDF(AAS)
∴BE=CF
∵M、N分别是BC、AD中点
∴BM=ND
△BEM≌△DFN(SAS)
∵BE+EF=CF+EF
∴BF=DE
∴△BMF≌△DEN(SAS)
∴EN=MF
∴四边形EMFN是平行四边形
7.在□ABCD中,∠A的平分线分BC成
4cm和3cm两部分,求□ABCD的周长。
解:
∵在□ABCD中
∴AD∥BC
∴∠2=∠3
∵AE平分∠BAD
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴BA=BE
若BE=4cm,
则□ABCD的周长=2(AB+BC)=22cm
若BE=3cm,
则□ABCD的周长=20cm
8.如图,□ABCD中,BE平分∠ABC,交AD于E,DF平分∠ADC,交BC于F,
求证:
BF=DE
证明:
在□ABCD中
AD∥BC,
∴∠ABC=∠ADC
∴∠2=∠3
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC
∴
,
∴∠1=∠3
∴∠1=∠2
∴BE∥DF
又∵DE∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∴BF=DE
9.如图,□ABCD中,2AB=AD,AB=AE=BF,求证:
CE⊥DF
证明:
在□ABCD中,
AB∥CD,
∴∠2=∠E,
AD∥BC
∴∠ADC+∠BCD=180°
AD=BC
∵AD=2AB,
AB=AE
∴BE=2AB
∴AD=BC=BE
∴BC=BE
∴∠3=∠E,
∴∠2=∠3
∴∠2=
∠BCD
∴同理∠1=
∠ADC
∴∠COD=90°
∴CE⊥DF
10.如图:
□ABCD中,A1,A2,A3,A4和B1,B2,B3,B4分别是AB和CD的五等分点,C1,C2和D1,D2分别是AD和BC的三等分点,若四边形A4C1B1D2的面积为1,求□ABCD的面积。
设□ABCD的面积为x,
15/x=(15-6)/1
15/x=9/1
9x=15
x=5/3
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