高中数学必修4知识点总结第二章平面向量.docx

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高中数学必修4知识点总结第二章平面向量

高中数学必修4知识点总结

第二章平面向量

16、向量:

既有大小,又有方向的量.数量:

只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:

起点、方向、长度.零向量:

长度为0的向量.单位向量:

长度等于1个单位的向量.平行向量（共线向量:

方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:

长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算:

⑴三角形法则的特点:

首尾相连.

⑵平行四边形法则的特点:

共起点.

ababab-≤+≤+

.⑷运算性质:

①交换律:

abba+=+;

②结合律:

（（

abcabc++=++

;③00aaa+=+=.

⑸坐标运算:

设（11,axy=,（22,bxy=,则（1212,abxxyy+=++

.

18、向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:

共起点,连终点,方向指向被减向量.

⑵坐标运算:

设（11,axy=,（22,bxy=,则（1212,abxxyy-=--

.设A、B两点的坐标分别为（11,xy,（22,xy,则（1

212

xxyyA

B=--

.

19、向量数乘运算:

⑴实数λ与向量a

的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作aλ

.

①aaλλ=;

②当0λ>时,aλ的方向与a的方向相同;当0λ<时,aλ的方向与a的方向相反;当0λ=时,0aλ=

.

⑵运算律:

①（（aaλμλμ=;②（aaaλμλμ+=+;③（

ababλλλ+=+

.

⑶坐标运算:

设（,axy=,则（（,,axyxyλλλλ==

.

20、向量共线定理:

向量（

0aa≠

与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使baλ=.

设（11,axy=,（22,bxy=,其中0b≠,则当且仅当12210xyxy-=时,向量a

、（

0bb≠共线.

21、平面向量基本定理:

如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a

有且只有一对实数1λ、2λ,使1122aeeλλ=+

.（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基

b

a

C

B

A

abCC-=A-AB=B

底

22、分点坐标公式:

设点P是线段12PP上的一点,1P、2P的坐标分别是（11,xy,（22,xy,当12

λPP=PP

时,点P的坐标是12

12,

11xxyyλλλ

λ++⎛⎫

⎪++⎝⎭

.

（当时,就为中点公式。

1=λ

23、平面向量的数量积:

⑴（

cos0,0,0180abababθθ⋅=≠≠≤≤

.零向量与任一向量的数量积为0.

⑵性质:

设a和b都是非零向量,则①0abab⊥⇔⋅=.②当a与b同向时,abab⋅=

;当a与b反向时,abab⋅=-

;22aaaa⋅==

或a=

abab⋅≤.

⑶运算律:

①abba⋅=⋅;②（（（

abababλλλ⋅=⋅=⋅;③（

abcacbc+⋅=⋅+⋅

.

⑷坐标运算:

设两个非零向量（11,axy=,（22,bxy=,则1212abxxyy⋅=+

.

若（,axy=,则2

22

axy

=+,

或a=

.设（11,axy=

（22,bxy=,则

1

21

2

0abxxyy⊥⇔

+

=

.设a

、b都是非零向量,（11,axy=,（22,bxy=,θ

是a

与b的夹角,

则

cosxxyyab

ab

θ+⋅==

.

第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴（coscoscossinsinαβαβαβ-=+;⑵（coscoscossinsinαβαβαβ+=-;⑶（sinsincoscossinαβαβαβ-=-;⑷（sinsincoscossinαβαβαβ+=+;⑸（tantantan1tantanαβαβαβ--=

+⇒（（（tantantan1tantanαβαβαβ-=-+

;⑹（tantantan1tantanαβαβαβ

++=

-⇒（（（tantantan1tantanαβαβαβ+=+-.

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴sin22sincosααα=.2

22cos（sincossin2cossin2sin1ααααααα±=±+=±⇒

⑵2222

cos2cossin2cos112sinααααα=-=-=-

⇒升幂公式2

sin

2cos1,2

cos2cos12

2

α

αα

α=-=+⇒降幂公式2

cos21

cos2

αα+=

21cos2sin2

α

α-=

.

⑶2

2tantan21tanααα

=

-.

26、

⇒（后两个不用判断符号,更加好用

27、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的BxAy++=sin（ϕϖ形式。

（sincosαααϕA+B=

+,其中tanϕB=

A

.

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:

（1角的变换:

在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,

倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:

①α2是α的二倍;α4是α2的二倍;α是

2

α

的二倍;2

α

是

4

α

的二倍;

②2

3045

60

30

4515

o

o

o

o

oo

=-=-=;问:

=12

sinπ

=12

cosπ

③ββαα-+=（;④

4

（

2

4

απ

π

απ

--=

+;

⑤4

（

4

（

（（2απ

απ

βαβαα--+=-++=;等等

（2函数名称变换:

三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。

（3常数代换:

在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的

代换变形有:

o

o

45tan90

sincottancossin12

2

===+=αααα

（4幂的变换:

降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。

常用

降幂公式有:

;。

降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式

αcos+常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:

;

（5公式变形:

三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。

如:

_______________tan1tan1=-+αα;______________tan1tan1=+-α

α

;____________

tantan=+βα;___________

tantan1=-βα;

ααααααα

半角公式cos1cos12tan2cos12sin;2cos12cos:

+-±=-±=+±=2

tan

12

tan

1

cos;2tan12tan

2

sin:

22

2αα

ααα

α万能公式+-=+=

____________tantan=-βα;___________tantan1=+βα;

=αtan2;=-α2tan1;

=++o

oo

o

40

tan20tan340

tan20

tan

=+ααcossin=;

=+ααcossinba=;（其中

=ϕtan=+αcos1=-αcos1;

（6三角函数式的化简运算通常从:

“角、名、形、幂”四方面入手;

基本规则是:

见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值

与特殊角的三角函数互化。

如:

=+

10tan31（50sino

o

=-ααcottan。