完整版解决平面向量数量积问题的几种常见方法.docx
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完整版解决平面向量数量积问题的几种常见方法
解决平面向量数量积问题
平面向量的数量积是向量的一种重要运算,也是高中数学的一个重要概念,在数学、
物理等学科中应用十分广泛.在高考试卷中备受青睐,命题方式灵活多样,试题内容活泼、新颖,是一个稳定的高频考点•解决这类问题有三种基本方法:
投影法、基底法和坐标
法•“三法”的准确定位应是并举!
即不应人为地、凭主观划分它们的优劣,而应具体问题具体分析.
-——>>
[典例]已知在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=.7,其外接圆的圆心为0,则AO-BC
如图,作0D丄BC,垂足为D,则D是线段BC的中点.
作AE丄BC,垂足为E.
则——在——?
的方向上的投影为
>>>
|A0|•s〈AO,BC〉=|ED——>|,
所以AO-BC=|AO||-BC|•s〈AO,BC〉=|ED>||-BC|.
在厶ABC中,AB=4,AC=6,BC=,7,
AB+BC2—AC2__13
2ABBC=—8’7.
3所以cos/ABE=cos(—/ABC)=,
8#7
13
所以BE=ABcos/ABE=
所以|ED一匸BE+BD=21”.
因为|1BC|=7,
所以―O•BC=|ED―>|pB(?
|=10.
法二:
基底法
在厶ABC中,AB=4,AC=6,BC=7,
=—4pX-聶+2x(诉)2=10.
法三:
坐标法
如图,作OD丄BC,垂足为D,则D是线段BC的中点.
以D为坐标原点,BC,DO分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
在厶ABC中,AB=4,AC=6,BC=,7,
由余弦定理,得cos/ACB=AClBCB-AB2=9.
2ACBC4寸7
作AE丄BC,垂足为E.
答案:
10
取得最大值为13,因此乔IBP的取值范围是[1,13].
2.已知四边形
ABCD的对角线相交于一点,AC=(1,3),BD=(3,1),则AB6D
的取值范围是(
)
A.(0,2)
B.(0,4]
C.[-2,0)
D.[-4,0)
解析:
选C
CC
由已知得,|AC|=|BD|=2,AC丄BD.
法一(基底法):
设四边形ABCD的对角线相交于一点0,设OA=x,OB=y,
则0C=2-x,0D=2-y,且0 所以0A一一2-y°D. 若以6(C,COD为基底. 则616[)=(OB-<5A)(-6[)-"00)=-2^OD+2--Xoc(~0d- —%-盘60-6D=-孟®|2-盘&|2=(y-1)2+(x-1)2-2.又0W(x-1)2<1,0W(y-1)2<1, 所以一2W―06[°<0. 法二(坐标法): 设四边形ABCD的对角线相交于一点 原点,0C,0D分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设 =b,贝U0C=2-a,0D=2-b,且0 则A(-a,0),B(0,-b),C(2-a,0), D(0,2-b), 所以60°=(a,-b),60=(a-2,2-b). 所以60CD=a(a-2)+(-b)(2-b)=(a-1)2+(b-1)2-2. 又0w(a-1)2<1,0w(b-1)2<1, DD 所以一2WABCD<0. [升级增分训练] 一、选择题 1.(2017日照一模)如图,在△ABC中,AB=BC=4,/ABC=30°AD是BC边上的 高,则606°=() B.4 解析: 选B因为AB=BC=4,/ABC=30°AD是 BC边上的高,所以AD=2,所 >>>>tttttt 以AD-AC=AD(AB+BC)=AD-AB+AD-BC=AD ——>1 AB=2X4X2=4. 2.(2018郑州质检)已知P是边长为2的正三角形ABC >> 的边BC上的动点,则AP(AB T +AC)() A.有最大值 B.是定值6 C•有最小值 D.与P点的位置有关 解析: 选B >>>>>>> 设AB=a,AC=b,BP=tBC,aBC=AC—AB=b-a,a2=b2=4, >>>>> ab=2X2Xcos60o=2,aAP=AB+BP=a+t(b—a)=(1—t)a+tb,AB+AC=a+b, A(TBB+^AC)=[(1—t)a+tb](a+b)=(1—t)a2+[(1—t)+t]ab+tb2=(1—t)X4+2+ tX4=6. 3•如图,菱形ABCD的边长为2,/BAD=60°M为DC的中点,若N为菱形内任意 一点(含边界),则AMT 解析: 选d由平面向量数量积的几何意义知,amT-atN等于-/与入亍在AiN方向上 TTTT1TTTT1t 的投影之积,所以(AM-an)max=AM-AC=2AB+AD(AB+AD)=AB T3 I2+AD2+: >> AB-AD=9. 4.(2018宝鸡质检)在等腰直角△ABC中,/ABC=90°AB=BC=2,M, N(不与A, C重合)为AC边上的两个动点,且满足|為|=.2,则BMT晶的取值范围为( B.多,2 C.1,2 D.|,+^ 解析: 选C以等腰直角三角形的直角边BC为x轴,BA为y轴,建立平面直角坐标 系,如图,则B(0,0),直线AC的方程为x+y=2. >>>> 设M(a,2—a),则0 1>>3
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