必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第3讲集合间的关基本系含答案.docx
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必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第3讲集合间的关基本系含答案
1.2集合间的基本关系
第3讲集合间的基本关系
知识点梳理讲解:
【知识梳理】
知识点一 子集
子集的概念
定义
一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集
记法与读法
记作A⊆B(或B⊇A),读作“A含于B”(或“B包含A”)
图示
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.
(2)对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C
【要点讲解】
(1)集合A是集合B的子集的含义是:
集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{-1,0,1},则0∈{0,1},0∈{-1,0,1}.
(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么集合A不包含于B,或B不包含A,此时记作A
B或B
A.
(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别:
“⊆”只用于集合与集合之间,如{0}⊆N,而不能写成{0}∈N;“∈”只能用于元素与集合之间,如0∈N,而不能写成0⊆N.
知识点二 集合相等的概念
集合相等的概念:
如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且集合B是集合A的子集(B⊆A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.
【要点讲解】
(1)若A⊆B,且B⊆A,则A=B;反之,如果A=B,则A⊆B,且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法,即欲证A=B,只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可.
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关.
知识点二 真子集
真子集的概念
定义
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的真子集
记法
记作
图示
结论
(1)A⊆B且B≠C,则A
C;
(2)A⊆B且A≠B,则A
B
【要点讲解】
(1)在真子集的定义中,AB首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.
(2)若A不是B的子集,则A一定不是B的真子集.
知识点三 空集
空集的概念
定义
我们把不含任何元素的集合,叫做空集
记法
∅
规定
空集是任何集合的子集,即∅⊆A
特性
(1)空集只有一个子集,即它的本身,∅⊆∅
(2)A≠∅,则∅
A
【要点讲解】
∅与{0}的区别
(1)∅是不含任何元素的集合;
(2){0}是含有一个元素0的集合,∅
{0}.
知识点四 Venn图
一般地,用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.
A⊆B⊆C表示为:
【知识精讲】
类型一 求集合的子集
例1
(1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集;
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素,则它有多少个子集?
多少个真子集?
验证你的结论.
解
(1)∅,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}.
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素,则它有2n个子集,2n-1个真子集.如∅,有20即一个子集,20-1即0个真子集.
【变式训练】
1、 适合条件{1}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A.15B.16C.31D.32
答案 A
解析 集合A中必有元素1,其余元素从
中取,但A≠
.这样的集合A有{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},共15个,等于
真子集的个数24-1.
【方法技巧总结】
为了罗列时不重不漏,要讲究列举顺序,这个顺序有点类似于从1到100数数:
先是一位数,然后是两位数,在两位数中,先数首位是1的等等.
类型二 判断集合间的关系
题型1 概念间的包含关系
例2 设集合M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为( )
A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆P
C.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P
答案 B
解析 正方形都是菱形,菱形都是平行四边形,平行四边形都是四边形,故选B.
【变式训练】
1、我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N,Z,Q,R表示,用符号表示N,Z,Q,R的关系为________.
答案 N⊆Z⊆Q⊆R
题型2 数集间的包含关系
例3 设集合A={0,1},集合B={x|x<2或x>3},则A与B的关系为( )
A.A∈BB.B∈AC.A⊆BD.B⊆A
答案 C
解析 ∵0<2,∴0∈B.
又∵1<2,∴1∈B.
∴A⊆B.
【变式训练】
1 已知集合A={x|-1 A.A∈BB.A BC.B AD.B⊆A 答案 B 解析 由数轴易知A中元素都属于B,B中至少有一个元素如-2∉A,故有AB. 2下列各式中,正确的个数是( ) ①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}⊆{2,1,0};③∅⊆{0,1,2};④∅={0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 选B 对于①,是集合与集合的关系,应为{0}{0,1,2};对于②,实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集;对于③,空集是任何集合的子集;对于④,{0}是含有单元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以∅{0};对于⑤,{0,1}是含有两个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相等;对于⑥,0与{0}是“属于与否”的关系,所以0∈{0}.故②③是正确的. 3、指出下列各组集合之间的关系: ①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; ②A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; ③M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. ①集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. ②等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⊆B. ③法一: 两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N⊆M. 法二: 由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N⊆M. 4、已知集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},则M与P的关系为( ) A.M=PB.M⊆P C.P⊆MD.M⊆P 【解析】 选D ①对于任意x∈M,x=1+a2=(a+2)2-4(a+2)+5, ∵a∈N*,∴a+2∈N*, ∴x∈P,由子集定义知M⊆P. ②∵1∈P,此时a2-4a+5=1,即a=2∈N*,而1∉M, ∴1+a2=1在a∈N*时无解. 综合①②知,M⊆P. 【方法技巧总结】 判断集合关系的方法 (1)观察法: 一一列举观察. (2)元素特征法: 首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法: 利用数轴、坐标系、Venn图表示集合,再直观判断两集合的关系. 类型三有限集合子集的确定 例4 (1)已知集合A={x|0≤x<3且x∈N},则A的真子集的个数是( ) A.16B.8 C.7D.4 (2)满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个. 【解析】 (1)∵A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},∴集合A的真子集的个数为23-1=7. (2)由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素1,2,且含有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M的元素个数分类如下: 含有三个元素: {1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}; 含有四个元素: {1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}; 含有五个元素: {1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合M共有7个. 【答案】 (1)C (2)7 【变式训练】 已知集合A⊆{x∈N|-1<x<3},且A中至少有一个元素为奇数,则这样的集合A共有多少个? 并用恰当的方法表示这些集合. 解: 这样的集合共有3个. ∵{x∈N|-1<x<3}={0,1,2},A⊆{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数, ∴当A中含有1个元素时,A可以为{1};当A中含有2个元素时,A可以为{0,1},{1,2}. 【方法技巧总结】 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集. (2)含n个元素的集合有(2n-1)个真子集. (3)含n个元素的集合有(2n-1)个非空子集. (4)含有n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集. (5)若集合A有n(n≥1)个元素,集合C有m(m≥1)个元素,且A⊆B⊆C,则符合条件的集合B有 个. 类型四 由集合间的关系求参数(或参数范围) 例5 已知集合A={x|x2-x=0},B={x|ax=1},且A⊇B,求实数a的值. 解 A={x|x2-x=0}={0,1}. (1)当a=0时,B=∅⊆A,符合题意. (2)当a≠0时,B={x|ax=1}= , ∵ ≠0,要使A⊇B,只有 =1,即a=1. 综上,a=0或a=1. 【变式训练】
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- 关 键 词:
- 必修 一册 第一章 集合 常用 逻辑 用语 基本 答案