《角平分线的性质》 第1课时 教案 探究版.docx
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《角平分线的性质》第1课时教案探究版
《角平分线的性质》(第1课时)教案探究版
教学目标
知识与技能
(1)掌握作已知角的平分线的尺规作图方法.
(2)掌握角的平分线的性质和判定,能灵活运用角的平分线的性质和判定解题.
过程与方法
让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.
情感、态度
通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.
教学重点
(1)利用尺规作图作已知角的平分线.
(2)角的平分线的性质和判定,能灵活运用角的平分线的性质和判定解题.
教学难点
(1)根据角的平分仪器提炼出角的尺规画法.
(2)灵活运用角的平分线的性质和判定解题.
教学策略:
鼓励学生自主学习、积极探究、合作交流思考.还有注意引导学生加强对解题思路的分析、解题思想方法的概括和及时的归纳总结.
教具准备:
多媒体课件、圆规和直尺.
教学过程设计
一、问题导入
师:
请学生动手,思考:
(1)不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法?
生:
可用量角器,也可以用对折角的方法.
师:
(2)如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,对折的方法就不行了,那还有别的方法适合吗?
设计意图:
通过激趣设疑、联旧带新,激发学生的学习兴趣,培养学生运用数学知识解决实际问题的意识,同时为更高层次的知识建构提供了理想途径.
二、探究新知
角的平分线的画法
师:
教师演示角平分仪,引导学生思考回答.
1.如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将A点放在角的顶点处,AB和AD沿角的两边放下,过AC画一条射线AE,AE即为∠BAD的平分线.你能说明它的道理吗?
学生思考,并请一位同学回答,教师出示多媒体,演示正确结果.
证明:
在△ACD和△ACB中,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC=∠DAC(全等三角形的对应角相等).
∴AC平分∠BAD(角平分线的定义),即AE为∠BAD的平分线.
师:
总结,升华
2.这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法.
已知:
∠AOB.
求作:
∠AOB的平分线.
作法:
(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.
(2)分别以点M,N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所求.
师:
思考:
为什么要以大于
MN的长为半径画弧?
生:
因为以小于或等于
MN的长为半径画弧时不能形成交点.
思考总结:
角的平分线的性质
生:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
3.如图,任意作一个∠AOB,作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你得到什么结论?
在OC上再取几个点试一试.
发现PD都等于PE.
通过以上测量,你发现了角的平分线的什么性质?
学生猜想:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
教师及时再利用几何画板演示,验证结论.
4.下面我们利用三角形全等证明这个性质.为了更直观、清楚地表达题意,我们通常在证明之前画出图形,并用符号表示已知和求证.
如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证PD=PE.
证明:
因为PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中,
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
总结归纳:
一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即:
(1)明确命题中的已知和求证;
(2)根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证;
(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言:
如图:
∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
角的平分线的判定
5.我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?
下面我们利用三角形全等证明求证一下.
已知:
如图,PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E为垂足,PD=PE.
求证:
点P在∠AOB的平分线上.
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).
在Rt△PDO和Rt△PEO中,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
∴∠POD=∠POE.
∴点P在∠AOB的平分线上.
结论:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
用数学语言表示:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上.
三、典例精讲
例.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.
解:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,
∴AD平分∠BAC(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC=60°,
∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10,
∴DE=
AD=
×10=5(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
四、课堂练习
1.仔细阅读下面作角的平分线的方法:
已知∠AOB,求作:
∠AOB的平分线.
作法:
(1)以O为圆心,以适当长为半径作弧,交OA于E,交OB于F.
(2)连接EF,并取EF的中点P.
(3)作射线OP.射线OP即为所求.
这个有没有道理呢?
你说说这条射线OP能平分∠AOB吗?
2.如图,填空.
(1)∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴___________
(________________________________________).
(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,
∴__________
(________________________________________________).
设计意图:
通过不同的做辅助线的方法,从不同角度帮助学生理解角平分线的性质,通过在各种复杂图形中对角平分线性质与判定的认识,强化训练,培养学生熟练应用知识解决问题的能力.
3.如图,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1﹕20000)?
设计意图:
经历实践→猜想→证明→归纳的过程,符合学生的认知规律,尤其是对于结论的验证,信息技术在此体现了它的不可替代性,特别是对于那些抽象思维能力弱的学生有了很好的帮助.
4.已知:
如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:
EB=FC.
5.已知,如图△ABC中,∠ACB的平分线交AB于E,∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG,EG∥BC交AC于F,EF会与FG相等吗?
为什么?
设计意图:
及时巩固所学知识,了解学生的学习效果,增强学生灵活运用知识的能力.
答案:
1.这种作角平分线的方法是有道理的.
理由:
由作图可知,OE=OF,点P是EF的中点,所以PE=PF.OP是这两个三角形的公用边,根据“SSS”,△EOP≌△FOP.所以,∠AOP=∠BOP.
2.
(1)DC=DE,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
(2)∠1=∠2,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
3.解:
如图,OA表示公路,OB表示铁路.
(1)作∠AOB的平分线OP;
(2)在射线OP上截取OC=2.5cm,即集贸市场应建于点C处.
4.证明:
∵AD是△ABC的角平分线,且DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∵BD=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴EB=FC.
5.证明:
∵EC为∠ACB的平分线,
∴∠BCE=∠ACE.
∵CG为∠ACD的平分线,
∴∠DCG=∠FCG.
∵EG∥BC,
∴∠FEC=∠BCE,∠FGC=∠GCD,
从而∠ACE=∠FEC,∠FGC=∠FCG,
∴EF=FC,FC=FG,从而EF=FG.
五、课堂小结
1.角的平分线的性质
(1)应用角的平分线的性质的前提条件是图中有角平分线、有垂直.
(2)用角的平分线的性质证明线段相等,可以直接得出结论,不需再用证明三角形全等来完成.
(3)运用角的平分线时常添加的辅助线:
由角的平分线上的已知点向两边作垂线段,利用其相等来推导其他结论.
2.角的平分线的判定
(1)角的平分线的判定的主要作用是证明一个点在某个角的平分线上或两个角相等.它与角的平分线的性质恰好是条件和结论的交换,在运用时不要混淆.
(2)角的平分线可以看作是由角的内部到角的两边距离相等的所有点组成的射线.
(3)利用判定定理时,一般过点P作两边的垂线,即添加辅助线,是解决此类问题的基本方法.
(4)三角形的三条角平分线相交于一点,这一点到三边的距离相等.
设计意图:
通过小结,引导学生剖析应用角平分线性质必须具备的条件,以及应用角平分线时常作辅助线的方法;以便学生从更深层次理解性质,熟练应用性质解决问题.通过对比性质与判定,使学生区分开二者的区别,避免混淆.
六、布置作业
1.如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则下列五个结论:
(1)AD上任意一点到AB,AC两边的距离相等;
(2)AD上任意一点到B,C两点的距离相等;(3)AD⊥BC,且BD=CD;(4)∠BDE=∠CDF;(5)AE=AF.其中,正确的有().
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.如图,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在().
A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三条角平分线的交点
3.如图,已知△ABC,求作一点P,使P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB.下列确定P点的方法正确的是().
A.P为∠A,∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AC,AB两边上的高的交点
D.P为AC,AB两边的垂直平分线的交点
4.在△ABC中,AB=20,BC=30,AC=40,点O是三条角平分线的交点,则△AOB,△BOC,△AOC面积的比为().
A.1∶1∶1B.1∶2∶3
C.3∶4∶5D.2∶3∶4
5.如图,在三角形ABC中,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,AB=36cm,BC=24cm,S△ABC=144cm2,则DE=___________.
6.如图,把Rt△ABC(∠C=90°)折叠,使A、B两点重合,得到折痕ED,再沿BE折叠,C点恰好与D点重合,则∠A等于_______度.
7.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DF⊥AC于F,DE⊥AB于E,且BE=CF.求证:
AD平分∠BAC.
答案:
1.D.2.D.3.B.4.D.
5.4.8cm.
6.30.
7.证明:
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
∵DF⊥AC于F,DE⊥AB于E,
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上.
∴AD平分∠BAC.
七、课堂检测设计
1.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是().
A.4B.3C.6D.5
2.下面的结论中,错误的是().
A.到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上
B.一条直线上有一点到已知角两边的距离相等,则这条直线平分已知角
C.在角的内部,到角两边距离相等的某点与角的顶点的连线平分已知角
D.角内有两点各自到角两边的距离相等,经过这两点的直线平分这个角
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D,且BD∶CD=3∶2,则点D到线段AB的距离为________.
4.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=7cm,AC=4cm,则S△ABD∶S△ACD=______.
5.如图所示,已知AB=AC,BD=CD,DE⊥AB交AB的延长线于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.
求证:
DE=DF.
6.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:
点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
答案:
1.B.
2.B.解析:
某点到角两边的距离相等,只能说明该点在角的平分线上,而过该点的直线有无数条,要确定角的平分线还需要一个点.
3.4.
4.解析:
作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF.
∵S△ABD=
·AB·DE,S△ACD=
AC·DF,
∴S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=7∶4.
答案:
7∶4
5.证明:
连接AD,在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠BAD=∠CAD,
即AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等).
6.证明:
过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足分别为D,E,F.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
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