离散数学课后习题答案左孝凌版 2.docx

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离散数学课后习题答案左孝凌版2

-1，1-2

（1）解：

a）是命题，真值为T。

b）不是命题。

c）是命题，真值要根据具体情况确定。

d）不是命题。

e）是命题，真值为T。

f）是命题，真值为T。

g）是命题，真值为F。

h）不是命题。

i）不是命题。

（2）解：

原子命题：

我爱北京天安门。

复合命题：

如果不是练健美操，我就出外旅游拉。

（3）解：

a）（┓P∧R）→Q

b）Q→R

c）┓P

d）P→┓Q

（4）解：

a）设Q:

我将去参加舞会。

R:

我有时间。

P:

天下雨。

Q（R∧┓P）:

我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。

b）设R:

我在看电视。

Q:

我在吃苹果。

R∧Q:

我在看电视边吃苹果。

c）设Q:

一个数是奇数。

R:

一个数不能被2除。

（Q→R）∧（R→Q）:

一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。

（5）解：

a）设P：

王强身体很好。

Q：

王强成绩很好。

P∧Q

b）设P：

小李看书。

Q：

小李听音乐。

P∧Q

c）设P：

气候很好。

Q：

气候很热。

P∨Q

d）设P：

a和b是偶数。

Q：

a+b是偶数。

P→Q

e）设P：

四边形ABCD是平行四边形。

Q：

四边形ABCD的对边平行。

PQ

f）设P：

语法错误。

Q：

程序错误。

R：

停机。

（P∨Q）→R

（6）解：

a）P:

天气炎热。

Q:

正在下雨。

P∧Q

b）P:

天气炎热。

R:

湿度较低。

P∧R

c）R:

天正在下雨。

S:

湿度很高。

R∨S

d）A:

刘英上山。

B:

李进上山。

A∧B

e）M:

老王是革新者。

N:

小李是革新者。

M∨N

f）L:

你看电影。

M:

我看电影。

┓L→┓M

g）P:

我不看电视。

Q:

我不外出。

R:

我在睡觉。

P∧Q∧R

h）P:

控制台打字机作输入设备。

Q:

控制台打字机作输出设备。

P∧Q

1-3

（1）解：

a）不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）

b）是合式公式

c）不是合式公式（括弧不配对）

d）不是合式公式（R和S之间缺少联结词）

e）是合式公式。

（2）解：

a）A是合式公式，（A∨B）是合式公式，（A→（A∨B））是合式公式。

这个过程可以简记为：

A；（A∨B）；（A→（A∨B））

同理可记

b）A；┓A；（┓A∧B）；（（┓A∧B）∧A）

c）A；┓A；B；（┓A→B）；（B→A）；（（┓A→B）→（B→A））

d）A；B；（A→B）；（B→A）；（（A→B）∨（B→A））

（3）解：

a）（（（（A→C）→（（B∧C）→A））→（（B∧C）→A））→（A→C））

b）（（B→A）∨（A→B））。

（4）解：

a）是由c）式进行代换得到，在c）中用Q代换P,（P→P）代换Q.

d）是由a）式进行代换得到，在a）中用P→（Q→P）代换Q.

e）是由b）式进行代换得到，用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.

（5）解：

a）P:

你没有给我写信。

R:

信在途中丢失了。

PQ

b）P:

张三不去。

Q:

李四不去。

R:

他就去。

（P∧Q）→R

c）P:

我们能划船。

Q:

我们能跑步。

┓（P∧Q）

d）P:

你来了。

Q:

他唱歌。

R:

你伴奏。

P→（QR）

（6）解：

P:

它占据空间。

Q:

它有质量。

R:

它不断变化。

S:

它是物质。

这个人起初主张：

（P∧Q∧R）S

后来主张：

（P∧QS）∧（S→R）

这个人开头主张与后来主张的不同点在于：

后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。

（7）解：

a）P:

上午下雨。

Q:

我去看电影。

R:

我在家里读书。

S:

我在家里看报。

（┓P→Q）∧（P→（R∨S））

b）P:

我今天进城。

Q:

天下雨。

┓Q→P

c）P:

你走了。

Q:

我留下。

Q→P

1-4

 （4）解：

a）

P  Q  R

Q∧R

P∧（Q∧R）

P∧Q

（P∧Q）∧R

T  T  T

T  T  F

T  F  T

T  F  F

F  T  T

F  T  F

F  F  T

F  F  F

T

F

F

F

T

F

F

F

T

F

F

F

F

F

F

F

T

T

F

F

F

F

F

F

T

F

F

F

F

F

F

F

所以，P∧（Q∧R）（P∧Q）∧R

b）

 P  Q  R

    Q∨R

  P∨（Q∨R）

    P∨Q

 （P∨Q）∨R

 T  T  T

 T  T  F

 T  F  T

 T  F  F

 F  T  T

 F  T  F

 F  F  T

 F  F　F　

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｆ　

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｆ

　　　Ｆ

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｔ

　　　Ｆ

所以，P∨（Q∨R）（P∨Q）∨R　

ｃ）

Ｐ　Ｑ　Ｒ

Ｑ∨Ｒ

Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ）

Ｐ∧Ｑ

Ｐ∧Ｒ

（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）

Ｔ　Ｔ　Ｔ

Ｔ　Ｔ　Ｆ

Ｔ　Ｆ　Ｔ

Ｔ　Ｆ　Ｆ

Ｆ　Ｔ　Ｔ

Ｆ　Ｔ　Ｆ

Ｆ　Ｆ　Ｔ

Ｆ　Ｆ　Ｆ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｔ

Ｔ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

Ｆ

所以，P∧（Q∨R）（P∧Q）∨（P∧R）　

ｄ）

P    Q

┓P

┓Q

┓P∨┓Q

┓（P∧Q）

┓P∧┓Q

┓（P∨Q）

T    T

T    F

F    T

F    F

F

F

T

T

F

T

F

T

F

T

T

T

F

T

T

T

F

F

F

T

F

F

F

T

所以，┓（P∧Q）┓P∨┓Q, ┓（P∨Q）┓P∧┓Q

（5）解：

如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为

  P

  Q

  R

  F1

  F2

  F3

  F4

  F5

  F6

  T

  T

  T

  T

  F

  T

  T

  F

  F

  T

  T

  F

  F

  F

  T

  F

  F

  F

  T

  F

  T

  T

  F

  F

  T

  T

  F

  T

  F

  F

  F

  T

  F

  T

  T

  F

  F

  T

  T

  T

  F

  F

  T

  T

  F

  F

  T

  F

  T

  F

  F

  F

  T

  F

  F

  F

  T

  T

  F

  T

  T

  T

  F

  F

  F

  F

  F

  T

  F

  T

  T

  T

F1:

（Q→P）→R 

F2:

（P∧┓Q∧┓R）∨（┓P∧┓Q∧┓R）

F3:

（P←→Q）∧（Q∨R）

F4:

（┓P∨┓Q∨R）∧（P∨┓Q∨R）

F5:

（┓P∨┓Q∨R）∧（┓P∨┓Q∨┓R）

F6:

┓（P∨Q∨R）

（6）

 P

 Q

 1  

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10

 11

 12

 13

 14

 15

 16

 F

 F

 F

 T

 F

 T

 F

 T

 F

 T

 F

 T

 F

 T

 F

 T

 F

 T

 F

 T

 F

 F

 T

 T

 F

 F

 T

 T

 F

 F

 T

 T

 F

 F

 T

 T

 T

 F

 F

 F

 F

 F

 T

 T

 T

 T

 F

 F

 F

 F

 T

 T

 T

 T

 T

 T

 F

 F

 F

 F

 F

 F

 F

 F

 T

 T

 T

 T

 T

 T

 T

 T

解：

由上表可得有关公式为

1.F    2.┓（P∨Q）     3.┓（Q→P）      4.┓P

         5.┓（P→Q）  6.┓Q   7.┓（PQ）    8.┓（P∧Q）

         9.P∧Q    10.PQ    11.Q      12.P→Q

         13.P      14.Q→P     15.P∨Q       16.T

（7）证明：

a）A→（B→A）┐A∨（┐B∨A）

A∨（┐A∨┐B）

A∨（A→┐B）

┐A→（A→┐B）

b）┐（AB）┐（（A∧B）∨（┐A∧┐B））

┐（（A∧B）∨┐（A∨B））

（A∨B）∧┐（A∧B）

或┐（AB）┐（（A→B）∧（B→A））

┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））

┐（（┐A∧┐B）∨（┐A∧A）∨（B∧┐B）∨（B∧A））

┐（（┐A∧┐B）∨（B∧A））

┐（┐（A∨B））∨（A∧B）

（A∨B）∧┐（A∧B）

c）┐（A→B）┐（┐A∨B） A∧┐B 

d）┐（AB）┐（（A→B）∧（B→A））

┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））

（A∧┐B）∨（┐A∧B）

e）（（（A∧B∧C）→D）∧（C→（A∨B∨D）））

（┐（A∧B∧C）∨D）∧（┐C∨（A∨B∨D））

（┐（A∧B∧C）∨D）∧（┐（┐A∧┐B∧C）∨D）

（┐（A∧B∧C）∧┐（┐A∧┐B∧C））∨D

（（A∧B∧C）∨（┐A∧┐B∧C））→D

（（（A∧B）∨（┐A∧┐B））∧C）→D

（（C∧（AB））→D）

f）A→（B∨C）┐A∨（B∨C） 

 （┐A∨B）∨C  

 ┐（A∧┐B）∨C 

（A∧┐B）→C 

g）（A→D）∧（B→D）（┐A∨D）∧（┐B∨D）

（┐A∧┐B）∨D

┐（A∨B）∨D

（A∨B）→D

h）（（A∧B）→C）∧（B→（D∨C））

（┐（A∧B）∨C）∧（┐B∨（D∨C））

（┐（A∧B）∧（┐B∨D））∨C

（┐（A∧B）∧┐（┐D∧B））∨C

┐（（A∧B）∨（┐D∧B））∨C

（（A∨┐D）∧B）→C

（B∧（D→A））→C

（8）解：

a）（（A→B）（┐B→┐A））∧C

（（┐A∨B）（B∨┐A））∧C

（（┐A∨B）（┐A∨B））∧C

T∧C C

b）A∨（┐A∨（B∧┐B））（A∨┐A）∨（B∧┐B）T∨FT

c）（A∧B∧C）∨（┐A∧B∧C）

（A∨┐A）∧（B∧C）

T∧（B∧C）

B∧C

（9）解：

1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨CB∨C，但AB不成立。

     2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧CB∧C，但AB不成立。

      3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。

习题1-5

（1）证明：

a）（P∧（P→Q））→Q

 （P∧（┐P∨Q））→Q  

（P∧┐P）∨（P∧Q）→Q  

（P∧Q）→Q

┐（P∧Q）∨Q 

┐P∨┐Q∨Q 

┐P∨T

T

b）┐P→（P→Q） 

P∨（┐P∨Q）

（P∨┐P）∨Q 

T∨Q

T

c）（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）

因为（P→Q）∧（Q→R）（P→R）

所以 （P→Q）∧（Q→R）为重言式。

d）（（a∧b）∨（b∧c）∨（c∧a））（a∨b）∧（b∨c）∧（c∨a）

因为（（a∧b）∨（b∧c）∨（c∧a））

（（a∨c）∧b）∨（c∧a）

（（a∨c）∨（c∧a））∧（b∨（c∧a））

（a∨c）∧（b∨c）∧（b∨a）

所以（（a∧b）∨（b∧c）∨（c∧a））（a∨b）∧（b∨c）∧（c∨a）为重言式。

（2）证明：

a）（P→Q）P→（P∧Q）  

解法1：

设P→Q为T 

（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→（P∧Q）为T

（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→（P∧Q）为T

命题得证

解法2：

设P→（P∧Q）为F ，则P为T，（P∧Q）为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。

解法3：

（P→Q）→（P→（P∧Q））

┐（┐P∨Q）∨（┐P∨（P∧Q））

┐（┐P∨Q）∨（（┐P∨P）∧（┐P∨Q））

T

所以（P→Q）P→（P∧Q）

b）（P→Q）→QP∨Q

设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，

故P→Q为T，（P→Q）→Q为F，

所以（P→Q）→QP∨Q。

c）（Q→（P∧┐P））→（R→（R→（P∧┐P）））R→Q

设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F

所以Q→（P∧┐P）为T，R→（P∧┐P）为F

所以R→（R→（P∧┐P））为F，所以（Q→（P∧┐P））→（R→（R→（P∧┐P）））为F

即（Q→（P∧┐P））→（R→（R→（P∧┐P）））R→Q成立。

（3）解：

a）P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。

b）a）的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。

c）a）的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。

d）a）的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。

（4）解：

a）如果天下雨，我不去。

设P：

天下雨。

Q：

我不去。

P→Q

逆换式Q→P表示命题:

如果我不去，则天下雨。

逆反式┐Q→┐P表示命题:

如果我去，则天不下雨

b）仅当你走我将留下。

设S：

你走了。

R：

我将留下。

R→S

逆换式S→R表示命题：

如果你走了则我将留下。

逆反式┐S→┐R表示命题：

如果你不走，则我不留下。

c）如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。

设E：

我不能获得更多帮助。

H：

我不能完成这个任务。

E→H

逆换式H→E表示命题：

我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。

逆反式┐H→┐E表示命题：

我完成这个任务，则我能获得更多帮助

（5）试证明PQ，Q逻辑蕴含P。

证明：

解法1：

本题要求证明（PQ）∧QP,

设（PQ）∧Q为T，则（PQ）为T，Q为T，故由的定义，必有P为T。

所以（PQ）∧QP

解法2：

由体题可知，即证（（PQ）∧Q）→P是永真式。

 （（PQ）∧Q）→P

（（（P∧Q）∨（┐P∧┐Q））∧Q）→P

（┐（（P∧Q）∨（┐P∧┐Q））∨┐Q）∨P

（（（┐P∨┐Q）∧（P∨Q））∨┐Q）∨P

（（┐Q∨┐P∨┐Q）∧（┐Q∨P∨Q））∨P

（（┐Q∨┐P）∧T）∨P

┐Q∨┐P∨P

┐Q∨T

T

（6）解：

P：

我学习      Q：

我数学不及格      R：

我热衷于玩扑克。

如果我学习，那么我数学不会不及格：

  P→┐Q

如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习:

  ┐R→P

但我数学不及格:

                    Q

因此我热衷于玩扑克。

               R

即本题符号化为：

（P→┐Q）∧（┐R→P）∧QR

证：

证法1：

（（P→┐Q）∧（┐R→P）∧Q）→R

┐（（┐P∨┐Q）∧（R∨P）∧Q）∨R

（P∧Q）∨（┐R∧┐P）∨┐Q∨R

（（┐Q∨P）∧（┐Q∨Q））∨（（R∨┐R）∧（R∨┐P））

┐Q∨P∨R∨┐P

T　

所以，论证有效。

证法2：

设（P→┐Q）∧（┐R→P）∧Q为T，

则因Q为T，（P→┐Q）为T，可得P为F，

由（┐R→P）为T，得到R为T。

故本题论证有效。

（7）解：

P：

6是偶数    Q：

7被2除尽    R：

5是素数

如果6是偶数，则7被2除不尽      P→┐Q

或5不是素数，或7被2除尽         ┐R∨Q

5是素数                       R

所以6是奇数                    ┐P

即本题符号化为：

（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R┐P

证：

证法1：

（（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R）→┐P

┐（（┐P∨┐Q）∧（┐R∨Q）∧R）∨┐P

（（P∧Q）∨（R∧┐Q）∨┐R）∨┐P

（（┐P∨P）∧（┐P∨Q））∨（（┐R∨R）∧（┐R∨┐Q））

（┐P∨Q）∨（┐R∨┐Q）

T　

所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。

证法2：

（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R为T，

则有R为T，且┐R∨Q为T，故Q为T，

再由P→┐Q为T，得到┐P为T。

（8）证明：

a）P（┐P→Q） 

设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为T

b）┐A∧B∧CC

假定┐A∧B∧C为T，则C为T。

c）CA∨B∨┐B

因为A∨B∨┐B为永真，所以CA∨B∨┐B成立。

d）┐（A∧B）┐A∨┐B 

设┐（A∧B）为T，则A∧B为F。

若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。

若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。

若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。

命题得证。

e）┐A→（B∨C），D∨E，（D∨E）→┐AB∨C

设┐A→（B∨C），D∨E，（D∨E）→┐A为T，

则D∨E为T，（D∨E）→┐A为T，所以┐A为T

又┐A→（B∨C）为T，所以B∨C为T。

命题得证。

f）（A∧B）→C，┐D，┐C∨D┐A∨┐B

设（A∧B）→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F

又（A∧B）→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。

命题得证。

（9）解：

a）如果他有勇气，他将得胜。

P：

他有勇气         Q：

他将得胜

原命题：

P→Q        逆反式：

┐Q→┐P表示：

如果他失败了，说明他没勇气。

b）仅当他不累他将得胜。

P：

他不累          Q：

他得胜

原命题：

Q→P        逆反式：

┐P→┐Q表示：

如果他累，他将失败。

习题 1-6

（1）解：

a）（P∧Q）∧┐P（P∧┐P）∧Q┐（T∨Q）

b）（P→（Q∨┐R））∧┐P∧Q

（┐P∨（Q∨┐R））∧┐P∧Q

（┐P∧┓P∧Q）∨（Q∧┓P∧Q）∨（┓R∧┓P∧Q） 

（┓P∧Q）∨（┓P∧Q）∨（┓P∧┓R∧Q）

┓P∧Q

┐（P∨┐Q） 

c）┐P∧┐Q∧（┐R→P）

┐P∧┐Q∧（R∨P）

（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧┐Q∧P）

（┐P∧┐Q∧R）∨F

┐P∧┐Q∧R

┐（P∨Q∨┐R）

（2）解：

a）┐PP↓P

b）P∨Q┐（P↓Q）（P↓Q）↓（P↓Q）

c）P∧Q┐P↓┐Q（P↓P）↓（Q↓Q）

（3）解：

P→（┐P→Q） 

┐P∨（P∨Q）

T

┐P∨P 

（┐P↑┐P）↑（P↑P）

P↑（P↑P）

P→（┐P→Q） 

┐P∨（P∨Q）

T

┐P∨P 

┐（┐P↓P）

┐（（P↓P）↓P）

（（P↓P）↓P）↓（（P↓P）↓P）

（4）解：

 P↑Q

┐（┐P↓┐Q）

┐（（P↓P）↓（Q↓Q））

（（P↓P）↓（Q↓Q））↓（（P↓P）↓（Q↓Q））

（5）证明：

┐（B↑C）

┐（┐B∨┐C） 

┐B↓┐C

┐（B↓C）

┐（┐B∧┐C）

┐B↑┐C

（6）解：

联结词“↑”和“↓”不满足结合律。

举例如下：

a）给出一组指派：

P为T，Q为F，R为F，则（P↑Q）↑R为T，P↑（Q↑R）为F

故（P↑Q）↑RP↑（Q↑R）.

b）给出一组指派：

P为T，Q为F，R为F，则（P↓Q）↓R为T，P↓（Q↓R）为F

故（P↓Q）↓RP↓（Q↓R）.

（7）证明：

设变元P，Q，用连结词,┐作用于P，Q得到：

P，Q，┐P，┐Q，PQ，PP，QQ，QP。

但PQQP，PPQQ，故实际有：

P，Q，┐P，┐Q，PQ，PP（T）（A）

用┐作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：

P，Q，┐P，┐Q，┐（PQ），T，F，PQ（B）

用作用于（A）类，得到：

PQ，P┐PF，P┐Q┐（PQ），P（PQ）Q，P（PP）P，

Q┐P┐（PQ），Q┐QF，Q（PQ）P，QTQ,

┐P┐QPQ，┐P（PQ）┐Q，┐PT┐P,

┐Q（PQ）┐P，┐QT┐Q,

（PQ）（PQ）PQ.

因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。

对（B）类使用┐运算得：

┐P，┐Q，P，Q，PQ，F，T，

┐（PQ），

仍在（B）类中。

对（B）类使用运算得：

PQ，P┐PF，P┐Q┐（PQ），P┐（PQ）┐Q，PTP，PF┐P，P（PQ）Q，

Q┐P┐（PQ），Q┐QF，Q┐（PQ）┐P，QTQ,QF┐Q，Q（PQ）P，

┐P┐QPQ，┐P┐（PQ）Q，┐PT┐P,┐PFP,┐P（PQ）┐Q，

┐Q┐（PQ）P，┐QT┐Q,┐QT┐Q,┐Q（PQ）┐P，

┐（PQ）T┐（PQ），┐（PQ）FPQ，┐（PQ）（PQ）F

TFF，T（PQ）PQ

F（PQ）┐（PQ）

（PQ）（PQ）PQ.

故由（B）类使用运算后，结果仍在（B）中。

由上证明：

用,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故{,┐}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。

已证{,┐}不是最小联结词组，又因为PQ┐（PQ），故任何命题公式中的联结词，如仅用{,┐}表达，则必可用{,┐}表达，其逆亦真。

故{,┐}也必不是最小联结词组。

（8）证明{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词组。

证明：

若{∨}，{∧}和{→}是最小联结词，则

     ┐P（P∨P∨……）

     ┐P（P∧P∧……）

     ┐PP→（P→（P→……）

对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。

所以{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词。

（9）证明{┐,→}和{┐,}是最小联结词组。

证明：

因为{┐,∨}为最小联结词组，且P∨Q┐P→Q

所以{┐,→}是功能完备的