中考专题复习等腰三角形.docx
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中考专题复习等腰三角形
等腰三角形
一、选择题
1.(2011浙江省舟山,7,3分)如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为( )
(A)(B)(C)(D)
(第7题)
【答案】B
2.(2011四川南充市,10,3分)如图,⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:
①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是()
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
【答案】D
3.(2011浙江义乌,10,3分)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,
四边形ACDE是平行四边形,连结CE交AD于点F,连结BD交
CE于点G,连结BE.下列结论中:
①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;
③∠ADB=∠AEB;④CD·AE=EF·CG;
一定正确的结论有
G
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
4.(2011台湾全区,30)如图(十三),ΔABC中,以B为圆心,长为半径画弧,分别交、
于D、E两点,并连接、.若∠A=30∘,=,则∠BDE的度数为何?
A.45B.52.5C.67.5D.75
【答案】C
5.(2011台湾全区,34)如图(十六),有两全等的正三角形ABC、DEF,且D、A分别为△ABC、△DEF
的重心.固定D点,将△DEF逆时针旋转,使得A落在上,如图(十七)所示.求图(十六)与图(十
七)中,两个三角形重迭区域的面积比为何?
A.2:
1B.3:
2C.4:
3D.5:
4
【答案】C
6.(2011山东济宁,3,3分)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm,那么此三角形的周长是
A.15cmB.16cm
C.17cmD.16cm或17cm
【答案】D
7.(2011四川凉山州,8,4分)如图,在中,,,点为的中点,,垂足为点,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
8.
二、填空题
1.(2011山东滨州,15,4分)边长为6cm的等边三角形中,其一边上高的长度为________.
【答案】cm
2.(2011山东烟台,14,4分)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为.
【答案】4或6
3.(2011浙江杭州,16,4)在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,过点C作直线l∥AB,F是l上的一点,且AB=AF,则点F到直线BC的距离为.
【答案】
4.(2011浙江台州,14,5分)已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点Bˊ处,DBˊ,
EBˊ分别交边AC于点F,G,若∠ADF=80º,则∠EGC的度数为
【答案】80º
5.(2011浙江省嘉兴,14,5分)如图,在△ABC中,AB=AC,,则△ABC的外角∠BCD= °.
(第14题)
【答案】110
6.(2011湖南邵阳,11,3分)如图(四)所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=_______。
【答案】80°。
提示:
∠A=180°-2×50°=80°。
7.(2011山东济宁,15,3分)如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两个动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则.
D
【答案】
8.(2011湖南怀化,13,3分)如图6,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的角平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=__________________.
【答案】4
9.(2011四川乐山16,3分)如图,已知∠AOB=,在射线OA、OB上分别取点OA=OB,连结AB,在BA、BB上分别取点A、B,使BB=BA,连结AB…按此规律上去,记∠ABB=,∠,…,∠
则⑴=;⑵=。
【答案】⑴⑵
10.(2011湖南邵阳,11,3分)如图(四)所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=_______。
【答案】80°。
11.(2011贵州贵阳,15,4分)如图,已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推直到第五个等腰Rt△AFG,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______.
(第15题图)
【答案】
12.(2011广东茂名,14,3分)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=度.
【答案】15
三、解答题
1.(2011广东东莞,21,9分)如图
(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,将△EFD绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点,如图
(2).
(1)问:
始终与△AGC相似的三角形有及;
(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由);
(3)问:
当x为何值时,△AGH是等腰三角形?
【解】
(1)△HGA及△HAB;
(2)由
(1)可知△AGC∽△HAB
∴,即,
所以,
(3)当CG<时,∠GAC=∠H<∠HAC,∴AC<CH
∵AG<AC,∴AG<GH
又AH>AG,AH>GH
此时,△AGH不可能是等腰三角形;
当CG=时,G为BC的中点,H与C重合,△AGH是等腰三角形;
此时,GC=,即x=
当CG>时,由
(1)可知△AGC∽△HGA
所以,若△AGH必是等腰三角形,只可能存在AG=AH
若AG=AH,则AC=CG,此时x=9
综上,当x=9或时,△AGH是等腰三角形.
2.(2011山东德州19,8分)如图AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.
(1)求证AD=AE;
(2)连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由.
O
【答案】
O
(1)证明:
在△ACD与△ABE中,
∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,
∴△ACD≌△ABE.……………………3分
∴AD=AE.……………………4分
(2)互相垂直……………………5分
在Rt△ADO与△AEO中,
∵OA=OA,AD=AE,
∴△ADO≌△AEO.……………………………………6分
∴∠DAO=∠EAO.
即OA是∠BAC的平分线.………………………………………7分
又∵AB=AC,
∴OA⊥BC.………………………………………8分
3.(2011山东日照,23,10分)如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:
DE平分∠BDC;
(2)若点M在DE上,且DC=DM,
求证:
ME=BD.
【答案】
(1)在等腰直角△ABC中,
∵∠CAD=∠CBD=15o,
∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o,
∴BD=AD,∴△BDC≌△ADC,
∴∠DCA=∠DCB=45o.
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o,
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o,
∴∠BDM=∠EDC,
∴DE平分∠BDC;
(2)如图,连接MC,
∵DC=DM,且∠MDC=60°,
∴△MDC是等边三角形,即CM=CD.
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°,
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°,
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA,
∴∠DAC=∠CEM=15°,∴△ADC≌△EMC,∴ME=AD=DB.
4.(2011湖北鄂州,18,7分)如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.
C
【答案】连结BD,证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD,求得EF=5
5.(2011浙江衢州,23,10分)是一张等腰直角三角形纸板,.
要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?
请说明理由.
(第23题图1)
图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得的正方形面积为;按照甲种剪法,在余下的中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为(如图2),则;再在余下的四个三角形中,用同样的方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形的面积和为(如图3);继续操作下去…则第10次剪取时,.
求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积和.
【答案】
(1)解法1:
如图甲,由题意得.如图乙,设,则由题意,得
又
甲种剪法所得的正方形的面积更大
说明:
图甲可另解为:
由题意得点D、E、F分别为的中点,
解法2:
如图甲,由题意得
如图乙,设
甲种剪法所得的正方形的面积更大
(2)
(3)
(3)解法1:
探索规律可知:
‘
剩余三角形的面积和为:
解法2:
由题意可知,
第一次剪取后剩余三角形面积和为
第二次剪取后剩余三角形面积和为
第三次剪取后剩余三角形面积和为
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为
6.(2011浙江绍兴,23,12分)数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点为的中点时,如图1,确定线段与的大小关系,请你直接写出结论:
(填“>”,“<”或“=”).
第25题图2
第25题图1
(2)特例启发,解答题目
解:
题目中,与的大小关系是:
(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如图2,过点作,交于点.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形中,点在直线上,点在直线上,且.若的边长为1,,求的长(请你直接写出结果).
【答案】
(1)=.
(2)=.
方法一:
如图,等边三角形中,
是等边三角形,
又
.
方法二:
在等边三角形中,
而由是正三角形可得
(3)1或3.
7.(2011浙江台州,23,12分)如图1,过△ABC的顶点A分别做对边BC上的高AD和中线AE,点D是垂足,点E是BC中点,规定。
特别的,当点D重合时,规定。
另外。
对、作类似的规定。
(1)如图2,已知在Rt△ABC中,∠A=30º,求、;
(2)在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上,画一个△ABC,使其顶点在格点(格点即每个小正方形的顶点)上,且,面积也为2;
(3)判断下列三个命题的真假。
(真命题打√,假命题打×)
①若△ABC中,,则△ABC为锐角三角形;()
②若△ABC中,,则△ABC为直角三角形;()
③若△ABC中,,则△ABC为钝角三角形;()
【答案】解:
(1)如图,作CD⊥AB,垂足为D,作中线CE、AF。
∴=1
∵Rt△ABC中,∠CAB=30º,∴AE=C
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