初中七年级数学知识点总结.docx
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初中七年级数学知识点总结
初一数学知识点总结
(初一上学期)
一、代数初步知识
1、代数式:
用运算符号“+-×÷”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。
注意:
用字母表示数有一定的限制,首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式。
2、列代数式的几个注意事项:
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“·”乘,或省略不写。
(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“·”乘,也不能省略乘号。
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a。
(4)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成
的形式;
(5)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a。
3、几个重要的代数式:
(1)a与b的平方差是:
a2-b2;a与b差的平方是:
(a-b)2。
(2)若a、b、c是正整数,则两位整数是:
10a+b;则三位整数是:
100a+10b+c。
(3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是:
5m+n;偶数是:
2n,奇数是:
2n+1;三个连续整数是:
n-1、n、n+1。
(4)若b>0,则正数是:
a2+b,负数是:
-a2-b,非负数是:
b2,非正数是:
-b2。
二、有理数(自然数→整数→分数)
1、有理数:
(1)凡能写成
(a、b都是整数且a≠0)形式的数,都是有理数。
正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数。
(注意:
0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;p不是有理数)
(2)有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性。
(3)自然数是指0和正整数;a>0,则a是正数;a<0,则a是负数;a≥0 ,则a是正数或0(即a是非负数);a≤0,则a是负数或0(即a是非正数)。
2、数轴:
数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3、相反数:
(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0。
(2)注意:
a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;
(3)相反数的和为0时,则a+b=0;即a、b互为相反数。
4、绝对值:
(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数。
(注意:
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离)。
(2)绝对值可表示为|a|。
(3)|a|是重要的非负数,即|a|≥0。
(注意:
|a|²|b|=|a²b|)。
5、有理数比大小:
(1)正数的绝对值越大,这个数越大;
(2)正数永远比0大,负数永远比0小;
(3)正数大于一切负数;
(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;
(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;
(6)大数-小数 > 0,小数-大数< 0。
6、互为倒数:
乘积为1的两个数互为倒数。
(注意:
0没有倒数;若 a、b≠0,那么
的倒数是
;倒数是本身的数是±1;若ab=1,则a、b互为倒数;若ab=-1,则a、b互为负倒数。
7、有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
(3)一个数与0相加,仍得这个数。
8、有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:
a+b=b+a 。
(2)加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)。
9、有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b)。
10、有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘。
(2)任何数同零相乘都得零。
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定。
11、有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:
ab=ba。
(2)乘法的结合律:
(ab)c=a(bc)。
(3)乘法的分配律:
a(b+c)=ab+ac。
12、有理数除法法则:
除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(注意:
零不能做除数)
13、有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数。
注意:
当n为正奇数时:
(-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时:
(-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n 。
14、乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方。
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂。
(3)a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0 ,则a=0,b=0。
(4)底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位。
15、科学记数法:
把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法。
16、近似数的精确位:
一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位。
3.1415四舍五入变成3.142,那么说3.142这个近似数精确到千分之一位;31415四舍五入变成31420,那么说31420精确到十位。
17、有效数字:
从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字。
3.1415四舍五入变成3.142时,3.14是有效数字。
18、混合运算法则:
先乘方,后乘除,最后加减。
注意:
怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则。
19、特殊值法:
是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。
三、整式的加减
1、单项式:
在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。
或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。
2、单项式的系数与次数:
单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数。
3、多项式:
几个单项式的和叫多项式。
4、多项式的项数与次数:
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数。
注意:
(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式。
5、整式:
凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式。
6、同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。
7、合并同类项法则:
系数相加,字母与字母的指数不变。
8、去(添)括号法则:
去(添)括号时,若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号,括号里的各项都要变号。
9、整式的加减:
整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并。
10、多项式的升幂和降幂排列:
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列)。
注意:
多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列。
四、一元一次方程
1、等式与等量:
用“=”号连接而成的式子叫等式。
注意:
“等量就能代入”。
2、等式的性质:
等式性质1:
等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。
等式性质2:
等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式。
3、方程:
含未知数的等式,叫方程。
4、方程的解:
使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:
“方程的解就能代入”。
5、移项:
改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1。
6、一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。
7、一元一次方程的标准形式:
ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)。
8、一元一次方程的最简形式:
ax=b(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)。
9、一元一次方程解法的一般步骤:
整理方程 — 去分母 — 去括号 — 移项 — 合并同类项 — 系数化为1 —(检验方程的解)。
10.列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:
多用于“和,差,倍,分问题”。
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:
“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套等”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程。
(2)画图分析法:
多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础。
11、列方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题:
距离=速度×时间
(2)工程问题:
工作量=工效×工时
(3)比率问题:
部分=全体×比率
(4)顺逆流问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题:
售价=定价×折;利润=售价-成本;
(6)周长、面积、体积问题:
C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),
S长方形=ab,C正方形=4a,S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc ,V正方体=a3,V圆柱=πR2h ,V圆锥=
πR2h。
初一下学期
一、二元一次方程组
1、二元一次方程:
含有两个未知数,并且含未知数项的次数是1,这样的方程是二元一次方程。
(注意:
一般说二元一次方程有无数个解)
2、二元一次方程组:
两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解:
使二元一次方程组的两个方程,左右两边都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解。
注意:
一般说二元一次方程组只有唯一解(即公共解)。
4、二元一次方程组的解法:
(1)代入消元法
(2)加减消元法
(3)注意:
判断如何解简单是关键。
5、二元一次方程组的应用:
(1)对于一个应用题设出的未知数越多,列方程组可能容易一些,但解方程组可能比较麻烦,反之则“难列易解”。
(2)对于方程组,若方程个数与未知数个数相等时,一般可求出未知数的值。
(3)对于方程组,若方程个数比未知数个数少一个时,一般求不出未知数的值,但总可以求出任何两个未知数的关系。
二、一元一次不等式(组)
1、不等式:
用不等号“>”“<”“≤”“≥”“≠”,把两个代数式连接起来的式子叫不等式。
2、不等式的基本性质:
基本性质1:
不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
基本性质2:
不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
基本性质3:
不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变。
3、不等式的解集:
能使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解;不等式所有解的集合,叫做这个不等式的解集。
4、一元一次不等式:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于零的不等式,叫做一元一次不等式;它的标准形式是ax+b>0或ax+b<0 ,(a≠0)。
5、一元一次不等式的解法:
一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似,但一定要注意不等式性质3的应用。
(注意:
在数轴上表示不等式的解集时,要注意空圈和实点)
6、一元一次不等式组:
含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。
注意:
7、一元一次不等式组的解集与解法:
所有这些一元一次不等式解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集;解一元一次不等式时,应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴确定这个不等式组的解集。
8、一元一次不等式组的解集的四种类型:
9、几个重要的判断:
三、整式的乘除
1、同底数幂的乘法:
am×an=am+n,底数不变,指数相加。
2、幂的乘方与积的乘方:
(am)n=amn ,底数不变,指数相乘;
(ab)n=anbn,积的乘方等于各因式乘方的积。
3、单项式的乘法:
系数相乘,相同字母相乘,只在一个因式中含有的字母,连同指数写在积里。
4、单项式与多项式的乘法:
m(a+b+c)=ma+mb+mc ,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加(乘法的分配率)。
5、多项式的乘法:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ,先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
6、乘法公式:
(1)平方差公式:
(a+b)(a-b)= a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
(2)完全平方公式:
① (a+b)2=a2+2ab+b2, 两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的积的2倍。
② (a-b)2=a2-2ab+b2 , 两个数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的积的2倍。
③ (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc
7、配方:
(1)若二次三项式x2+px+q是完全平方式,则有关系式:
。
(2)二次三项式ax2+bx+c经过配方,总可以变为a(x-h)2+k的形式,利用a(x-h)2+k
①可以判断ax2+bx+c值的符号。
②当x=h时,可求出ax2+bx+c的最大(或最小)值k。
(3)注意:
。
[应用配方的方法,将x2看成a2,将
或写成(
)2看成b2,再配方。
]
8、同底数幂的除法:
am÷an=am-n ,底数不变,指数相减。
9、零指数与负指数公式:
(1)a0=1 (a≠0); a-n=
,(a≠0)。
注意:
00,0-2无意义。
(2)有了负指数,可用科学记数法记录小于1的数,例如:
0.0000201=2.01×10-5 。
10、单项式除以单项式:
系数相除,相同字母相除,只在被除式中含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式。
11、多项式除以单项式:
先用多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加。
12、多项式除以多项式:
先因式分解后约分或竖式相除;注意:
被除式-余式=除式×商式。
13、整式混合运算:
先乘方,后乘除,最后加减,有括号先算括号内。
四、线段、角、相交线与平行线
(一)几何A级概念:
(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
B
1、角平分线的定义:
一条射线把一个角分成两个相等的部分,这条射线叫角的平分线.
C
几何表达式举例:
A
O
(1) ∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
(2) ∵∠AOC=∠BOC
∴OC是∠AOB的平分线
2、线段中点的定义:
点C把线段AB分成两条相等的线段,点C叫线段中点.
C
B
A
几何表达式举例:
(1) ∵C是AB中点
∴ AC = BC
(2) ∵AC = BC
∴C是AB中点
3、等量公理:
(1)等量加等量和相等;
(2)等量减等量差相等; (3)等量的等倍量相等;(4)等量的等分量相等.
4、等量代换:
几何表达式举例:
∵a=c b=c ∴a=b
几何表达式举例:
∵a=c b=d 又∵c=d ∴a=b
几何表达式举例:
∵a=c+d b=c+d ∴a=b
5、补角重要性质:
同角或等角的补角相等.(如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角)
6、余角重要性质:
同角或等角的余角相等.(如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角。
)
7、对顶角性质定理:
对顶角相等.(我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角)
8、两条直线垂直的定义:
两条直线相交成四个角,有一个角是直角,这两条直线互相垂直.
9、三直线平行定理:
两条直线都和第三条直线平行,那么,这两条直线也平行.
10、平行线判定定理:
两条直线被第三条直线所截:
(1)若同位角相等,两条直线平行;
(2)若内错角相等,两条直线平行;
(3)若同旁内角互补,两条直线平行.
11、平行线性质定理:
(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等;
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
(二)几何B级概念:
(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
基本概念:
直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互为补角、互为余角、邻补角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位角、内错角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命题、假命题、定义、公理、定理、推论、证明。
定理:
1、直线公理:
过两点有且只有一条直线。
2、线段公理:
两点之间线段最短。
3、有关垂线的定理:
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短。
4、平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
公式:
直角=90°,平角=180°,周角=360°,1°=60′,1′=60″。
常识:
1、定义有双向性,定理没有。
2、直线不能延长;射线不能正向延长,但能反向延长;线段能双向延长。
3、命题可以写为“如果„„„那么„„„”的形式,“如果„„„”是命题的条件,“那么„„„” 是命题的结论。
4、几何画图要画一般图形,以免给题目附加没有的条件,造成误解。
5、数射线、线段、角的个数时,应该按顺序数,或分类数。
6、几何论证题可以运用“分析综合法”、“方程分析法”、“代入分析法”、“图形观察法”四种方法分析。
7、方向角:
东、西、南、北、东南、东北、西南、西北;北偏东、北偏西、南偏东、南偏西。
8、比例尺:
比例尺1:
m中,1表示图上距离,m表示实际距离,若图上1厘米,表示实际距离m厘米。
9、几何题的证明要用“论证法”,论证要求规范、严密、有依据;证明的依据是学过的定义、公理、定理和推论。
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