新教材高中数学必修一第一章 123 第1课时 充分条件必要条件.docx
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新教材高中数学必修一第一章123第1课时充分条件必要条件
1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件、必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件的定义.2.会判断充分条件、必要条件.3.会根据充分不必要条件、必要不充分条件求参数的取值范围.
知识点
1.充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
“若p,则q”是假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
思考
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同?
(2)以下五种表述形式:
①p⇒q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗?
答案
(1)相同,都是p⇒q.
(2)等价.
2.充分条件与必要条件的判断
3.充分条件、必要条件与集合的关系
A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}
A⊆B
p是q的充分条件
q是p的必要条件
A⊈B
p是q的不充分条件
q是p的不必要条件
B⊆A
q是p的充分条件
p是q的必要条件
B⊈A
q是p的不充分条件
p是q的不必要条件
思考
(1)“x<2”是“x<3”的________条件,“x<3”是“x<2”的________条件.
(2)若p是q的充分条件,这样的条件p唯一吗?
答案
(1)充分 必要.
(2)不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件,p也可以是“x>2”“x>3”或“2 1.“x=1”是(x-1)(x-2)=0的________条件(填“充分”“必要”). 答案 充分 2.设集合M={x|0 答案 必要 3.p: |x|=|y|,q: x=y,则p是q的________条件.(填“充分”“必要”) 答案 必要 解析 ∵x=y⇒|x|=|y|,即q⇒p, ∴p是q的必要条件. 4.下列说法不正确的是________.(填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件; ②“xy=0”是“x=0且y=0”的充分条件; ③“-2 答案 ② 解析 ②中由xy=0不能推出x=0且y=0,则②不正确;①③正确. 一、充分条件的判断 例1 下列命题中,p是q的充分条件的是________(填序号). ①p: (x-2)(x-3)=0,q: x-2=0; ②p: 两个三角形面积相等,q: 两个三角形全等; ③p: a>2且b>2,q: a+b>4,ab>4. 答案 ③ 解析 ①∵(x-2)(x-3)=0, ∴x=2或x=3,不能推出x-2=0. ∴p不是q的充分条件. ②∵两个三角形面积相等,不能推出两个三角形全等, ∴p不是q的充分条件. ③由a>2且b>2⇒a+b>4,ab>4, ∴p是q的充分条件. 反思感悟 充分条件的两种判定方法 (1)定义法: ①确定谁是条件,谁是结论; ②尝试从条件推结论,若由条件能推出结论,则条件是结论的充分条件,否则就不是充分条件. (2)命题判断法: ①如果命题: “若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件; ②如果命题: “若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件. 跟踪训练1 判断下列说法中,p是q的充分条件的是________.(填序号) ①p: “x=1”,q: “x2-2x+1=0”; ②设a,b是实数,p: “a+b>0”,q: “ab>0”; ③已知a,b为正实数,p: a>b>1,q: a2>b2>0. 答案 ①③ 解析 ①当x=1时,x2-2x+1=0,故p⇒q,所以p是q的充分条件. ②由a+b>0不能推出ab>0,故p不是q的充分条件. ③因为a>b>1⇒a2>b2>0,所以p是q的充分条件. 二、必要条件的判断 例2 在下列各命题中,q是p的必要条件吗? 为什么? (1)p: x-2=0;q: (x-2)(x-3)=0; (2)p: 两个三角形相似;q: 两个三角形全等; (3)p: m<-2;q: 方程x2-x-m=0无实根. 解 (1)∵x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0, ∴q是p的必要条件. (2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等, ∴q不是p的必要条件. (3)∵方程x2-x-m=0无实根, ∴Δ=b2-4ac=1-4×1×(-m)=1+4m<0, 解得m<- . ∵m<-2⇒m<- , ∴q是p的必要条件. 反思感悟 必要条件判定方法 (1)定义法: 首先分清条件和结论,然后判断p⇒q和q⇒p是否成立,最后得出结论. (2)集合法: 对于涉及取值范围的判断题,可从集合的角度研究,若两个集合具有包含关系,则小范围⇒大范围,大范围推不出小范围. (3)传递法: 由推式的传递性: p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn,则pn是p1的必要条件. 跟踪训练2 在以下命题中,分析p与q的关系: (1)p: x>2同时y>3,q: x+y>5; (2)p: 一个四边形的四个角都相等,q: 四边形是正方形. (3)p: α为锐角,q: α=45°; (4)p: (x+1)(x-2)=0,q: x+1=0. 解 (1)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)由于q⇒p,故q是p的充分条件,p是q的必要条件. (3)由于q⇒p,故p是q的必要条件,q是p的充分条件. (4)由于q⇒p,故p是q的必要条件,q是p的充分条件. 三、充分条件与必要条件的应用 例3 已知命题p: -2≤x≤10,q: 1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要条件,但不是充分条件.求实数m的取值范围. 解 p: -2≤x≤10,q: 1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的必要条件,但不是充分条件, 所以q是p的充分条件但不是必要条件, 即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}, 故有 或 解得m≤3.又m>0, 所以实数m的取值范围为(0,3]. 延伸探究 若本例中“p是q的必要条件但不是充分条件”改为“p是q的充分条件但不是必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解 p: -2≤x≤10,q: 1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的充分条件但不是必要条件, 设p代表的集合为A,q代表的集合为B, 所以AB. 所以 或 解不等式组得m>9或m≥9, 所以m≥9, 即实数m的取值范围是[9,+∞). 反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用: 可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤: 先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解. 跟踪训练3 已知集合A={y|y=x2-3x+1,x∈R},B={x|x+2m≥0};命题p: x∈A,命题q: x∈B. (1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围; (2)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围. 解 由已知可得A= = , B={x|x≥-2m}. (1)若p是q的充分条件, 则p⇒q,所以A⊆B, 所以-2m≤- ,所以m≥ , 即m的取值范围是 . (2)若p是q的必要条件, 则q⇒p,所以B⊆A, 所以-2m≥- ,解得m≤ . 即m的取值范围是 . 1.若p是q的充分条件,则q是p的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 答案 B 解析 因为p是q的充分条件,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. 2.“同位角相等”是“两直线平行”的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既是充分条件,也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 答案 C 3.“-2 A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件,也是必要条件 答案 C 解析 ∵-2 4.“x2=2x”是“x=0”的________条件,“x=0”是“x2=2x”的________条件(用“充分”“必要”填空). 答案 必要 充分 解析 由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件. 5.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是________. 答案 (-∞,1] 解析 因为x>1⇒x>a,所以a≤1. 1.知识清单: (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分条件、必要条件的判断. (3)充分条件与必要条件的应用. 2.方法归纳: 转化法. 3.常见误区: 充分条件、必要条件不唯一;求参数范围能否取到端点值. 1.(多选)使x>3成立的充分条件可以是( ) A.x>4B.x>0 C.x>2D.5 答案 AD 解析 x>4⇒x>3,5 2.(多选)使x>1成立的一个必要条件是( ) A.x>0B.x>3 C.x>2D.x>-1 答案 AD 解析 x>1⇒x>0,x>1⇒x>-1,其他选项均不可由x>1推出. 3.下列命题中,p是q的充分条件的是( ) A.p: ab≠0,q: a≠0 B.p: a2+b2≥0,q: a≥0且b≥0 C.p: x2>1,q: x>1 D.p: a>b,q: > 答案 A 解析 根据充分条件的概念逐一判断. 4.下面四个条件中,使a>b成立的充分但是不必要条件是( ) A.a≥b+1B.a>b-1 C.a2>b2D.|a|>|b| 答案 A 解析 由a≥b+1>b,从而a≥b+1⇒a>b;反之,如a=4,b=3.5,则4>3.5,4≤3.5+1,故a>b⇏a≥b+1. 5.“a>b”是“a>|b|”的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既是充分也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 答案 B 解析 由a>|b|⇒a>b,而由a>b推不出a>|b|. ∴“a>b”是“a>|b|”的必要条件但不是充分条件. 6.已知a,b都是实数,那么“ > ”是“|a|>|b|”的________条件,“|a|>|b|”是“ > ”的________条件.(填“充分”或“必要”) 答案 充分 必要 解析 > 可得a>b≥0可以推出|a|>|b|, 但|a|>|b|不可以推出 > . 7.已知p: a≤x≤a+1,q: 0 答案 (0,3) ∅ 解析 令M={x|a≤x≤a+1},N={x|0 ∵p是q的充分条件,∴M⊆N, ∴ 解得0 由p是q的必要条件,N⊆M, ∴ 无解. 8.下列不等式: ①x<1;②0 其中,可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________. 答案 ②③④ 解析 由于x2<1,即-1 9.指出下列各题中,p是q的什么条件: (1)在△ABC中,p: ∠A>∠B,q: BC>AC; (2)p: a=3,q: (a+2)(a-3)=0; (3)p: a <1. 解 在 (1)中,由大角对大边,且∠A>∠B知BC>AC,反之也正确,所以p既是q的充分条件,也是q的必要条件; 在 (2)中,若a=3,则(a+2)(a-3)=0,但(a+2)(a-3)=0不一定得出a=3,所以p是q的充分条件但不是必要条件; 在(3)中,当a=-2,b=-1时,满足a =2>1; 当a=2,b=-1时,满足 =-2<1,但a>b. 所以p既不是q的充分条件,也不是必要条件. 10.已知p: ,q: 0 (1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围; (2)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围. 解 记A= , B={x|0 (1)若p是q的充分条件,则A⊆B. 注意到B={x|0 ①若A=∅,即 ≥ ,解得m≤0,此时A⊆B,符合题意. ②若A≠∅,即 < ,解得m>0, 要使A⊆B,应有 解得0 综上可得,实数m的取值范围是(-∞,3]. (2)若p是q的必要条件,则B⊆A. 分两种情况讨论: ①若 ≥ ,即m≤0时,A=∅,不符合题意. ②若A≠∅,即 < ,解得m>0. 要使B⊆A,应有 解得m≥3. 综上可得,实数m的取值范围是[3,+∞). 11.对任意实数a,b,c,下列命题中,真命题是( ) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 答案 B 解析 “a=b”⇒“a-b=0”⇒“(a-b)c=0”⇒“ac=bc”,∴“ac=bc”是“a=b”的必要条件. 12.(多选)下列选项中,可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是( ) A.a<0B.a>0C.a<-1D.a<1 答案 AC 解析 因为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一正根和一负根. 所以 即 解得a<0. 13.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件(填“充分”或“必要”). 答案 充分 解析 若“四边形ABCD为菱形”,则“对角线AC⊥BD”成立;而若“对角线AC⊥BD”成立,则“四边形ABCD不一定为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件. 14.下列式子: ①a<0 其中能使 < 成立的充分条件有________.(填序号) 答案 ①②④ 解析 当a<0 <0< ; 当b < <0; 当b<0 <0< ; 当0 < , 所以能使 < 成立的充分条件有①②④. 15.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( ) A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件,又是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 答案 A 解析 因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲. 又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙⇏丙,如图. 综上,有丙⇒甲,但甲⇏丙, 即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 16.若p:
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