一次函数及相关典型应用例题.docx

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一次函数及相关典型应用例题

一次函数复习课

知识点1一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：

y=2x+3，y=-x+2，y=

x等都是一次函数，y=

x，y=-x都是正比例函数.

【说明】

（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.

（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.

（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.

知识点2函数的图象

把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：

列表、描点、连线．

知识点3一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．

由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：

直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-

，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.

知识点4一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②如图11－18

（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：

直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

知识点3正比例函数y=kx（k≠0）的性质

（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；

（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；

（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．

知识点4点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；

（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．

例如：

点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．

知识点5确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．

（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．

知识点6待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：

函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．

知识点7用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

（1）设函数表达式为y=kx+b；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

（3）求出k与b的值，得到函数表达式．

例如：

已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．

解：

设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），

由题意可知，

解

∴此函数的关系式为y=

．

【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：

第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.

思想方法小结

（1）函数方法．

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．

（2）数形结合法．

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．

知识规律小结

（1）常数k，b对直线y=kx+b（k≠0）位置的影响．

①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；

当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．

②当k，b异号时，即-

＞0时，直线与x轴正半轴相交；

当b=0时，即-

=0时，直线经过原点；

当k，b同号时，即-

﹤0时，直线与x轴负半轴相交．

③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；

当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；

当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；

当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；

当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；

当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．

（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx（k≠0）的位置关系．

直线y=kx+b（k≠0）平行于直线y=kx（k≠0）

当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；

当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．

（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．

①k1≠k2

y1与y2相交；

②

y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；

③

y1与y2平行；

④

y1与y2重合.

典例讲解

基本题

本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．

例1下列函数中，哪些是一次函数？

哪些是正比例函数？

（1）y=-

x；

（2）y=-

；（3）y=-3-5x；

（4）y=-5x2；（5）y=6x-

（6）y=x（x-4）-x2.

[分析]本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．

解：

（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l）（6）是正比例函数．

例2当m为何值时，函数y=-（m-2）x

+（m-4）是一次函数？

[分析]某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．

解：

∵函数y=（m-2）x

+（m-4）是一次函数，

∴

∴m=-2.

∴当m=-2时，函数y=（m-2）x

+（m-4）是一次函数．

小结某函数是一次函数应满足的条件是：

一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：

常数项为0．

基础应用题

本节基础知识的应用主要包括：

（1）会确定函数关系式及求函数值；

（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．

例3一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数．

[分析]

（1）弹簧每挂1kg的物体后，伸长0．5cm，则挂xkg的物体后，弹簧的长度y为（l5+0．5x）cm，即y=15+0．5x．

（2）自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值，即0≤x≤18．

（3）由y=15+0．5x可知，y是x的一次函数．

解：

（l）y=15+0．5x．

（2）自变量x的取值范围是0≤x≤18．

（3）y是x的一次函数．

学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是.

老师评一评研究本题可采用线段图示法，如图11－19所示．

火车从乌鲁木齐出发，t小时所走路程为58t千米，此时，距离库尔勒的距离为s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t．

例4某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：

M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为℃．

［分析］本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t的具体值．从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．

答案：

102

例5已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当x=4时，求y的值；

（3）当y=4时，求x的值．

[分析]由y-3与x成正比例，则可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式．

解：

（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．

把x=2，y=7代入y-3=kx中，得

7-3＝2k，

∴k＝2．

∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．

（2）当x=4时，y=2×4+3=11．

（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=

.

学生做一做已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是.

老师评一评由y与x+1成正比例，可设y与x的函数关系式为y=k（x+1）.

再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y关于x的函数关系式．

设y关于x的函数关系式为y=k（x+1）.

∵当x=5时，y=12，

∴12=（5+1）k，∴k=2．

∴y关于x的函数关系式为y=2x+2．

【注意】y与x+1成正比例，表示y=k（x+1），不要误认为y=kx+1.

例6若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）

A．m﹤OB．m＞0

C．m﹤

D．m＞M

[分析]本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1＜x2时，y1＞y2，说明y随x的增大而减小，所以1-2m﹤O,∴m＞

，故正确答案为D项．

学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．

（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；

（2）画出函数的图象；

（3）求5年后的产值．

老师评一评

（1）年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式为y=15+2x．

（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x≥0，因此，函数y=15+2x的图象应为一条射线．

画函数y=12+5x的图象如图11－21所示．

（3）当x=5时，y＝15+2×5=25（万元）

∴5年后的产值是25万元．

例7已知一次函数y=kx+b的图象如图11－22所示，求函数表达式．

［分析］从图象上可以看出，它与x轴交于点（-1，0），与y轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k为即可．

解：

由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，

代入到y=kx+b中，得

∴

∴此函数的表达式为y=-3x-3.

例8求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．

［分析］图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．

解：

由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，

∴图象经过点（2，-1），

∴-l=2×2+b．

∴b=-5，

∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.

综合应用题

本节知识的综合应用包括：

（1）与方程知识的综合应用；

（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．

例8已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．

（1）y是x的一次函数吗？

请说明理由；

（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？

［分析］判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b（k，b中为常数，且k≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx（k为常数，且k≠0）即可．

解：

（1）y是x的一次函数．

∵y+a与x+b是正比例函数，

∴设y+a=k（x+b）（k为常数，且k≠0）

整理得y=kx+（kb-a）．

∵k≠0，k，a，b为常数，

∴y=kx+（kb-a）是一次函数．

（2）当kb-a=0，即a=kb时，

y是x的正比例函数．

例9某移动通讯公司开设了两种通讯业务：

“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．

（1）写出y1，y2与x之间的关系；

（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？

（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？

［分析］这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论．

解：

（1）y1=50+0．4x（其中x≥0，且x是整数）

y2=0．6x（其中x≥0，且x是整数）

（2）∵两种通讯费用相同，

∴y1=y2，

即50+0．4x=0．6x．

∴x＝250．

∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．

（3）当y1=200时，有200=50+0．4x，

∴x=375（分）．

∴“全球通”可通话375分．

当y2=200时，有200=0．6x，

∴x=333

（分）．

∴“神州行”可通话333

分．

∵375＞333

，

∴选择“全球通”较合算．

例10已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）画出函数的图象；

（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？

（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；

（5）设点P在y轴负半轴上，

（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．

［分析］由已知y+2与x成正比例，可设y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，这样即可得到y与x之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值．

解：

（1）∵y+2与x成正比例，

∴设y+2=kx（k是常数，且k≠0）

∵当x=-2时，y=0．

∴0+2＝k·（-2），∴k＝-1．

∴函数关系式为x+2=-x，

即y=-x-2．

（2）列表；

x

0

-2

y

-2

0

描点、连线，图象如图11－23所示．

（3）由函数图象可知，当x≤-2时，y≥0．

∴当x≤-2时，y≥0．

（4）∵点（m，6）在该函数的图象上，

∴6=-m-2,

∴m＝-8．

（5）函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A，B两点，

∴A（-2，0），B（0，-2）．

∵S△ABP=

·|AP|·|OA|=4，

∴|BP|=

.

∴点P与点B的距离为4．

又∵B点坐标为（0，-2）,且P在y轴负半轴上，

∴P点坐标为（0，-6）.

例11已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.

（1）k为何值时，它的图象经过原点？

（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?

（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？

（4）k为何值时，y随x的增大而减小？

[分析]函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y轴的交点在y轴上方，说明常数项b＞O；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y随x的增大而减小，说明一次项系数小于0．

解：

（1）图象经过原点，则它是正比例函数．

∴

∴k＝-2．

∴当k=-3时，它的图象经过原点．

（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.

∴-2=-2k2+18，且3-k≠0，

∴k=±

∴当k=±

时，它的图象经过点（0，-2）

（3）函数图象平行于直线y=-x，

∴3-k=-1，

∴k＝4．

∴当k＝4时，它的图象平行于直线x=-x．

（4）∵随x的增大而减小，

∴3-k﹤O．

∴k＞3．

∴当k＞3时，y随x的增大而减小．

例12判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．

[分析]由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．

解：

设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．

由题意可知，

∴

∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．

∴当x=4时，y=4-2=2．

∴点C（4，2）在直线y=x-2上．

∴三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．

学生做一做判断三点A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一条直线上.

探索与创新题

主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．

例13老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：

（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？

这说明了什么？

（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？

甲生说：

“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”

乙生说：

“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”

你认为这两个同学的说法正确吗？

［分析］

（1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当x＞2时，6x＞2x+8，所以，y=6x的函数值先达到30．

（2）直线y=-x与y=-x+6中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的．

解：

这两位同学的说法都正确．

例14某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：

“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：

“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．

（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；

（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．

［分析］先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论．

解：

（1）甲旅行社的收费y甲（元）与学生人数x之间的函数关系式为

y甲=240+

×240x=240+120x.

乙旅行社的收费y乙（元）与学生人数x之间的函数关系式为

y乙=240×60％×（x+1）=144x+144．

（2）①当y甲=y乙时，有240+120x=144x+144，

∴24x＝96，∴x=4．

∴当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以．

②当y甲＞y乙时，240+120x＞144x+144，

∴24x＜96，∴x＜4．

∴当x﹤4时，去乙旅行社更优惠．

③当y甲﹤y乙时，有240+120x﹤140x+144，

∴24x＞96，∴x＞4．

∴当x＞4时，去甲旅行社更优惠．

小结此题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法．

学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：

每千克9元，由基地送货上门；乙方案：

每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．

（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；

（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？

并说明理由．

老师评一评先求出两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论．

（1）甲方案的付款y甲（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为

y甲=9x（x≥3000）；

乙方案的付款y乙（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为

y乙=8x+500O（x≥3000）．

（2）有两种解法：

解法1：

①当y甲=y乙时，有9x=8x+5000，

∴x=5000．

∴当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以．

②当y甲﹤y乙时，有9x﹤8x+5000，

∴x＜5000．

又∵x≥3000，

∴当3000≤x≤5000时，甲方案付款少，故采用甲方案．

③当y甲＞y乙时，有9x＞8x+5000，

∴x＞5000．

∴．当x＞500O时，乙方案付款少，故采用乙方案．

解法2：

图象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象，如图11－24所示，由图象可得：

当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y甲﹤y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y甲﹥y乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y甲＞y乙，即选择乙方案付款最少．

【说明】图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.

例15一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为.

[分析]本题分两种情况讨论：

①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：

当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b中可得

∴

∴函数解析式为y=-

x-4．

②当k﹤O时则随x的增大而减小，则有：

当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kx＋b中可得

∴

∴函数解析式为y=-

x-3.

∴函数解析式为y=

x-4，或y=-

x-3.

答案：

y=

x-4或y=-

x-3.

【注意】本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.