中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案.docx

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中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案

《离散数学》期末复习题

一、填空题（每空2分，共20分）

1、集合A上的偏序关系的三个性质是、和。

2、一个集合的幂集是指。

3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A⋃B=。

4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A⋂B=。

5、若A是2元集合,则2A有个元素。

6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：

a*b=a和b两者的最大值，则2*3=。

7、设A={a,b,c,d},则∣A∣=。

8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元，是乘法的幂等元。

9、设a,b,c是阿贝尔群的元素，则-（a+b+c）=。

10、一个图的哈密尔顿路是。

11、不能再分解的命题称为，至少包含一个联结词的命题称为。

12、命题是。

13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示。

14、及一个个体相关联的谓词叫做。

15、量词分两种：

和。

16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的。

17、集合上的三种特殊元是、及。

18、设A={a,b}，则ρ（A）的四个元素分别是：

，，，。

19、代数系统是指由及其上的或组成的系统。

20、设是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足、，并且*1和*2满足，则称是格。

21、集合A={a,b,c,d}，B={b}，则A\B=。

22、设A={1,2},则∣A∣=。

23、在有向图中，结点v的出度deg+（v）表示，入度deg-（v）表示以。

24、一个图的欧拉回路是。

25、不含回路的连通图是。

26、不及任何结点相邻接的结点称为。

27、推理理论中的四个推理规则是、、、。

二、判断题（每题2分，共20分）

1、空集是唯一的。

2、对任意的集合A，A包含A。

3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。

4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。

5、图G中，及顶点v关联的边数称为点v的度数，记作deg（v）。

6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。

7、对于任何一命题公式，都存在及其等价的析取范式和合取范式。

8、设（A,*）是代数系统，a∈A，如果a*a＝a，则称a为（A，*）的等幂元。

9、设f：

A→B，g：

B→C。

若f，g都是双射，则gf不是双射。

10、无向图的邻接矩阵是对称阵。

11、一个集合不可以是另一个集合的元素。

12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。

13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。

14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。

15、树一定是连通图。

16、单位元不是可逆的。

17、一个命题可赋予一个值，称为真值。

18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。

19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。

20、设f：

A→B，g：

B→C。

若f，g都是满射，则g◦f不是满射。

21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。

22、零元是不可逆的。

23、一般的，把及n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。

24、“我正在说谎。

”不是命题。

25、用A表示“是个大学生”，c表示“张三”，则A（c）：

张三是个大学生。

26、设F＝{<3,3>,<6,2>}，则F-1＝{<6,3>,<2,6>}。

27、欧拉图是有欧拉回路的图。

28、设f：

A→B，g：

B→C。

若f，g都是单射，则g◦f也是单射。

三、计算题（每题10分，共40分）

1、设A={c,d},B={0,1,2}，则计算A×B，B×A。

2、A={a,b,c}，B={1,2}，计算A×B。

3、A={a,b,c}，计算A×A。

4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。

”。

5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。

6、符号化命题“2是素数且是偶数”。

7、设A={a,b,c,d}，R是A的二元关系，定义为：

R={,,,,,,,}，写出A上二元关系R的关系矩阵。

8、设A={1,2,3,4}，R是A的二元关系，定义为：

R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>,<3,1>,<4,3>,<4,2>,<4,1>}，写出A上二元关系R的关系矩阵。

9、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

11、设无向图G如下所示，求它的邻接矩阵。

12、求命题公式┐（p∧┐q）的真值表。

13、设<2x+y,5>=<10,x－3y>，求x，y。

14、R1、R2是从{1,2,3,4,5}到{2,4,6}的关系，若R1＝{<1,2>,<3,4>,<5,6>}，R2={<1,4>,<2,6>}，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。

15、例：

设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5},C={1,2,3}，A到B的关系R={|x+y=6}，B到C的关系S={|y－z=2}，求R◦S。

16、集合A={a,b,c}，B={1,2,3,4,5}，R是A上的关系，S是A到B的关系。

R={,,,,}，S={,,,,}，求R◦S，S–1◦R–1

17、A＝{1,2,3,4,5,6}，D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。

18、设集合A={a,b,c}，A上的关系R={,,}，求R的自反、对称、传递闭包。

19、求下图中顶点v0及v5之间的最短路径。

20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。

四、证明题（每题10分，共20分）

1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明R

S是A上的等价关系。

2、证明苏格拉底论证：

凡人要死。

苏格拉底是人，苏格拉底要死。

3、P→Q，┐Q

R，┐R，┐S

PÞ┐S

4、在群中，除单位元e外，不可能有别的幂等元。

5、设R和S是二元关系，证明：

（R

S）-1=R-1

S-1

6、证明：

（（Q∧S）→R）∧（S→（P∨R））=（S∧（P→Q））→R.

7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R＝{|x,y∈I，且x－y可被k整除}，证明R是等价关系。

8、证明（（p→q）→r）Û（（┐q∧p）∨r）

9、证明（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→S）ÞS∨R

10、证明P→┐Q，Q∨┐R，R∧┐SÞ┐P

11、证（∀x）（P（x）∨Q（x））Þ┐（∀x）P（x）→（$x）Q（x）

12、证明定理：

设是群，对于任意a,b∈G，则方程a◦x=b及y◦a=b，在群内有唯一解。

《离散数学》复习题参考答案

一、填空题（每空1分，共20分）

1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。

2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。

3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A⋃B={a,b,c,d,e}。

4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A⋂B={1,3}。

5、若A是2元集合,则2A有4个元素。

6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：

a*b=a和b两者的最大值，则2*3=3。

7、设A={a,b,c,d},则∣A∣=4。

8、对实数的普通加法和乘法，0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元。

9、设a,b,c是阿贝尔群的元素，则-（a+b+c）=（-a）+（-b）+（-c）。

10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。

11、不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题。

12、命题是能够表达判断（分辩其真假）的陈述语句。

13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示王强不是一名大学生。

14、及一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。

15、量词分两种：

全称量词和存在量词。

16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。

17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。

18、设A={a,b}，则ρ（A）的四个元素分别是：

空集，{a}，{b}，{a,b}。

19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。

20、设是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称是格。

21、集合A={a,b,c,d}，B={b}，则A\B={a,c,d}。

22、设A={1,2},则∣A∣=2。

23、在有向图中，结点v的出度deg+（v）表示以v为起点的边的条数，入度deg-（v）表示以v为终点的边的条数。

24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。

25、不含回路的连通图是树。

26、不及任何结点相邻接的结点称为孤立结点。

27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则（US规则）、全称推广规则（UG规则）、存在指定规则（ES规则）、存在推广规则（EG规则）。

二、判断题（每题2分，共20分）

1、√。

2、√。

3、×。

4、√。

5、√。

6、×。

7、√。

8、√。

9、×。

10、√。

11、×。

12、√。

13、×。

14、√。

15、√。

16、×。

17、√。

18、√。

19、×。

20、×。

21、√。

22、√。

23、×。

24、√。

25、√。

26、×。

27、√。

28、√。

1、空集是唯一的。

2、对任意的集合A，A包含A。

3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。

4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。

5、图G中，及顶点v关联的边数称为点v的度数，记作deg（v）。

6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。

7、对于任何一命题公式，都存在及其等价的析取范式和合取范式。

8、设（A,*）是代数系统，a∈A，如果a*a＝a，则称a为（A，*）的等幂元。

9、设f：

A→B，g：

B→C。

若f，g都是双射，则gf不是双射。

10、无向图的邻接矩阵是对称阵。

11、一个集合不可以是另一个集合的元素。

12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。

13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。

14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。

15、树一定是连通图。

16、单位元不是可逆的。

17、一个命题可赋予一个值，称为真值。

18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。

19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。

20、设f：

A→B，g：

B→C。

若f，g都是满射，则g◦f不是满射。

21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。

22、零元是不可逆的。

23、一般的，把及n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。

24、“我正在说谎。

”不是命题。

25、用A表示“是个大学生”，c表示“张三”，则A（c）：

张三是个大学生。

26、设F＝{<3,3>,<6,2>}，则F-1＝{<6,3>,<2,6>}。

27、欧拉图是有欧拉回路的图。

28、设f：

A→B，g：

B→C。

若f，g都是单射，则g◦f也是单射。

三、计算题（每题10分，共40分）

1、设A={c,d},B={0,1,2}，则A×B={,,,,,}，B×A={<0,c>,<0,d>,<1,c>,<1,d>,<2,c>,<2,d>}。

2、A={a,b,c}，B={1,2}，A×B={a,b,c}×{1,2}={,,,,,}。

3、A={a,b,c}，A×A={a,b,c}×{a,b,c}={,,,,,,,,}。

4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。

”。

设L（x,y）：

x大于y，a：

2，b：

3，c：

4，则命题符号化为L（a,b）→L（a,c）。

5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。

设F（x）：

x是兔子。

G（x）：

x是乌龟。

H（x,y）：

x比y跑得快。

该命题符号化为：

¬∀x∀y（F（x）∧G（y）→H（x,y））。

6、符号化命题“2是素数且是偶数”。

设F（x）：

x是素数。

G（x）：

x是偶数。

a：

2，则命题符号化为F（a）∧G（a）。

7、设A={a,b,c,d}，R是A的二元关系，定义为：

R={,,,,,,,}，写出A上二元关系R的关系矩阵。

解：

R的关系矩阵为：

8、设A={1,2,3,4}，R是A的二元关系，定义为：

R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>,<3,1>,<4,3>,<4,2>,<4,1>}，写出A上二元关系R的关系矩阵。

解：

R的关系矩阵为：

9、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

deg（v1）＝3，deg+（v1）＝1，deg-（v1）＝2；

deg（v2）＝deg+（v4）＝deg-（v2）＝0；

deg（v3）＝3，deg+（v3）＝2，deg-（v3）＝1；

deg（v4）＝2，deg+（v4）＝1，deg-（v4）＝1；

10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

答：

deg（v1）＝3，deg+（v1）＝2，deg-（v1）＝1；

deg（v2）＝3，deg+（v2）＝2，deg-（v2）＝1；

deg（v3）＝5，deg+（v3）＝2，deg-（v3）＝3；

deg（v4）＝deg+（v4）＝deg-（v4）＝0；

deg（v5）＝1，deg+（v5）＝0，deg-（v5）＝1；

11、设无向图G如下所示，求它的邻接矩阵。

12、求命题公式┐（p∧┐q）的真值表。

p

q

┐q

p∧┐q

┐（p∧┐q）

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

13、设<2x+y,5>=<10,x－3y>，求x，y。

解：

由定理列出如下方程组：

求解得x=5，y=0。

14、R1、R2是从{1,2,3,4,5}到{2,4,6}的关系，若R1＝{<1,2>,<3,4>,<5,6>}，R2={<1,4>,<2,6>}，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。

解：

domR1={1,3,5}，ranR1={2,4,6}，fldR1=domR1∪ranR1={1,2,3,4,5,6}；

domR2={1,2}，ranR2={4,6}，fldR2=domR2∪ranR2={1,2,4,6}。

15、例：

设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5},C={1,2,3}，A到B的关系R={|x+y=6}，B到C的关系S={|y－z=2}，求R◦S。

解：

R={<1,5>,<2,4>,<3,3>},S={<3,1>,<4,2>,<5,3>}，从而R◦S={<1,3>,<2,2>,<3,1>}

或者因<1,5>∈R，<5,3>∈S，所以<1,3>∈R◦S；因<2,4>∈R，<4,2>∈S，所以<2,2>∈R◦S；因<3,3>∈R，<3,1>∈S，所以<3,1>∈R◦S；从而R◦S={<1,3>,<2,2>,<3,1>}

16、集合A={a,b,c}，B={1,2,3,4,5}，R是A上的关系，S是A到B的关系。

R={,,,,}，S={,,,,}，求R◦S，S–1◦R–1

R◦S={,,,,,,}

（R◦S）-1={<1,a>,<4,a>,<5,a>,<2,b>,<2,c>,<4,c>,<5,c>}

R–1={,,,,}，

S–1={<1,a>,<4,a>,<2,b>,<4,c>,<5,c>}

S–1◦R–1={<1,a>,<2,b>,<2,c>,<4,a>,<4,c>,<5,a>,<5,c>}。

17、A＝{1,2,3,4,5,6}，D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。

解：

1是A的最小元，没有最大元，1是极小元，4、5、6都是A的极大元。

18、设集合A={a,b,c}，A上的关系R={,,}，求R的自反、对称、传递闭包。

r（R）={,,,,}

s（R）={,,,,}

t（R）={,,,}

19、求下图中顶点v0及v5之间的最短路径。

解：

如下图所示v0及v5之间的最短路径为：

v0,v1,v2,v4,v3,v5

最短路径值为1+2+1+3+2=9

20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。

先根遍历：

ABDEHCFIJGK中根遍历：

DBHEAIFJCGK后根遍历：

DHEBIJFKGCA

四、证明题（每题10分，共20分）

1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明R

S是A上的等价关系。

证明：

a∈A，因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。

故xR

Sx。

从而R

S是自反的。

a,b∈A，aR

Sb，即aRb且aSb。

因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。

故bR

Sa。

从而R

S是对称的。

a,b,c∈A，aR

Sb且bR

Sc，即aRb，aSb，bRc且bSc。

因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。

故aR

Sc。

从而R

S是传递的。

故R

S是A上的等价关系。

2、证明苏格拉底论证：

凡人要死。

苏格拉底是人，苏格拉底要死。

设：

H（x）：

x是人。

M（x）：

x是要死的。

s：

苏格拉底。

本题要证明：

（"x）（H（x）→M（x））∧H（s）ÞM（s）

证明：

⑴（"x）（H（x）→M（x））P

⑵H（s）→M（s）US⑴

⑶H（s）P

⑷M（s）⑵、⑶

3、P→Q，┐Q

R，┐R，┐S

PÞ┐S

证明：

（1）┐R前提

（2）┐Q

R前提

（3）┐Q

（1），

（2）

（4）P→Q前提

（5）┐P（3），（4）

（6）┐S

P前提

（7）┐S（5），（6）

4、在群中，除单位元e外，不可能有别的幂等元。

因为e∗e=e，所以e是幂等元。

设aÎG且a∗a=a，则有a=e∗a=（a–1∗a）∗a=a–1∗（a∗a）=a–1∗a=e，即a=e。

5、设R和S是二元关系，证明：

（R

S）-1=R-1

S-1

证明：

.

所以

.

6、证明：

（（Q∧S）→R）∧（S→（P∨R））=（S∧（P→Q））→R.

证明：

左边：

（（Q∧S）→R）∧（S→（P∨R））

=（┐（Q∧S）∨R）∧（┐S∨（P∨R））

=（┐Q∨┐S∨R）∧（┐S∨P∨R）

=（┐Q∨┐S∨R）∧（┐S∨P∨R）

右边：

（S∧（P→Q））→R

=┐（S∧（┐P∨Q））∨R

=（┐S∨（P∧┐Q））∨R

=（┐Q∨┐S∨R）∧（┐S∨P∨R）

所以（（Q∧S）→R）∧（S→（P∨R））=（S∧（P→Q））→R.

7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R＝{|x,y∈I，且x－y可被k整除}，证明R是等价关系。

证明：

（1）对任意的x∈A，有x－x=0可被k整除。

所以∈R，即R具有自反性。

（2）对任意的x，y∈A，∈R，即x－y可被k整除，设x－y=km，则y－x=－km，显然y－x可被k整除。

所以∈R，即R具有对称性。

（3）设x，y，z∈A，若∈R，∈R，即x－y可被k整除，y－z可被k整除，设x－y=km，y－z=kn，则x－z=k（m+n），即x－z可被k整除。

所以∈R，即R具有传递性。

综上所述，R具有自反性、对称性和传递性，故R是等价关系。

8、证明：

⑴（（p→q）→r）Û（（┐q∧p）∨r）

⑵p→（q→r）⇔┐r→（q→┐p）

证明：

1（（p→q）→r）

Û┐p∨q）→r）//蕴涵等值式

Û┐（┐p∨q））∨r//蕴涵等值式

Û∧（┐q））∨r//德·摩根律

Û┐q∧p）∨r）//交换律

⑵p→（q→r）⇔┐r→（q→┐p）

⇔┐p∨（q→r）//蕴涵等值式

⇔┐p∨（┐q∨r）//蕴涵等值式

⇔r∨（┐q∨┐p）//结合律及交换律

⇔r∨（q→┐p）//蕴涵等值式

⇔┐r→（q→┐p）//蕴涵等值式

9、证明（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→S）ÞS∨R

证明：

（1）P∨Q已知前提

（2）┐P→Q由

（1）

（3）Q→S已知前提

（4）┐P→S由

（2）和（3）

（5）┐S→P由（4）

（6）P→R已知前提

（7）┐S→R由（5）和（6）

（8）S∨R由（7）

10、证明P→┐Q，Q∨┐R，R∧┐SÞ┐P

证明用反证法，把┐（┐P）作为附加前提加入到前提的集合中去，证明由此导致矛盾。

（1）┐（┐P）反证法附加前提

（2）P由

（1）

（3）P→┐Q已知前提

（4）┐Q由

（2）和（3）

（5）Q∨┐R已知前提

（6）┐R由（4）和（5）

（7）R∧┐S已知前提

（8）R由（7）

（9）R∧┐R由（6）和（8），矛盾

11、证（∀x）（P