浙江高考数学二轮复习练习专题限时集训9 空间中的平行与垂直关系 Word版含答案.docx
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浙江高考数学二轮复习练习专题限时集训9空间中的平行与垂直关系Word版含答案
专题限时集训(九)
空间中的平行与垂直关系
(对应学生用书第133页)
[建议A、B组各用时:
45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
B [A中,根据线面垂直的判定定理,只有垂直平面内两条相交直线才行,故A不正确;B中,由线面垂直的性质可知,平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直这个平面,故B正确;C中,l,m可能平行也可能异面,故C不正确;D中,平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交,故D不正确,故选B.]
2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m∥n,m⊥β,则n⊥β;
②若m∥α,m∥β,则α∥β;
③若m∥n,m∥β,则n∥β;
④若m⊥α,m⊥β,则α⊥β.
其中真命题的个数为( )【导学号:
68334110】
A.1 B.2
C.3 D.4
A [对于①,由直线与平面垂直的判定定理易知其正确;对于②,平面α与β可能平行或相交,故②错误;对于③,直线n可能平行于平面β,也可能在平面β内,故③错误;对于④,由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行,故④错误.综上所述,正确命题的个数为1,故选A.]
3.如图912所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:
①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是( )
图912
A.①② B.①②③
C.①D.②③
B [对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC.又∵PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,
又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.
对于②,∵点M为线段PB的中点,
∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,
∴OM∥平面PAC.
对于③,由①知BC⊥平面PAC,
∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,
故①②③都正确.]
4.已知α,β是两个不同的平面,有下列三个条件:
①存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β;
②存在一条直线a,a⊂α,a⊥β;
③存在两条垂直的直线a,b,a⊥β,b⊥α.
其中,所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( )
A.① B.②
C.③ D.①③
D [对于①,存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β,则α⊥β,反之也成立,即“存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β”是“α⊥β”的充要条件,所以①对,可排除B,C.
对于③,存在两条垂直的直线a,b,则直线a,b所成的角为90°,因为a⊥β,b⊥α,所以α,β所成的角为90°,即α⊥β,反之也成立,即“存在两条垂直的直线a,b,a⊥β,b⊥α”是“α⊥β”的充要条件,所以③对,可排除A,选D.]
5.在三棱锥PABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分别是线段PB,PC上的动点,则下列说法错误的是( )
图913
A.当AE⊥PB时,△AEF一定为直角三角形
B.当AF⊥PC时,△AEF一定为直角三角形
C.当EF∥平面ABC时,△AEF一定为直角三角形
D.当PC⊥平面AEF时,△AEF一定为直角三角形
B [因为AP⊥平面ABC,所以AP⊥BC,又AB⊥BC,且PA和AB是平面PAB上两条相交直线,则BC⊥平面PAB,BC⊥AE.当AE⊥PB时,AE⊥平面PBC,则AE⊥EF,△AEF一定是直角三角形,A正确;当EF∥平面ABC时,EF在平面PBC上,平面PBC与平面ABC相交于BC,则EF∥BC,则EF⊥AE,△AEF一定是直角三角形,C正确;当PC⊥平面AEF时,AE⊥PC,又AE⊥BC,则AE⊥平面PBC,AE⊥EF,△AEF一定是直角三角形,D正确;B中结论无法证明,故选B.]
二、填空题
6.已知P为△ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列命题:
①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.
其中正确命题的个数是________.【导学号:
68334111】
3 [如图所示,∵PA⊥PC,PA⊥PB,PC∩PB=P,
∴PA⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC,
∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC,PC⊥AB,但AB不一定垂直于BC.]
7.在三棱锥CABD中(如图914),△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形,O是斜边BD的中点,AB=4,二面角ABDC的大小为60°,并给出下面结论:
①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC为正三角形;④cos∠ADC=;⑤四面体ABCD的外接球表面积为32π.其中真命题是________(填序号).
图914
①③⑤ [由题意知BD⊥CO,BD⊥AO,则BD⊥平面AOC,从而BD⊥AC,故①正确;根据二面角ABDC的大小为60°,可得∠AOC=60°,又直线AD在平面AOC的射影为AO,从而AD与CO不垂直,故②错误;根据∠AOC=60°,AO=CO可得△AOC为正三角形,故③正确;在△ADC中,AD=CD=4,AC=CO=2,由余弦定理得cos∠ADC==,故④错误;由题意知,四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为2,则外接球的表面积为S=4π×
(2)2=32π,故⑤正确.]
8.正方体ABCDA1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中正确的是________.(填序号)
①AC⊥BE;
②B1E∥平面ABCD;
③三棱锥EABC的体积为定值;
④直线B1E⊥直线BC1.
①②③ [因为AC⊥平面BDD1B1,故①,②正确;记正方体的体积为V,则VEABC=V为定值,故③正确;B1E与BC1不垂直,故④错误.]
三、解答题
9.如图915,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
图915
(1)求证:
DC⊥平面PAC.
(2)求证:
平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?
说明理由.
[解]
(1)证明:
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥DC.2分
又因为DC⊥AC,且PC∩AC=C,
所以DC⊥平面PAC.4分
(2)证明:
因为AB∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.8分
又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.9分
(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.12分
理由如下:
取PB的中点F,连接EF,CE,CF.
又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.
又因为PA⊄平面CEF,且EF⊂平面CEF,
所以PA∥平面CEF.15分
10.(2017·绍兴稽阳联谊学校高三4月联考)如图916,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,∠C=60°,点E在CD上,AB=CE,BF=BD=,BD⊥BC.现将△ADE沿AE折成如图2△APE位置,使得二面角PAEC的大小为.
图916
(1)求PB的长度;
(2)求证:
PB⊥平面ABCE;
(3)求直线CE与平面APE所成角的正弦值.
【导学号:
68334112】
[解]
(1)因为AB平行且等于EC,
所以四边形ABCE是平行四边形,
所以BC∥AE,又因为BD⊥BC,所以BD⊥AE,
所以AE⊥FB,AE⊥FP,
即∠PFB为二面角PAEC的平面角.3分
又BF=,PF=2,
由余弦定理得BP2=BF2+PF2-2BF·PFcos∠BFP=9,
所以BP=3.5分
(2)证明:
BF=,PF=2,BP=3,满足勾股定理,
所以BF⊥PB.
又因为BF⊥AE,PF⊥AE,BF∩PF=F,
所以AE⊥平面PFB,所以AE⊥PB.7分
又BF∩AE=F,则PB⊥平面ABCE.9分
(3)法一:
作BN⊥PF于点N,连接AN,
由
(2)可知,AE⊥平面BFP,所以平面BFP⊥平面APE,
又平面BFP∩平面APE=PF,
所以BN⊥平面APE,12分
所以∠BAN是直线AB与平面APE所成的角.
在Rt△FBP中,BN=BFsin=,
sin∠NAB===.13分
所以直线AB与平面APE所成角的正弦值为,
即直线CE与平面APE所成角的正弦值为.15分
法二:
由于BF,BP,BC两两互相垂直,如图,建立空间直角坐标系,
则B(0,0,0),C(3,0,0),A(-1,,0),E(2,,0),P(0,0,3),则=(3,0,0),
=(1,-,3),12分
设平面APE的法向量为n=(x,y,z),
则即
取z=1,则n=(0,,1),13分
设直线CE与平面APE所成的角为θ,
=(1,-,0),
则sinθ=|cos〈n,〉|==,
即直线EC与平面APE所成角的正弦值为.15分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1.已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长相等,若∠AA1B1=∠AA1C1=60°,则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值是( )【导学号:
68334113】
图917
A. B.
C.D.
A [将三棱柱补上一个相同的三棱柱构成一个四棱柱,如图所示,易知图中∠A1CD1为所求角.因为三棱柱的所有棱长均相等,不妨设为1,则根据此三棱柱的性质有A1D1=A1C=,CD1=1,则由余弦定理得cos∠A1CD1==,故选A.]
2.如图918,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中,下列命题正确的是( )
图918
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
D [∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,∴AB⊥平面ADC,又AB⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC,故选D.]
3.如图919,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在△AEF内的射影为O,则下列说法正确的是( )
图919
A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心
C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心
A [由题意可知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,而PO⊥平面AEF,
则PO⊥EF.
∵PO∩PA=P,∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,∴O为△AEF的垂心.故选A.]
4.如图920,小于90°的二面角αlβ中,O∈l,A,B∈α,且∠AOB为钝角,∠A′OB′是∠AOB在β内的射影,则下列结论错误的是( )
图920
A.∠A′OB′为钝角
B.∠A′OB′>∠AOB
C.∠AOB+∠AOA′<π
D.∠B′OB+∠AOB+∠AOA′>
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