北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案.docx
- 文档编号:25933141
- 上传时间:2023-06-16
- 格式:DOCX
- 页数:31
- 大小:335.01KB
北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案.docx
《北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案.docx(31页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案
北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案
教材简析
本章的主要内容有轴对称和轴对称图形的概念以及它们的区别、联系;简单的轴对称图形的性质;利用轴对称进行图案设计.
在对轴对称图象的初步认识的基础上,通过观察、认识、分析生活中的轴对称现象,研究轴对称及其基本性质,进而动手操作利用轴对称进行图案设计.
本章是中考的必考内容,主要考查轴对称、轴对称图形的识别、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定方法与性质,考查形式灵活多样,主要有选择题、填空题和解答题,难度不大.
教学指导
【本章重点】
1.轴对称图形的性质.
2.角平分线、线段垂直平分线及等腰三角形的性质.
【本章难点】
1.利用线段、角、等腰三角形的轴对称性解决简单的计算和书写推理的过程.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系.
3.利用轴对称的性质进行图案设计.
【本章思想方法】
1.体会分类讨论思想,如根据等腰三角形的特殊性,需分类讨论已知角是顶角还是底角,已知边是腰还是底边等.
2.体会转化思想,如在利用垂直平分线的性质定理求三角形的周长时,把三角形周长转化为已知线段的和.
课时计划
1 轴对称现象1课时
2 探索轴对称的性质1课时
3 简单的轴对称图形3课时
4 利用轴对称进行设计1课时
1 轴对称现象
教学目标
一、基本目标
1.经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征的过程,进一步积累数学活动经验和发展学生的空间观念.
2.理解轴对称图形和成轴对称的图形的定义,能够识别这些图形并能指出它们的对称轴.
3.欣赏现实生活中的轴对称图形,体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值.
二、重难点目标
【教学重点】
通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析,认识轴对称和轴对称图形,会找出简单的轴对称图形的对称轴.
【教学难点】
理解轴对称图形和轴对称的联系与区别.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P115~P117的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
2.如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴.
3.下列图形中是轴对称图形的有( B )
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
4.两个大小不同的圆可以组成如图中的五种图形,它们仍旧是轴对称图形,请找出每个图形的对称轴,并说一说它们的对称轴有什么特点.
解:
如图所示:
它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】判断下列图形是否为轴对称图形?
如果是,说出它有几条对称轴.
【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个图形是否是轴对称图形?
如何找轴对称图形的对称轴?
【解答】
(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形;
(2)(4)(8)有1条对称轴;(7)有4条对称轴;(10)有2条对称轴.
【互动总结】(学生总结,老师点评)判断一个图形是否为轴对称图形,关键是看能否找到一条直线,沿这条直线折叠,使它两旁的部分能够互相重合.
【例2】图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称?
整个图形是轴对称图形吗?
它共有几条对称轴?
【互动探索】(引发学生思考)可用两个图形成轴对称的概念来解决.
【解答】图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称.
整个图形是轴对称图形,它共有2条对称轴.
【互动总结】(学生总结,老师点评)
(1)两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别:
两个图形成轴对称
轴对称图形
联系
操作方式相同:
沿一条直线折叠
沿直线折叠后,直线两旁的图形能完全重合
可以相互转化:
把成轴对称的两个图形看作一个整体,就可以得到一个轴对称图形;把轴对称图形两旁的部分分别看作两个图形,它们就是成轴对称的两个图形
区别
成轴对称是对于两个图形而言
轴对称图形是对于一个图形而言
两个图形分居一条直线两旁
一个图形被直线分成两部分
折叠后,一个图形与另一个图形完全重合
折叠后,图形的一部分与另一部分互相重合(即重合到自身上)
(2)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,而两个图形成轴对称是指两个图形之间的形状与位置的关系.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”,摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文,其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值,下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是( C )
2.如图,某英语单词由四个字母组成,且四个字母都关于直线l对称,则这个英语单词的汉语意思为书.
3.试画出下列正多边形的所有对称轴,并完成表格.
正多边形的边数
3
4
5
6
7
…
对称轴的条数
3
4
5
6
7
…
根据上表,猜想正n边形有n条对称轴.
解:
如图:
4.观察图中的各种图形,说明哪些图形放在一起可形成轴对称.
解:
根据轴对称图形的性质得出:
(1)和(6),
(2)和(4),(9)和(10)能形成轴对称图形.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】轴对称在数学计算中有巧妙的应用.如图1,现要计算长方形中六个数字的和,我们发现,把长方形沿对称轴l1对折,重合的数字均为4,故六个数字的和为3×4=12;若沿对称轴l2对折,则六个数字的和可表示为4×2+2×2=12.受上面方法的启发,请快速计算正方形(图2)中各数字之和.
图1 图2
【互动探索】利用轴对称图形对称位置上的两数相加和相等来进行简便计算.
【解答】如图所示,一条对角线上的数都是5,若把这条对角线所在直线当作对称轴,把正方形对折一下,对称位置上的两数之和均为10,这样正方形中各数字之和为10×10+5×5=125.
【互动总结】(学生总结,老师点评)数形结合是初中数学的一种重要思想方法,在求一组有特殊规律的数字的和时,经常会用到对称的思想及其相关的知识.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
轴对称现象
练习设计
请完成本课时对应练习!
2 探索轴对称的性质
教学目标
一、基本目标
1.经历探索轴对称性质的过程,积累数学活动经验,发展空间观念.
2.理解轴对称的性质:
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.
二、重难点目标
【教学重点】
探索并掌握轴对称的性质.
【教学难点】
运用轴对称的性质作图及利用轴对称的性质解决一些实际问题.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P118~P119的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.我们把沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点,重合的线段叫做对应线段,重合的角叫做对应角.
2.轴对称的性质:
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.
3.画轴对称图形,首先应确定对称轴,然后找出对称点.
4.如图,五边形ABCDE是轴对称图形,线段AF所在直线为对称轴,找出图中所有相等的线段和相等的角.
解:
相等的线段:
AB=AE,CB=DE,CF=DF;相等的角:
∠B=∠E,∠C=∠D,∠BAF=∠EAF,∠AFD=∠AFC.
5.把如图所示的图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形.
解:
如图所示:
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图,△ABC和△AED关于直线l对称,若AB=2cm,∠C=95°,则AE=________,∠D=________.
【互动探索】(引发学生思考)因为△ABC和△AED关于直线l对称,AB=2cm,∠C=95°,所以AE=AB=2cm,∠D=∠C=95°.
【答案】2cm 95°
【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类问题应先根据条件确定对应点,从而确定对应线段、对应角.
【例2】画出△ABC关于直线l的对称图形.
【互动探索】(引发学生思考)画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么?
【解答】如图所示:
【互动总结】(学生总结,老师点评)画一个图形关于某条直线对称的图形时,先确定一些特殊的点,然后作这些特殊点的对称点,顺次连结即可得到.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,若∠A=50°,∠C′=30°,则∠B的度数为( D )
A.30° B.50°
C.90° D.100°
2.如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,与对角线交于点Q,点P是直线MN上面一点,下列判断错误的是( D )
A.AQ=BQ B.AP=BP
C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠NMB
3.如图,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD,其中∠BAD=150°,∠B=40°,则∠BCD的度数是( A )
A.130° B.150°
C.40° D.65°
4.如图,将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形.
解:
如图所示:
5.如图,在长方形的台球桌面上,选择适当的角度打击白球,可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中,此时∠1=∠2,∠3=∠4,并且∠2+∠3=90°,∠4+∠5=90°.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角∠5=30°,那么∠1应该等于多少度才能保证黑球准确入袋?
请说明理由.
解:
∠1=30°才能保证黑球准确入袋.
理由如下:
如图,因为∠5=30°,
所以∠7=∠5=30°.
因为∠3=∠4,
所以∠6=∠7=30°,
所以∠2=∠6=30°,
所以∠1=∠2=30°.
即∠1=30°才能保证黑球准确入袋.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图,将长方形ABCD沿DE折叠,使点A落在BC上的点F处,若∠EFB=60°,则∠CFD=( )
A.20° B.30°
C.40° D.50°
【互动探索】根据图形翻折变换,得△ADE与△FDE关于直线DE成轴对称,所以△ADE≌△FDE,所以∠EFD=∠EAD=90°.因为∠EFB=60°,所以∠CFD=90°-∠EFB=30°.
【答案】B
【互动总结】(学生总结,老师点评)折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,对应边和对应角相等.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习!
3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形
教学目标
一、基本目标
1.经历探索等腰三角形和等边三角形的性质的过程,掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、两底角相等等性质.
2.能根据等腰三角形的性质解决一些简单的问题.
二、重难点目标
【教学重点】
等腰三角形、等边三角形的性质.
【教学难点】
等腰三角形、等边三角形的性质及探索过程.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P121~P122的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形是轴对称图形;
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴;
(3)等腰三角形的两个底角相等.
2.如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)因为AD⊥BC,
所以∠BAD=∠CAD,BD=CD;
(2)因为AD是中线,
所以AD⊥BC,∠BAD=∠CAD;
(3)因为AD是角平分线,
所以AD⊥BC,BD=CD;
(4)因为AB=AC,
所以∠B=∠C.
3.完成教材P121“想一想”:
解:
(1)等边三角形有三条对称轴,内角的平分线(各边上的中线、各边上的高)所在的直线为其对称轴.
(2)等边三角形的特征:
①三条边都相等,三个内角都相等,且每个内角都是60°;②是轴对称图形;③具有等腰三角形的一切特征.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC中各内角的度数.
【互动探索】(引发学生思考)设∠A=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.
【解答】因为AB=AC,BD=BC=AD,
所以∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠ABC=∠C=∠BDC=∠ABD+∠A=2x.
在△ABC中,因为∠A+∠ABC+∠C=180°,
所以x+2x+2x=180°,解得x=36°.
所以在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
【互动总结】(学生总结,老师点评)当题中等量关系或和差关系较多时,可考虑列方程解答,设未知数时,一般设较小的角的度数为x.
【例2】如图,已知AB=AC,BD⊥AC于点D.求证:
∠BAD=2∠DBC.
【互动探索】(引发学生思考)由∠BAD=2∠DBC,考虑作∠BAD的平分线,即作等腰三角形的高,再根据“等角的余角相等”证明结论.
【证明】过点A作AE⊥BC于点E.
因为AB=AC,AE⊥BC,
所以∠BAD=2∠2.
因为BD⊥AC于点D,
所以∠BDC=90°,
所以∠2+∠C=∠C+∠DBC=90°,
所以∠DBC=∠2,
所以∠BAD=2∠DBC.
【互动总结】(学生总结,老师点评)解决本题的关键:
(1)从要证的等式中角之间的数量关系,考虑利用等腰三角形“三线合一”作辅助线;
(2)在有直角的平面几何图形中,可用“等角的余角相等”证明角相等.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.已知等腰三角形的一个角为80°,则其顶角为( D )
A.20° B.50°或80°
C.10° D.20°或80°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6cm,AD平分∠BAC,则BD=3cm.
3.在△ABC中,AB=AC=5,∠A=60°,则BC=5.
4.在△ABC中,AB=AC,过点C作CN∥AB且CN=AC,连结AN交BC于点M.求证:
BM=CM.
证明:
因为AB=AC,CN=AC,
所以AB=CN,∠N=∠CAN.
又因为AB∥CN,
所以∠BAM=∠N,
所以∠BAM=∠CAM,
所以AM为∠BAC的平分线.
又因为AB=AC,
所以AM为△ABC的边BC上的中线,
所以BM=CM.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知△ABC是等腰三角形,且∠A+∠B=130°,求∠A的度数.
【互动探索】要求∠A,需讨论∠A是等腰△ABC的顶角还是底角,再结合三角形的内角和求解.
【解答】分情况讨论:
当∠A为顶角时,则∠B=∠C.
因为∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=130°,
所以∠B=∠C=50°,所以∠A=80°.
当∠C为顶角时,则∠A=∠B.
因为∠A+∠B=130°,所以∠A=65°.
当∠B为顶角时,则∠A=∠C.
因为∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=130°,
所以∠A=∠C=50°.
综上所述,∠A的度数可以为80°,65°或50°.
【互动总结】(学生总结,老师点评)本题体现了分类讨论思想.等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角.本题易忽略讨论∠B是顶角还是底角.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
等腰三角形
练习设计
请完成本课时对应练习!
第2课时 线段的垂直平分线
教学目标
一、基本目标
1.探索并了解线段垂直平分线的有关性质,并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题.
2.会用尺规作图作一条线段的垂直平分线.
3.经历探索简单图形轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.
二、重难点目标
【教学重点】
垂直平分线的有关性质.
【教学难点】
用尺规作图作线段的垂直平分线,并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P123~P124的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
2.线段的垂直平分线的定义:
垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.
3.线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
4.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长为( B )
A.6 B.5
C.4 D.3
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】详细过程见教材P124例1.
【例2】如图,在△ABC中,AB=AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为点E,交AC于点D.若△DBC的周长为35cm,求BC的长.
【互动探索】(引发学生思考)DE垂直平分AB→AD=BD→△DBC的周长为35cm→BC+AD+CD=35cm→求出BC.
【解答】因为DE垂直平分AB,所以AD=BD.
因为△DBC的周长为35cm,即BC+BD+CD=35cm,
所以BC+AD+CD=35cm.
又因为AC=AD+DC=20cm,
所以BC=35-20=15(cm).
【互动总结】(学生总结,老师点评)利用线段垂直平分线的性质,可以实现线段之间的相互转化,从而求出未知线段的长.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点,CE=4,△ABC的周长是25,则△ABD的周长为( C )
A.13 B.15
C.17 D.19
2.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC、AC于点D、E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为( B )
A.50° B.70°
C.75° D.80°
3.如图,在△ABC中,AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为点E,交AC于点D.若△DBC的周长为35cm,则BC长为15cm.
4.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE=10°,求∠C的度数.
解:
因为∠B=90°,∠BAE=10°,
所以∠BEA=80°.
因为ED是AC的垂直平分线,
所以AE=EC,所以∠C=∠EAC.
因为∠BAC+∠B+∠C=180°,∠BAC=∠BAE+∠EAC,
所以10°+∠EAC+90°+∠C=180°.
所以∠C=∠EAC=40°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
【互动探索】
(1)根据AD∥BC可知∠ADE=∠ECF,再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE,从而根据全等三角形的性质得到结论;
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可.
【证明】
(1)因为AD∥BC,
所以∠ADE=∠ECF.
因为E是CD的中点,
所以DE=EC.
又因为∠AED=∠CEF,
所以△ADE≌△FCE,
所以FC=AD.
(2)因为△ADE≌△FCE,
所以AE=EF,AD=CF.
因为BE⊥AE,
所以BE是线段AF的垂直平分线,
所以AB=BF=BC+CF.
因为AD=CF,
所以AB=BC+AD.
【互动总结】(学生总结,老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,利用它可以证明线段相等.
【例4】如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站,使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置.
【互动探索】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等作图.
【解答】如图,连结AB、AC,分别作出AB、AC的垂直平分线,两线的交点P就是供水站的位置.
【互动总结】(学生总结,老师点评)此题主要考查了应用作图,关键是掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
线段的垂直平分线
练习设计
请完成本课时对应练习!
第3课时 角平分线的性质
教学目标
一、基本目标
1.经历探索角的轴对称性的过程,理解并掌握角平分线的有关性质,并能运用角平分线的性质解决一些实际问题.
2.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法.
二、重难点目标
【教学重点】
掌握角平分线的性质,会用尺规作已知角的平分线.
【教学难点】
角平分线的性质的应用.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P125~P126的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长为( D )
A.2 B.3
C.4 D.6
4.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,AC=7,DE=4,则△ADC的面积等于14.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】详细过程见教材P126例2.
【例2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,如果AC=3cm,那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系?
请说明理由.
【互动探索】(引发学生思考)根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CE,从而可知AE、AC、DE之间的数量关系.
【解答】AE+DE=AC=3cm.理由如下:
因为∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB,
所以DE=CE,
所以AC=AE+CE=3cm.
【互动总结】(学生总结,老师点评)本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( C )
A.OE是∠AOB的平分线
B.OC=OD
C.点C、D到OE的距离不相等
D.∠AOE=∠BOE
2.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC,若BC=16,BD=10,则点D到AB的距离是( D )
A.9 B.8
C.7 D.6
3.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直,垂足为点A,交CD于点D.若AD=8,则点P到BC的距离是4.
4.如图,已知BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC于点E,S△ABC=36cm2,AB=12cm,BC=18cm,则DE的长为2.4cm.
教师点拨:
过点D作DF⊥AB于点F.根据角平分线上的点到角的两边距离相等,得DE=DF,再根据S△ABC=S△ABD+S△BCD列方程求解即可.
5.如图,BD是∠
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第5章生活中的轴对称 北师大 年级 下册 数学 生活 中的 轴对称 教案