数学理解能力的培养及其复习策略高考资料高考复习资料中考资料.docx
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数学理解能力的培养及其复习策略高考资料高考复习资料中考资料
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数学阅读能力的培养及其复习策略
一、有关数学阅读的理解
1.数学阅读内涵诠释
对于数学阅读的概念至今还没有一个统一的界定,数学阅读过程是一个完整的心理活动过程,包含语
言符号(文字、数学符号、术语、公式、图表等)的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和
记忆等各种心理活动因素,同时,它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程.
2.数学阅读的本质
数学阅读是从背景、数据等材料中获取信息的心理活动过程,不仅包括对数学文字语言、符号语言、图表语
言的理解、记忆、认知等过程,还包括对材料的逻辑结构进行分析、综合、归纳、推理、猜想等一系列思维过程,
是区别于一般阅读的较为复杂的智力活动.
二、高考对数学阅读能力的要求
高考数学试卷对数学阅读能力的考查是全方位的,包括阅读数学材料,理解其中的数学语言,还包括
阅读应用问题的材料,理解生活语言,从中抽象数量关系,利用数学语言进行描述,进而应用数学方法进行
解决.高考对数学阅读能力的要求包括读懂、理清、弄通、会做.
近年来数学阅读题型已成为高考题中的热门选择,它可以更丰富的考察学生各方面的能力,包括
逻辑推理,抽象概括,类比迁移,数学建模等.阅读题型的背景材料主要涉及日常生活应用,数学史或
者数学文化,高等数学三个方面.通常有三类题型:
常规题、创新题和应用题.
常规题主要以高中数学所学知识和思想方法为依据,侧重考查学生对阅读数学符号语言、文字语言
和图形语言的能力.
创新题主要以新颖材料为背景,侧重考查学生对所给材料信息进行阅读分析,逻辑推理和运算,做
到“现学现用”的知识内化和迁移的阅读能力.
应用题主要以高中所学知识块为背景,考查学生敏锐地捕捉题设信息(如有效信息和干扰信息的取
舍、数学符号信息的理解、图表语言的信息转化),并进行大脑加工,迅捷地寻找合理的解题途径并解
决问题,以及数学语言(要求条理清晰,层次分明,没有逻辑错误等)和生活语言(数学结论与实际问题
表述的转化)的表达能力.
三、阅读理解在高考中的考查
例1(2016年全国I卷19题)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易
损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足
再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种
机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
1
自信是迈向成功的第一步
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以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2
台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(I)求X的分布列;
(II)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
解:
⑴每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11
记事件
A为第一台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4)
i
记事件
B为第二台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4)
i
由题知P(A)=P(A)=P(A)=P(B)=P(B)=P(B)=,()()
1341340.2PA=PB=
220.4
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,
则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22
PX=16=PAPB=0.2×0.2=0.04
()()()
11
PX=17=PAPB+PAPB=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16
()()()()()
1221
PX=18=PAPB+PAPB+PAPB=0.2×0.2+0.2×0.2+0.4×0.4=0.24
()()()()()()()
132231
P(X=19)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)
14233241
=0.2×0.2+0.2×0.2+0.4×0.2+0.2×0.4=0.24
P(X=20)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.4×0.2+0.2×0.4+0.2×0.2=0.2
243342
P(x=)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=×+×=
210.20.20.20.20.08
3443
P(x=)=P(A)P(B)=×=
220.20.20.04
44
X16171819202122
P0.040.160.240.240.20.080.04
2
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⑵要令P(x≤n)≥0.5,0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5
则n的最小值为19.
⑶购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买
的费用
当n=19时,费用的期望为19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040
当n=20时,费用的期望为20×200+500×0.08+1000×0.04=4080
所以应选用n=19.
评析:
取材于生活实际,体现了数学与生活实际的结合,很好发挥了数学在现实生活中的应用,使
得数学题的呈现更加的自然,同时提升学生的应用意识,数学建模意识.题目中“以购买易损零件所需费
用的期望值为决策依据”这段文字描述考察学生将文字语言转化为数学语言的能力.从本题来看,学生如
何理解这里的期望,如何计算才是合理的?
是解题的关键,这种材料背景需要学生具备一定的数学语言转
化能力,最根本的是对数学概念的理解能力.这也是近年来热议的数学素养中强调的数学模型素养,要
求会用数学的语言刻画现实世界.
例2(2015年全国I卷19题)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x
(单位:
千元)对年销售量y(单位:
t)和年利润z(单位:
千元)的影响,对近8年的年宣传费
x
i
和年销售量(1,2,8)
yi=数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
i
x
y
w
n
∑
(x−x)
2
i
i=1
n
∑
(w−w)
2
i
i=1
n
∑
(x−x)(y−y)
ii
i=1
n
∑
(w−w)(y−y)
ii
i=1
46.656.36.8289.81.61469108.8
表中w1=x
1,,w=
1
n
∑
w
81
i
i=
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归
方程类型?
(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y−x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
3
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(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?
附:
对于一组数据
(u,v),
11
(u,v),……,(u,v),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计
22nn
分别为:
n
∑
(u−u)(v−v)
ii
β=i=1
n
∑
(u−u)
2
i
i=1
,α=v−βu
解:
(Ⅰ)由散点图可以判断y=c+dx适合作为年销量y关于年宣传费x的回归方程
(Ⅱ)令wx,先建立y关于w的线性回归方程ydwc
8
(ww)(yy)
ii
108.8
ˆ68,ˆˆ563686.8100.6
dcydw
i1
81.6
(ww)
2i
i1
所以y关于w的线性回归方程为yˆ100.668w
所以y关于x的线性回归方程为yˆ100.668x
(Ⅲ)(ⅰ)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值为yˆ100.66849576.6,
z
ˆ576.60.24966.32
(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z的预报值
zxxxx
ˆ0.2(100.668)13.620.12
所以当
13.6
x,即x46.24时,zˆ取得最大值
6.8
2
故宣传费用为46.24千元时,年利润的预报值最大.
评析:
根据已知的函数模型,通过恰当地变换将函数转化为线性函数模型,结合变换计算出相应的
数据,得出线性相关函数关系式,在将变换回归到原函数关系.主要考查换元变换、化归转化的数学思想.
4
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2.指数型
为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关,现收集了7组观
测数据列于下表中,并做出了散点图,发现样本点并没有分布在某
个带状区域内,两个变量并不呈线性相关关系,现分别用模型①
y=Cx+C与模型②
2
12
ye作为产卵数y和温度x的回归方
CxC
34
程来建立两个变量之间的关系.
温度x/℃20222426283032
产卵数y/个610212464113322
t=x4004845766767849001024
2
z=lny1.792.303.043.184.164.735.77
_
x
7__
∑
(x−x)(y−y)
ii
i=1
7_
∑
(x−x)
2
i
i=1
_
t
7__
∑
(t−t)(y−y)
ii
i=1
7_
∑
(t−t)
2
i
i=1
_
y
7__
∑
(z−z)(x−x)
ii
i=1
7_
∑
(x−x)2
i
i=1
_
z
7__
∑
(z−z)(t−t)
ii
i=1
7_
∑
(t−t)2
i
i=1
261157.546920.43800.323.570.00012
_
2
1
7
tx,zlny,tt
其中
iiiii
7
i1
附:
对于一组数据(u,v),
11
(u,v),(u,v),其回归直线方程v=βu+α,的斜率和截距的最
22nn
n
__
∑
(u−u)(v−v)
ii
小二乘估计分别为β==
i1
n
_
∑
(u−u)
i
i=1
__
,α=−β.
vu
(1)根据表中的数据,分别建立两个模型下y关于x的回归方程,并在两个模型下分别估计温度为
30℃时的产卵数。
(C1,C2,C3,C4与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据:
e4.65≈104.58,
e4.85≈127.74,e5.05≈156.02)
(2)若模型①、②的相关指数计算分別为12=0.82R2=0.96请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果
R,2
更好.
5
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归纳:
常见的将非线性回归模型转化为线性模型思路
1.幂函数曲线yaxb,作变换ulny,vlnx,clna,得线性函数ubvc
2.指数曲线yaebx,作变换ulny,clna,得线性函数ubxc
3.倒指数曲线
b
1
yae,作变换,得线性函数ubvc
ulny,v,clna
x
x
4.对数曲线yablnx,作变换vlnx,得线性函数yabv
5.双曲线相关关系
1b
yx
a
,作变换
11
,得线性函数abv
v
yx
抽象概括
将非线性回归问题转化为线性回归问题的步骤
第一步:
用散点图或回归分析中的相关系数r检验原始数据是不是线性相关
第二步:
若不线性相关,观察散点图、选择合适的函数进行拟合
第三步:
对选择的函数作合适的变换,从而将模型转化为线性回归模型
最后,根据回归方程对现实中的问题进行预测.
例3(2017年理科I卷第12题)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为
激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码
为下面数学问题的答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其
中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条
件的最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。
那么该款软件的激活码是
A.440B.330C.220D.110
分析本题考查等差数列、等比数列的前n项和与通项公式,考查逻辑思维能力、运算求解能力、
创新应用能力.
2021−1
第一行,1个数,求和为
22122−1
0
第二行,2个数,求和为
20212223−1
第三行,3个数,求和为
221222324−1
0
第四行,4个数,求和为
202122232425−1
第五行,5个数,求和为
2n−1n(n+1)
故而可得,第n行,n个数,求和为,因此前n行,一共有个数,求和
2
2n+1−n−2
215−16【解析】:
根据上面的分析,我们可以类推得到,前14行,有105个数,求和为,当
N=215−16+25−1=215−17≠2n221−22
110时,求和为,前20行,有210个数,求和为,
6
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N=221−22+210−1=221+210−23≠2n
220
当时,求和为,前25行,有225个数,求和为
2−26N=330226−26+25−1=226+25−27≠2n
26
,当时,求和为,前29行,有435个
230−31N=440230−31+25−1=230数,求和为,当时,求和为,故而选A.
本题以考生熟知的源于生活的“软件激活码”为切入点,以等差数列、等比数列为素材,着重考查考
生的运算求解能力和创新应用能力以及化归与转化的思想.本题数量关系复杂、层次叠加,要正确作答,考
生需要知道求什么,怎么求.考生在读懂题、审准题的基础上,破题的关键就在于将问题的求解转化为有
关的数列求和问题.这要求考生对于等差数列、等比数列的定义和公式能够熟练掌握,同时也要求考生有
较强的分析问题、解决问题的能力.
四、教学中阅读现状
1.常遇难到这样的现象,在每次考试后都会听到这样学生的感慨:
“唉,这道题我怎没看清
楚呀!
”,“我审题不够仔细”,“我没理解题意”……这样的说辞从表面上看似乎合情合理,但
我们应该剖析是什么原因导致学生分析问题、解决问题能力的不足,甚至连题目都没看懂呢.究其
原因是学生的阅读理解能力不好,无法自主地将文本信息转换为数学关系.
2.高考大过天,教材放一边这种现象极为普遍,在平时课堂常见这样场景:
教师在课堂上循
循善诱,深入浅出,激情四射,但在堂上很少要求学生看教材,仅把数学课本当成了习题集,甚
至会有整节课下来没有打开过数学书.这就导致学生不了解知识的出处,缺乏对知识的系统了解,
减少了学生与数学教材的接触,数学教材成为一种摆设.最终的结果是学生不重视数学教材,无法
从题海中跳出来.
3.忽视阅读方法的指导,在平时的课堂上,教师对学生阅读的指导只停留在“看”和“划”上
,让学生记住相关的概念或公式,而学生自以为“读”懂了,老师以为“教”会了.蜻蜓点水式的
阅读指导,无法让学生理解公式定理的内涵,更读不出公式定理的来龙去脉了.这样下去,学生对
教师的依赖性就越来越强.
4.主动阅读的意识薄弱.数学学科抽象性、逻辑性、推理性强.部分高中生将数学学习活动
简单地看作是思维活动的过程,而没有将数学阅读看作是分析、思维的基础,习惯于动手“探究
”、动脑“研析”,而缺少主动动嘴“阅读”的意识.教师轻视阅读教学的功效,强化数学思维的
指导,而忽视了阅读能力的训练.另一方面学生受到升学压力的影响,将解题作为唯一的学习任务
,未能积极参与阅读教学活动,思想上轻视,行动上迟缓,意识上忽视,主动阅读的意识未能有
效增强.
5.阅读方法不够科学.部分学生习惯于“蜻蜓点水”略读或“胡子眉毛一把抓”通读,不能结
合教学要求、学习目标以及案例实际,进行层层深入、逐步递进的阅读,不能紧扣关键内容,抓
住关键字词,进行深入细致的阅读.经常采用“囫囵吞枣”、“浮光掠影”的浅层阅读方法阅读
,不能采用循序渐进、目标明晰的阅读手段,递进式、推进式的进行有效阅读研析,降低了阅读
的效能.
五、为什么要重视阅读
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1.我们的教育现状使数学阅读不受到重视
一提到阅读,人们往往会想起语文阅读、英语阅读,阅读理解能力是由它们来培养的,其实
培养学生的阅读能力是各科教学的共同任务,只是在数学教学中能否进行阅读、怎样阅读、阅读
的效果如何评价,这些问题,我们以往思考得比较少,在让学生阅读数学教科书方面就做得更少
了.随着新课程标准的实施,在近几年的高考中每年都出现了一些有着较长的文字的应用题,这类
题目形式新颖,既能开阔数学视野,又能有效地考查考生的学习潜能.因此,这类应用试题成为高
考中的一道亮丽的风景.所以,在中学数学教学中应注意阅读能力的渗透,同时注意这方面的能力
培养,这样有利于提高学生分析、解决问题的能力.
2.数学阅读在数学教育中是不容忽视的课题
随着社会的发展、科学技术的进步及“社会的数字化”,现代及未来社会要求人们具有的阅读能力
已不再只是语文阅读能力,而是一种以语文阅读能力为基础,包括外语阅读能力、数学阅读能力、科技阅
读能力在内的综合阅读能力.我国新课程标准中已指出,教师必须注意“指导学生认真阅读课文”.在教学
方法的选择上,教师应该关心学生对数学课文的阅读和理解;在组织数学教学的过程中,必须注意使用教材,
即在教师讲解之后,让学生阅读课文,根据测验的问题,自学一定的材料,阅读习题或定理的简短文字.因
此,重视数学教科书的阅读,充分利用教科书的教育价值,已构成现代数学教育的特点之一.
3.重视数学阅读,培养阅读能力,符合现代“终身教育,终身学习”的教育思想
4.重视数学阅读,培养阅读能力,有助于个别化学习,使每个学生能通过自身的努力达到各自可能达到
的水平,实现素质教育的目标,符合新课程改革的要求
素质教育的核心问题是使每个学生都能得到充分发展,新课程改革的目标是人人学数学,不同的人
学不同的数学,实现这个目标的有效途径是集体教学与个别学习相结合,而有效个别化学习的关键是教
会阅读.研究也表明,构成一些学生学习数学感到困难的因素之一是他们的阅读能力差,在阅读和理解数
学书籍方面特别困难.
五、日常教学中如何提高教师和学生的阅读能力
1.态度转变
首先,教师应转变教学态度.
2.从预习中培养数学阅读习惯
预习就是阅读即将学习的课程,在预习中教师要给学生提出预习要求,使学生有目的地进行阅读.
3.在问题情境中激发学生的积极阅读兴趣
在高中数学教学中,教师除了让学生课前预习,还可以在课堂上依据教材内容,学生的年龄特征以及
个人的发展特点,因地制宜地提出一些问题情境,从而激发出学生的阅读兴趣.
4.在阅读任务中发现阅读技巧
由于数学语言具有较强的抽象性,所以数学阅读需要一定的逻辑思维能力作为依托.倘若学生不能对阅读材
料进行整理概括就不能达到阅读的预期效果.
5.从课堂教学中检验阅读效果
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在数学定义、公式、法则和定理的教学内容中,学生阅读过的内容,教师一定要检验其阅读效果,否则部分学
生以后就不会认真仔细阅读,可以采用观察、提问、个别谈话,在检验中引导学生,纠正学生,培养学生的细心
和耐心,让学生从中吸取经验和教训.
6.在解题中提升阅读能力
在解决课后习题时,制定时间限制,这样既提高了学生的解题效率.
7.将数学阅读能力的培养融入平时教学的各个环节中
(1)利用教材中的章头图、章节的序言等内容培养学生数学阅读的问题意识和把握问题的宏观意识.
(2)利用教材中的概念、定理教学,通过引导学生阅读、分析相关概念和定理,同时会联系类比相似
概念或定理.重在培养学生捕捉概念、定理所给信息中的关键词、关键句,感悟三种语言的互译.
(3)利用教材中的例题、习题、测评课教学,让学生掌握分析问题的条件与结论,学会探讨解决问题
的途径与方法,并会对其进行变式或推广及引申等;同时,会将思维、解题过程按照合理的逻辑顺序,
用规范的数学语言表达出来,重在培养学生分析解决问题的能力、知识的变式和迁移能力以及学生的
数学语言的表达能力.
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