全等三角形做辅助线倍长中线截长补短教案.docx
- 文档编号:25927306
- 上传时间:2023-06-16
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:46.61KB
全等三角形做辅助线倍长中线截长补短教案.docx
《全等三角形做辅助线倍长中线截长补短教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形做辅助线倍长中线截长补短教案.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全等三角形做辅助线倍长中线截长补短教案
全等三角形中常见的辅助线
(一)
适用学科
数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长(分钟)
60
知识点
倍长中线法;截长补短法
教学目标
1.掌握倍长中线法的运用条件
2.掌握截长补短法的运用条件
教学重点
对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用
教学难点
对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用
教学过程
一、复习预习
全等三角形的判定定理:
1、SSS:
三边对应相等的两个三角形全等
2、SAS:
两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
3、AAS:
两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
4、ASA:
两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
5、HL:
在直角三角形中,直角边与斜边对应相等的两个三角形全等
二、知识讲解
考点1
遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
考点2
截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
三、例题精析
【例题1】
【题干】已知:
如图3所示,AD为△ABC的中线,求证:
AB+AC>2AD。
【答案】
证明:
延长AD至E,使DE=AD,连接EC
∵AD是中线
∴DC=DB
∵DE=AD,∠CDE=∠BDA,DC=DB
∴△CDE≌△BDA
∴CE=AB
在△AEC中CE+AC>AE,CE=AB
∴AB+AC>AE
∵DE=AD
∴AE=2AD
∵AB+AC>AE
∴AB+AC>2AD
【解析】
分析:
要证AB+AC>2AD,由图形想到:
AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有:
AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,
但它的左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
【例题2】
【题干】已知:
如图1所示,AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4。
求证:
BE+CF>EF。
【答案】
证明:
在DA上截取DN=DB,连接NE,NF,则DN=DC
在△DEB和△DNE中
DN=DB
∠1=∠2
DE=DE
∴△DEB≌△DNE(SAS)
∴BE=NE
同理可得:
CF=NF
在△EFN中,EN+FN>EF
∴BE+CF>EF
【解析】
分析:
要证BE+CF>EF,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF,EF移到同一个三角形中,而由已知∠1=∠2,∠3=∠4,可在角的两边截取相等的线段,利用全等三角形的对应边相等,把EN,FN,EF移到同个三角形中。
四、课堂运用
【基础】
1、△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围()
A.1<AD<4
B.3<AD<13
C.5<AD<13
D.9<AD<13
【答案】
A
【解析】
解:
延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM
所以AB=CM
又CM-AC 所以2<2*AD<8 所以1 2、已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF, 求证: BD=CE 【答案】 过D作DF∥AC交BC于F, ∵DF∥AC(已知), ∴∠DFC=∠FCE,∠DFB=∠ACB(平行线的性质), ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠ACB(等边对等角), ∴∠B=∠DFB(等量代换), ∴BD=DF(等角对等边), ∵BD=CE(已知), ∴DF=CE(等量代换), ∵∠DFC=∠FCE,∠DGF=∠CGE(已证), ∴△DFG≌△ECG(AAS), ∴DG=GE(对应边相等) 【解析】 过D作DF∥AC交BC于F,利用等腰三角形的性质和平行线的性质,求证△GDF≌△CEG即可. 【巩固】 1、已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F, 求证: AF=EF 【答案】 解: 延长AD至G,使得AD=DG,连接BG,GC ∵△ABC中,AD是BC边上的中线 ∴BD=DC ∵AD=DG ∴四边形ABGC为平行四边形 ∴AC=BG,AC//BG ∴△AFE∽△GBE ∴AF/FE=GB/BE ∵AC=BE,AC=BG ∴BE=BG ∴AF=FE 【解析】 延长AD至G,使得AD=DG,连接BG,GC,根据全等证明AF=EF 2、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证: AD平分∠BAE. 【答案】 延长AE到M,使EM=AE,连结DM 易证△DEM≌△CEA ∴∠C=∠MDE,DM=AC 又BD=DC=AC ∴DM=BD,∠ADC=∠CAD 又∠ADB=∠C+∠CAD,∠ADM=∠MDE+∠ADC ∴∠ADM=∠ADB ∴△ADM≌△ADB ∴∠BAD=∠MAD 即AD平分∠BAE 【解析】 因为BD=DC=AC,所以AC=1/2BC 因为E是DC中点,所以EC=1/2DC=1/2AC ∠ACE=∠BCA,所以△BCA∽△ACE 所以∠ABC=∠CAE 因为DC=AC,所以∠ADC=∠DAC ∠ADC=∠ABC+∠BAD 所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE 所以∠BAD=∠DAE 即AD平分∠BAE 【拔高】 1、如图,已知在△ABC内, , ,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是 , 的角平分线。 求证: BQ+AQ=AB+BP 【答案】 证明: 做PM‖BQ,与QC相交与M。 ∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70° 且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC=180°—70°—40°=70° ∴∠APB=∠APM 又∵AP是BAC的角平分线, ∴∠BAP=∠MAP AP是公共边 ∴△ABP≌△AMP(角边角) ∴AB=AM,BP=MP 在△MPC中,∠MCP=∠MPC=40° ∴MP=MC ∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在△QBC中 ∵∠QBC=QCB=40° ∴BQ=QC ∴BQ+AQ=AQ+QC=AC ∴BQ+AQ=AB+BP 赞同 【解析】 做辅助线PM‖BQ,与QC相交与M。 首先算清各角的度数,然后证明全等,即可证明结论。 2、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD 【答案】 在AB上取点N,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN, AE=AE, ∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又AC∥BD ∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE,∠NBE=∠EBN BE=BE ∴△EBN≌△EBD ∴BD=BN ∴AB=AN+BN=AC+BD 【解析】 根据截长补短的方法以及三角形全等即可得到结论 课程小结 1)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”. 2)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全等 三角形 辅助线 中线 截长补短 教案