《从运动变换看三垂直模型》教学设计.docx
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《从运动变换看三垂直模型》教学设计
《从运动变换看“三垂直模型”》教学设计
教材分析
“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型,它可以应用在三角形、矩形、平面直角坐标
系、网格、一次函数、反比例函数、三角函数、二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中,所以掌握好这一模型会使学生在中考中技高一筹。
教学目标
(一)知识与技能:
知道什么是“三垂直模型”,以及解决“三垂直模型”的共通方法,学会从正面应用模型:
用全等,证垂直;学会从反面应用模型:
用垂直,证全等。
(二)过程与方法:
通过动手实践、合作探索、小组交流,使学生亲身经历知识的发生过程。
从平移变换、旋转变换中,利用数学建模感受解题方法之不变,从而掌握多题归一的思想。
(三)情感态度与价值观:
在良好的师生关系下,创设轻松的学习氛围,使学生在数学活动中获得成功的体验。
以小组学习的形式进行学习,把课堂的主动权还给学生。
教学重点和难点
1.重点:
认识“三垂直模型”的特征,以及解题方法
2.难点:
从运动变换、正反应用两方面获得解决三垂直模型的共通之法
教学与学法
1、教法——变式教学法、信息技术辅助教学法
为了让学生从多道题目中,感受“题目虽变、方法不变”,因此采用变式教学的方法,帮助学生建立模型。
除此之外,还借助几何画板技术,达到动态效果,更好地帮助学生突破难点。
2、学法——小组合作学习的方法
因为本节课的内容具有一定的难度,俗话说“三个臭皮匠,胜过一个诸葛亮”,所以采取小组合作的学习方法,让学生在课堂上交流、探讨,碰撞出知识的火花。
教学过程
本节课从两方面应用模型:
教学过程
师生活动
设计意图
(一)
辅例题
、知识铺垫
1.辅例题——知识铺垫
例1:
如图,在△ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB于D,求证:
∠ACD=∠B,∠BCD=∠A(引自菁优网)
【解题思路流程图】:
证明:
∵CD⊥AB∴∠BDC=∠ADC=90°
∵∠BCA=90°∴∠BCD+∠ACD=90°①
∵∠BDC=90°∴∠BCD+∠B=90°②
∵∠ADC=90°∴∠ACD+∠A=90°③
由①、②得∠ACD=∠B(同角的余角相等)由①、③得∠BCD=∠A(同角的余角相等)
老师带着学生总结:
这道题并不难,学生能够自主完成,评讲后,老师一定要引导学生进行总结,提炼出解决这道题的方法,真正的“授之以渔”。
【意图】这幅图是初中阶段的一幅经典图形,蕴含着很多数学知识,例如等面积法、三角形相似、射影定理、同角(等角)的余角相等。
由这道简单而又经典的辅例题引入,目的是能够让学生拾回旧知识“同角
(等角)的余角相等”,为接下来的学习与探究做好知识的铺垫。
(二)
主例题
、引入
模
型
正向应用:
用垂直→证全等
例2:
如图,已知AC=DF,AC⊥DF,且∠B=∠E=90°,证明:
Rt△ABC≌Rt△DEF(自行改编)
【解题思路流程图】:
证明:
∵AC⊥DF∴∠ACF=90°
∴∠ACB+∠FDE=90°→关键1
∵∠B=90°
∴∠ACB+∠A=90°→关键1
∴∠A=∠FDE→关键2:
同角的余角相等又∵∠B=∠E=90°,AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(AAS)
【总结】:
什么是“三垂直模型”
【特征】:
“三垂直”,即有三个相关的直角
【方法】:
正向应用:
用垂直→证全等有两个关键步骤(如上)
→关键步骤1:
90°→互余→找到两组角相加等于90°
→关键步骤2:
同角(或等角)的余角相等从而为全等提供一个有用条件
学生积极思考,老师稍加引导,共同完成例题的证明过程。
完成证明后并从中总结出“三垂直模型”的特征与解题方法。
【意图】很多学生认为学数学难,是因为学生对一些同一类型的题目没有进行归纳,没有从中总结题目的特征与解题方法,达到多题归一。
因此教学过程中,老师采用数学建模的思想,挑选一道典型的“三垂直模型”的正向应用题,由此拉开对“三垂直模型”探究,为接下来的探究提供了方法指导。
(三)
变式训练
、平移
变
换
从平移变换看“三垂直模型”
变式训练1:
在例2的基础上,已知AC=DF,AC⊥DF,且∠B=∠E=90°如果Rt△ABC向右移动,Rt△ABC与Rt△DEF会有几种位置关系呢?
Rt△ABC≌Rt△DEF是否依然成立?
请说明理由?
(自行改编)
(图1)
(图2)
(图3)
(图4)
【解题思路流程图】:
此处采用小组合作的方式进行探究,学生以小组形式上台展示图1与图2的证明过程,图3与图4的证明过程留给学生课后思考。
学生黑板展示如下:
教师利用几何画板展示,学生认真观察。
本节课有一定难度,所以采用小组合作的学习方式。
小组积极讨论,并派代表上黑板展示。
由于时间关系,此处只展示图
1与图2的证明过程,图3与图4的证明过程留给学生课后思考。
【意图】此处通过几何画板动态演示平移过程,能够帮助学生更好的理解平移过程中Rt△ABC与Rt△DEF会有几种位置关系。
【意图】采用小组学习的方式,学生经历思考、探究、交流等学习过程,并让学生上讲台展示,提高学生学习的积极性与热情,提高学生的探究兴趣和能力,把学习的主动权交给学生。
此外,通过几幅图的平移进行变式练习,能够更好地让学生了解“三垂直模型”,图形虽变,方法不变,通过与主例题的解题思路流程的对比,学生不难找到解决此类问题的共通之法,学会举
一反三。
(四)
变式训练
、旋转
变
换
从旋转变换看“三垂直模型”
变式训练2:
活动探究,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E。
①请根据题意画出图形,你能画出几种情况的图形呢?
②探究线段DE,AD,BE的数量关系。
(2010年秋番禺区校级月考,并自行改编)(由于时间关系:
上课前一天就布置画图)
学生黑板展示画图情况情况如下:
老师利用几何画板进行展示:
分为两类第一类:
直线MN在△ABC内
图1图2
图3
由于时间关系,这道题在课前的时候让学生完成画图部分,并在课堂上让学生以小组的形式上黑板进行展示。
探究线段DE,AD,BE的数量关系留到课堂上完成。
【意图】这道题,在设计的时候特意把图形删去,让学生自己动手画图,可以培养学生的的读题能力和动手画图能力,而且学生在画图的过程中体会图形虽然变化,但是变化的过程中会有共性。
体会分类讨论思想。
【技术支持】
利用几何画板进行展示,让学生更加清晰地看到随着直线MN旋转一周,图形会发生怎样的变化,相比学生在黑板上的画图板演,更加直观、明了。
其次几何画板能够较准确地测量出线段长度,对探究线段DE,AD,BE的数量关系提供了帮助,从而产生猜想,为接下来的验
证作铺垫。
(四)
变式训练
、旋转
变
换
第二类:
直线MN在△ABC外
【意图】例题1、2与变式1是通过平移变换进行变式训练,而这几幅图是通过旋转变换进行变式练习。
但不管题目怎么变,只要学生明白了,何为“三垂直模型”,找到解决此类问题的共通之法,学会举一反三,那么所有这一类的题目都不成问题。
本题还展示了两种不同的方法证明三角形全等,让学生体会一题多解的思想。
图4图5
【解题思路流程图】图1:
图4:
为不同之处
方法看似有所区别,但“换汤不换药”,都是用“同角的余角相等”来为证明三角形全等创造第三个条件
由于时间关系,学生以小组形式上台展示图1与图4的证明过程,图2、图3、图5的证明过程留给学生课后思考。
学生黑板展示:
学生积极思考问题,小组交流讨论,完成证明、探究。
并选代表上讲台进行板练。
(五)
主例题2
、逆用
模
型
逆向应用:
用全等→证垂直
例3:
如图,已知Rt△ABC≌Rt△DEF,且∠B=∠E=90°,请问线段AC与线段DF有怎样的关系,请写出证明过程?
(自行改编)
注意:
此处要提醒学生注意,线段的关系包括两种,一种是长度关系即AC=DF,
一种是位置关系即AC⊥DF。
【解题思路流程图】
解:
AC=DF,AC⊥DF理由如下:
∵Rt△ABC≌Rt△DEF
∴∠A=∠EDFAC=DF
在Rt△ABC中,∠B=90°
∴∠A+∠ACB=90°→关键步骤1(创造90°)
∴∠EDF+∠ACB=90°→关键步骤2(等量代换)
∴∠ACF=180°-(∠EDF+∠ACB)=180°-90°=90°
∴CE⊥AC
总结:
“三垂直模型”
特征:
“三垂直”,即有三个相关的直角方法:
逆向应用:
用全等→证垂直
有两个关键步骤(如上)
→关键步骤1(创造90°)
→关键步骤2(等量代换)
学生积极思考,老师稍加引导,共同完成例题的证明过程。
完成证明后并从中总结出“三垂直模型”的特征与解题方法。
【意图】老师采用数学建模的思想,挑选一道典型的“三垂直模型”的逆向应用题,让学生从中体会到知识之间的关系,知识可以正反应用,并引导学生从中总结方法,为接下来的变式训练提供了方法指导。
(六)
变式训练
、逆用模型
逆向应用:
从平移变换看“三垂直模型”
变式训练:
如图,已知Rt△ABC≌Rt△DEF,且∠ABC=
∠FED=90°,在例1的基础上,如果Rt△ABC向右移动,Rt△ABC与Rt△DEF会有几种位置关系呢?
平移过程中线段AC与线段DF的关系是否会发生变化?
请说明理由?
教师利用几何画板,把Rt△ABC向右移动,并总结出以下几种关系:
(并自行改编)
图1
图2
图3图4
【解题思路流程图】
学生以小组形式上台展示图1与图2的证明过程,图3
与图4的证明过程留给学生课后思考。
学生黑板展示如下:
学生积极思考问题,小组交流讨论。
并选代表上讲台进行板练
【意图】采用小组学习的方式,学生经历思考、探究、交流等学习过程,并让学生上讲台展示,提高学生学习的积极性与热情,学生展示的答案可能不止一两种,甚至有方法三、方法四,让学生再次体会一题多解,提高学生的探究兴趣和能力,把学习的主动权交给学生。
此外,通过几幅图的平移进行变式练习,能够更好地让学生了解“三垂直模型”,找到解决此类问题的共通之法,学会举一反三。
(七)
归纳小结
、知识
梳
理
思维导图进行小结
1、你在本节课学到了什么知识点?
2、你在本节课学到了什么方法,提高了什么能力?
【知识点】:
【数学方法】:
正反应用、多题归一、数学建模、分类讨论、一题多解等。
让学生回顾整节课的内容,开口说说自己的收获。
然后老师帮助学生用思维导图的反式形成知识链。
从教学双基层面,知识与技能层面,对本节课进行小结。
并借助信息技术“思维导图”来进行总结,有助于对知识进行梳理,条理清晰,从而构建知识网络。
(八)
作业布置
、巩固
拓
展
作业展示(附件1)
1、三垂直模型与平面直角坐标系结合题目
2、三垂直模型与正方形、三角函数结合题目
3、三垂直模型与一次函数、二次函数结合题目
4、三垂直模型与正方形、函数综合题
学生自行完成作业,对课堂的知识进行巩固、拓展。
“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型,可以与多种知识结合考察,所以掌握好这一模型会使学生在中考中技高一筹。
(八)
善用网络
、全面
提
高
本节课重难点视频链接
网址1:
网址2:
网址3:
学生可结合自己的情况借助网络视频有选择的学习
学生认知水平差异较大,课堂上难以照顾到每一层次的学生,为更好地体现不同的学生有不同的发展。
借助网络微课上传本节难点精讲,相关知识拓展。
附件1:
作业展示
(一)、三垂直模型与平面直角坐标系结合题目
如图,在平面直角坐标系中,等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上,求第三个顶点的坐标
(二)、三垂直模型与正方形、三角函数结合题目
如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,那么sinα=.
(三)、三垂直模型与一次函数、二次函数结合题目
如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-3,0),B(1,0),
C(0,6)三点,直线y=2x+2与y轴交于点D,点P为二次函数图象上
3
一动点,若∠PAD=45°,则满足题意的点P的坐标为
(四)、三垂直模型与正方形、函数综合题
如图,二次函数y=1x2+bx-3的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边x轴上方
22
作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E。
(1)
请直接写出点D的坐标:
。
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值。
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?
若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由。
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- 从运动变换看三垂直模型 运动 变换 垂直 模型 教学 设计