不等式组的应用方案问题.docx
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不等式组的应用方案问题.docx
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不等式组的应用方案问题
不等式(组)的应用——方案问题
一.解答题(共12小题)
1.(2014•舟山)某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.
(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元.
(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元.则有哪几种购车方案?
2.(2014•台湾)小佳的老板预计订购5盒巧克力,每盒颗数皆相同,分给工作人员,预定每人分15颗,会剩余80颗,后来因经费不足少订了2盒,于是改成每人分12颗,但最后分到小佳时巧克力不够分,只有小佳拿不到12颗,但她仍分到3颗以上(含3颗).请问所有可能的工作人员人数为何?
请完整写出你的解题过程及所有可能的答案.
3.(2014•湘潭)某企业新增了一个化工项目,为了节约资源,保护环境,该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台,具体情况如下表:
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
月污水处理能力(吨/月)
200
160
经预算,企业最多支出89万元购买设备,且要求月处理污水能力不低于1380吨.
(1)该企业有几种购买方案?
(2)哪种方案更省钱,说明理由.
4.(2014•南宁)“保护好环境,拒绝冒黑烟”.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元.
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次,则该公司有哪几种购车方案?
哪种购车方案总费用最少?
最少总费用是多少?
5.(2014•福州)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.
(1)求A,B两种商品每件各是多少元?
(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过350元,但不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?
6.(2014•齐齐哈尔)某工厂计划生产A、B两种产品共60件,需购买甲、乙两种材料,生产一件A产品需甲种材料4千克,乙种材料1千克;生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克,经测算,购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元;购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元.
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元,且生产B产品不少于38件,问符合生产条件的生产方案有哪几种?
(3)在
(2)的条件下,若生产一件A产品需加工费40元,若生产一件B产品需加工费50元,应选择哪种生产方案,使生产这60件产品的成本最低?
(成本=材料费+加工费)
7.(2014•黄石)某校九(3)班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动,该基地有玫瑰花和蓑衣草两种花卉,活动后,小明编制了一道数学题:
花卉基地有甲乙两家种植户,种植面积与卖花总收入如下表.(假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等)
种植户
玫瑰花种植面积(亩)
蓑衣草种植面积(亩)
卖花总收入(元)
甲
5
3
33500
乙
3
7
43500
(1)试求玫瑰花,蓑衣草每亩卖花的平均收入各是多少?
(2)甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和蓑衣草,根据市场调查,要求玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积(两种花的种植面积均为整数亩),花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴,种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分,每亩补贴100元;超过15亩但不超过20亩的部分,每亩补贴200元;超过20亩的部分每亩补贴300元.为了使总收入不低于127500元,则他们有几种种植方案?
8.(2014•开封二模)某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表:
甲
乙
进价(元/件)
15
35
售价(元/件)
20
45
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元,问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
(2)若商店计划投入资金少于4300元,且销售完这批商品后获利多于1260元,请问有哪几种购货方案?
并直接写出其中获利最大的购货方案.
9.(2014•道里区三模)我市为创建全国卫生城市,有关部门计划购买甲、乙两种名贵树苗,栽种在入城大道的两侧,已知买甲种树苗、乙种树苗各1棵共需220元;买甲种树苗3棵,乙种树苗1棵共需420元,资料提示:
甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%.
(1)购买两种树苗每棵各需多少元;
(2)市相关部门研究决定:
购买甲、乙两种树苗共800棵,购买树苗的钱数不得超过86500元,且这批树苗的成活率不低于92%,共有多少种购买方案?
(3)直接写出最省钱的购买方案及此时买树苗的费用.
10.(2014•昌宁县二模)某商店欲购进甲、乙两种商品,已知购进的甲商品的单价是乙商品的一半,进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元,该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件.
(1)求购进的这两种商品的单价.
(2)该商店有哪几种进货方案?
11.(2014•牡丹江一模)为响应“大课间”活动,某学校准备购买棒球和篮球共200个,已知棒球每个55元,篮球每个95元,学校计划至少投入资金18200元,但不多于18300元.
(1)学校有多少种购买方案;
(2)哪种购买方案使学校投入资金最少?
(3)当学校按
(2)的方案买回200个球在“大课间”投入使用后,学校领导根据实际情况发现还应同时购买足球和大绳若干,来补充“大课间”活动,所以又投入资金2880元,若每个足球80元,每条大绳30元,则在钱全部用尽的情况下有多少种购买方法,请直接写出购买方法的种数.
12.(2014•濮阳一模)某中学计划购买A,B两种型号的课桌凳,已知一套A型课桌凳比一套B型课桌凳少40元,且购买5套A型和1套B型共需1000元.
(1)购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需要多少元?
(2)学校根据实际情况计划购买A,B两种型号的共100套,且购买课桌凳的总费用不超过18480元,并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的
,求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案?
哪种方案的总费用最低?
不等式(组)的应用——方案问题
参考答案与试题解析
一.解答题(共12小题)
1.(2014•舟山)某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.
(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元.
(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元.则有哪几种购车方案?
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.
专题:
应用题.
分析:
(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元.则等量关系为:
1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元,2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元;
(2)设购买A型车a辆,则购买B型车(6﹣a)辆,则根据“购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元”得到不等式组.
解答:
解:
(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元.则
,
解得
.
答:
每辆A型车的售价为18万元,每辆B型车的售价为26万元;
(2)设购买A型车a辆,则购买B型车(6﹣a)辆,则依题意得
,
解得2≤a≤3
.
∵a是正整数,
∴a=2或a=3.
∴共有两种方案:
方案一:
购买2辆A型车和4辆B型车;
方案二:
购买3辆A型车和3辆B型车.
点评:
本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系.
2.(2014•台湾)小佳的老板预计订购5盒巧克力,每盒颗数皆相同,分给工作人员,预定每人分15颗,会剩余80颗,后来因经费不足少订了2盒,于是改成每人分12颗,但最后分到小佳时巧克力不够分,只有小佳拿不到12颗,但她仍分到3颗以上(含3颗).请问所有可能的工作人员人数为何?
请完整写出你的解题过程及所有可能的答案.
考点:
一元一次不等式组的应用.
分析:
设该公司的工作人员为x人.则每盒巧克力的颗数是
,根据不等关系:
每人分12颗,但最后分到小佳时巧克力不够分,只有小佳拿不到12颗,但她仍分到3颗以上(含3颗),列不等式组.
解答:
解:
设该公司的工作人员为x人.则
,
解得16<x≤19.
因为x是整数,
所以x=17,18,19.
答:
所有可能的工作人员人数是17人、18人、19人.
点评:
本题考查了一元一次不等式组的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系.
3.(2014•湘潭)某企业新增了一个化工项目,为了节约资源,保护环境,该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台,具体情况如下表:
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
月污水处理能力(吨/月)
200
160
经预算,企业最多支出89万元购买设备,且要求月处理污水能力不低于1380吨.
(1)该企业有几种购买方案?
(2)哪种方案更省钱,说明理由.
考点:
一元一次不等式组的应用.
专题:
应用题.
分析:
(1)设购买污水处理设备A型号x台,则购买B型号(8﹣x)台,根据企业最多支出89万元购买设备,要求月处理污水能力不低于1380吨,列出不等式组,然后找出最合适的方案即可.
(2)计算出每一方案的花费,通过比较即可得到答案.
解答:
解:
设购买污水处理设备A型号x台,则购买B型号(8﹣x)台,
根据题意,得
,
解这个不等式组,得:
2.5≤x≤4.5.
∵x是整数,
∴x=3或x=4.
当x=3时,8﹣x=5;
当x=4时,8﹣x=4.
答:
有2种购买方案:
第一种是购买3台A型污水处理设备,5台B型污水处理设备;
第二种是购买4台A型污水处理设备,4台B型污水处理设备;
(2)当x=3时,购买资金为12×3+10×5=86(万元),
当x=4时,购买资金为12×4+10×4=88(万元).
因为88>86,
所以为了节约资金,应购污水处理设备A型号3台,B型号5台.
答:
购买3台A型污水处理设备,5台B型污水处理设备更省钱.
点评:
本题考查了一元一次不等式组的应用,本题是“方案设计”问题,一般可把它转化为求不等式组的整数解问题,通过表格获取相关信息,在实际问题中抽象出不等式组是解决这类问题的关键.
4.(2014•南宁)“保护好环境,拒绝冒黑烟”.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元.
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次,则该公司有哪几种购车方案?
哪种购车方案总费用最少?
最少总费用是多少?
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.
专题:
优选方案问题.
分析:
(1)设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,根据“A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元”列出方程组解决问题;
(2)设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10﹣a)辆,由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组探讨得出答案即可.
解答:
解:
(1)设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,由题意得
,
解得
答:
设购买A型公交车每辆需100万元,购买B型公交车每辆需150万元.
(2)设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10﹣a)辆,由题意得
,
解得:
6≤a≤8,
所以a=6,7,8;
则(10﹣a)=4,3,2;
三种方案:
①购买A型公交车6辆,则B型公交车4辆:
100×6+150×4=1200万元;
②购买A型公交车7辆,则B型公交车3辆:
100×7+150×3=1150万元;
③购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆:
100×8+150×2=1100万元;
购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆费用最少,最少总费用为1100万元.
点评:
此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用,注意理解题意,找出题目蕴含的数量关系,列出方程组或不等式组解决问题.
5.(2014•福州)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.
(1)求A,B两种商品每件各是多少元?
(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过350元,但不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.
专题:
优选方案问题.
分析:
(1)设A商品每件x元,B商品每件y元,根据关系式列出二元一次方程组.
(2)设小亮准备购买A商品a件,则购买B商品(10﹣a)件,根据关系式列出二元一次不等式方程组.求解再比较两种方案.
解答:
解:
(1)设A商品每件x元,B商品每件y元,
依题意,得
,
解得
.
答:
A商品每件20元,B商品每件50元.
(2)设小亮准备购买A商品a件,则购买B商品(10﹣a)件
解得5≤a≤6
根据题意,a的值应为整数,所以a=5或a=6.
方案一:
当a=5时,购买费用为20×5+50×(10﹣5)=350元;
方案二:
当a=6时,购买费用为20×6+50×(10﹣6)=320元;
∵350>320
∴购买A商品6件,B商品4件的费用最低.
答:
有两种购买方案,方案一:
购买A商品5件,B商品5件;方案二:
购买A商品6件,B商品4件,其中方案二费用最低.
点评:
此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用,根据题意得出关系式是解题关键.
6.(2014•齐齐哈尔)某工厂计划生产A、B两种产品共60件,需购买甲、乙两种材料,生产一件A产品需甲种材料4千克,乙种材料1千克;生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克,经测算,购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元;购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元.
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元,且生产B产品不少于38件,问符合生产条件的生产方案有哪几种?
(3)在
(2)的条件下,若生产一件A产品需加工费40元,若生产一件B产品需加工费50元,应选择哪种生产方案,使生产这60件产品的成本最低?
(成本=材料费+加工费)
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.
专题:
应用题.
分析:
(1)设甲材料每千克x元,乙材料每千克y元,根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元;购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元,可列出方程组
,解方程组即可得到甲材料每千克25元,乙材料每千克35元;
(2)设生产A产品m件,生产B产品(60﹣m)件,先表示出生产这60件产品的材料费为25×4m+35×1m+25×3(60﹣m)+35×3(60﹣m)=﹣45m+10800,根据购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元得到﹣45m+10800≤9900,根据生产B产品不少于38件得到60﹣m≥38,然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22,而m为整数,则m的值为20,21,22,易得符合条件的生产方案;
(3)设总生产成本为W元,加工费为:
40m+50(60﹣m),根据成本=材料费+加工费得到W=﹣45m+10800+40m+50(60﹣m)=﹣55m+13800,根据一次函数的性质得到W随m的增大而减小,然后把m=22代入,即可得到最低成本的生产方案.
解答:
解:
(1)设甲材料每千克x元,乙材料每千克y元,
则
,解得
,
所以甲材料每千克25元,乙材料每千克35元;
(2)设生产A产品m件,生产B产品(60﹣m)件,则生产这60件产品的材料费为
25×4m+35×1m+25×3(60﹣m)+35×3(60﹣m)=﹣45m+10800,
由题意:
﹣45m+10800≤9900,解得m≥20,
又∵60﹣m≥38,解得m≤22,
∴20≤m≤22,
∴m的值为20,21,22,
共有三种方案:
①生产A产品20件,生产B产品40件;
②生产A产品21件,生产B产品39件;
③生产A产品22件,生产B产品38件;
(3)设生产A产品m件,总生产成本为W元,加工费为:
40m+50(60﹣m),
则W=﹣45m+10800+40m+50(60﹣m)=﹣55m+13800,
∵﹣55<0,
∴W随m的增大而减小,
而m=20,21,22,
∴当m=22时,总成本最低.
答:
选择生产A产品22件,生产B产品38件,总成本最低.
点评:
本题考查了一次函数的应用:
通过实际问题列出一次函数关系式,然后根据一次函数的性质解决问题.也考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用.
7.(2014•黄石)某校九(3)班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动,该基地有玫瑰花和蓑衣草两种花卉,活动后,小明编制了一道数学题:
花卉基地有甲乙两家种植户,种植面积与卖花总收入如下表.(假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等)
种植户
玫瑰花种植面积(亩)
蓑衣草种植面积(亩)
卖花总收入(元)
甲
5
3
33500
乙
3
7
43500
(1)试求玫瑰花,蓑衣草每亩卖花的平均收入各是多少?
(2)甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和蓑衣草,根据市场调查,要求玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积(两种花的种植面积均为整数亩),花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴,种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分,每亩补贴100元;超过15亩但不超过20亩的部分,每亩补贴200元;超过20亩的部分每亩补贴300元.为了使总收入不低于127500元,则他们有几种种植方案?
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.
专题:
应用题.
分析:
(1)设玫瑰花,蓑衣草的亩平均收入分别为x,y元,根据表格中的等量关系列出方程组求解;
(2)设种植玫瑰花m亩,则种植蓑衣草面积为(30﹣m)亩,根据玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积,可得m>15,然后分段讨论求解.
解答:
解:
(1)设玫瑰花,蓑衣草的亩平均收入分别为x,y元,
依题意得:
,
解得:
.
答:
玫瑰花每亩的收入为4000元,蓑衣草每亩的平均收入是4500元.
(2)设种植玫瑰花m亩,则种植蓑衣草面积为(30﹣m)亩,
依题意得:
m>30﹣m,
解得:
m>15,
当15<m≤20时,总收入w=4000m+4500(30﹣m)+15×100+(m﹣15)×200≥127500,
解得:
15<m≤20,
当m>20时,总收入w=4000m+4500(30﹣m)+15×100+5×200+(m﹣20)×300≥127500,
解得:
m≤20,(不合题意),
综上所述,种植方案如下:
种植类型
种植面积(亩)
方案一
方案二
方案三
方案四
方案五
玫瑰花
16
17
18
19
20
蓑衣草
14
13
12
11
10
点评:
本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用,解答本题的关键是仔细审题,找到等量关系与不等关系.
8.(2014•开封二模)某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表:
甲
乙
进价(元/件)
15
35
售价(元/件)
20
45
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元,问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
(2)若商店计划投入资金少于4300元,且销售完这批商品后获利多于1260元,请问有哪几种购货方案?
并直接写出其中获利最大的购货方案.
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.
专题:
方案型;图表型.
分析:
(1)等量关系为:
甲件数+乙件数=160;甲总利润+乙总利润=1100.
(2)设出所需未知数,甲进价×甲数量+乙进价×乙数量<4300;甲总利润+乙总利润>1260.
解答:
解:
(1)设甲种商品应购进x件,乙种商品应购进y件.
根据题意得:
.(1分)
解得:
.(2分)
答:
甲种商品购进100件,乙种商品购进60件.(1分)
(2)设甲种商品购进a件,则乙种商品购进(160﹣a)件.
根据题意得
.(2分)
解不等式组,得65<a<68.(2分)
∵a为非负整数,∴a取66,67.
∴160﹣a相应取94,93.(1分)
方案一:
甲种商品购进66件,乙种商品购进94件.
方案二:
甲种商品购进67件,乙种商品购进93件.
答:
有两种购货方案,其中获利最大的是方案一.(1分)
点评:
解决本题的关键是读懂题意,找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组:
甲件数+乙件数=160;甲总利润+乙总利润=1100.甲进价×甲数量+乙进价×乙数量<4300;甲总利润+乙总利润>1260.
9.(2014•道里区三模)我市为创建全国卫生城市,有关部门计划购买甲、乙两种名贵树苗,栽种在入城大道的两侧,已知买甲种树苗、乙种树苗各1棵共需220元;买甲种树苗3棵,乙种树苗1棵共需420元,资料提示:
甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%.
(1)购买两种树苗每棵各需多少元;
(2)市相关部门研究决定:
购买甲、乙两种树苗共800棵,购买树苗的钱数不得超过86500元,且这批树苗的成活率不低于92%,共有多少种购买方案?
(3)直接写出最省钱的购买方案及此时买树苗的费用.
考点:
一元一次不等式组的应用.
分析:
(1)设甲种树苗每棵x元,乙种树苗每棵需y元,根据买甲种树苗、乙种树苗各1棵共需220元;买甲种树苗3棵,乙种树苗1棵共需420元,列出方程,求出方程的解即可;
(2)先找到关键描述语购买树苗的钱数不得超过86500元和这批树苗的成活率不低于92%”进而找到所求的量的数量关系,列出不等式求出甲种树苗的取值范围,即可求出购买方案;
(3)根据
(2)得出的购买方案和
(1)得出的甲种树苗和乙种树苗的价格,即可得出答案.
解答:
解:
(1)设甲种树苗每棵x元,乙种
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- 不等式 应用 方案 问题
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