第一讲 数的整除问题.docx
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第一讲数的整除问题
第一讲数的整除问题
一、基本概念和知识
1.整除——约数和倍数
例如:
15÷3=5,63÷7=9
一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。
记作b|a.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作ba。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
例如:
在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。
2.数的整除性质
性质1:
如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即:
如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。
例如:
如果2|10,2|6,那么2|(10+6),
并且2|(10—6)。
性质2:
如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:
如果bc|a,那么b|a,c|a。
性质3:
如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
即:
如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
例如:
如果2|28,7|28,且(2,7)=1,
那么(2×7)|28。
性质4:
如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即:
如果c|b,b|a,那么c|a。
例如:
如果3|9,9|27,那么3|27。
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征:
个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:
一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征:
个位是0或5。
③能被3(或9)整除的数的特征:
各个数位数字之和能被3(或9)整除。
④能被4(或25)整除的数的特征:
末两位数能被4(或25)整除。
例如:
1864=1800+64,因为100是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍数.又因为4|64,所以1864能被4整除.但因为2564,所以1864不能被25整除.
⑤能被8(或125)整除的数的特征:
末三位数能被8(或125)整除。
例如:
29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数.又因为125|375,所以29375能被125整除.但因为8375,所以829375。
⑥能被11整除的数的特征:
这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。
例如:
判断123456789这九位数能否被11整除?
解:
这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5,又因为115,所以11123456789。
再例如:
判断13574是否是11的倍数?
解:
这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是:
(4+5+1)-(7+3)=0.因为0是任何整数的倍数,所以11|0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7(11或13)整除的数的特征:
一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
例如:
判断1059282是否是7的倍数?
解:
把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282=777,又7|777,所以7|1059282.因此1059282是7的倍数。
再例如:
判断3546725能否被13整除?
解:
把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819,又13|819,所以13|2821,进而13|3546725.
二、例题
解:
∵45=5×9,
∴根据整除“性质2”可知
∴y可取0或5。
∴满足条件的六位数是519930或919935。
例2李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔,共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同,请问每支钢笔多少元?
解:
∵9□.2□元=9□2□分
28=4×7,
∴根据整除“性质2”可知
4和7均能整除9□2□。
4|2□可知□处能填0或4或8。
因为79020,79424,所以□处不能填0和4;
因为7|9828,所叫□处应该填8。
又∵9828分=98.28元
98.28÷28=3.51(元)
答:
每支钢笔3.51元。
个条件的整数。
∴根据能被11整除的数的特征可知:
1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数,
即11|(15—5a).或11|(5a—15)。
但是15—5a=5(3—a),5a—15=5(a—3),又(5,11)=1,因此111(3—a)或11|(a—3)。
又∵a是数位上的数字。
∴a只能取0~9。
所以只有a=3才能满足11|(3—a)或11|(a—3),
即当a=3时,11|15—5a。
符合题意的整数只有1323334353。
互不相同),且它能被11整除,你能找到一个符合条件的整数吗?
解:
∵91=7×13,且(7,13)=1。
根据一个数能被7或13整除的特征可知:
因为(7,10)=1,(13,10)=1,所以7,13也就是7,13,因此,用一次性质(特征),就去掉了两组;反复使用性质996次,最后转化成:
原数能被7以及13整除,当且仅当能被7以及13整除
又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3,∴=364
例5在865后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3、4、5整除,且使这个数值尽可能的小。
5整除,所以它应满足以下三个条件:
第一,数字和(8+6+5+a+b+c)是3的倍数。
第三,末位数字c是0或5。
又∵能被4整除的数的个位数不可能是5。
∴c只能取O.因而b只能取自O,2,4,6,8中之一。
∴a+b除以3余2。
为满足题意“数值尽可能小”,只需取a=0,b=2。
∴要求的六位数是865020。
分析∵26=2×13,
∴y可能取0、2、4、5、6、8。
当y=0时,
=7×13x+9x+13+6
∴根据整除“性质1”,有13|9x+6,
经试验可知只有当x=8时,13|9x+6,
∴当y=0时,符合题意的六位数是819910。
所以13整除9x+6—2,
即13|9x+4。
经试验可知只有当x=1时,13|9x+4。
∴当y=2时,符合题意的六位数是119912。
同理,当y=4时,13|9x+6-4,
即13|9x+2,
经试验可知当x=7时,13|9x+2。
∴当y=4时,符合题意的六位数是719914。
同理,当y=6时,13|9x+6—6。
即13|9x.
∴当y=6时,找不到符合题意的六位数。
同理,当y=8时,13|9x+6-8,
即13|9x-2。
经试验只有当x=6时,13|9x-2。
∴当y=8时,符合题意的六位数是619918。
答:
满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。
习题一
样的五位数。
4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数,试问:
这个数能否被3整除?
5.一本陈年老账上记着:
72只桶,共□67.9□元.这里□处字迹已不清.请把□处数字补上,并求桶的单价。
6.证明:
任意一个三位数连着写两次得到一个六位数,这个六位数一定能同时被7、11、13整除.
习题一解答
1.39312。
2.8。
3.32250、32550、32850。
4.解:
∵1+2+3+…+9=45,3|45,
又∴1993除以9余4,
∴这个1993位数的最末4位数字是1234。
∵1+2+3+4=10,310,
∴这个1993位数不能被3整除。
5.□为3、2共367.92元,每只桶5.11元。
所以,这个六位数一定能同时被7、11、13整除.
第二讲质数、合数和分解质因数
一、基本概念和知识
1.质数与合数
一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。
要特别记住:
1不是质数,也不是合数。
2.质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例:
把30分解质因数。
解:
30=2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12=2×2×3=22×3,2、3都叫做12的质因数。
二、例题
例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.
解:
∵210=2×3×5×7
∴可知这三个数是5、6和7。
例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?
解:
把40表示为两个质数的和,共有三种形式:
40=17+23=11+29=3+37。
∵17×23=391>11×29=319>3×37=111。
∴所求的最大值是391。
答:
这两个质数的最大乘积是391。
例3自然数123456789是质数,还是合数?
为什么?
解:
123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外,至少还有约数3,所以它是一个合数。
例4连续九个自然数中至多有几个质数?
为什么?
解:
如果这连续的九个自然数在1与20之间,那么显然其中最多有4个质数(如:
1~9中有4个质数2、3、5、7)。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数,而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数,即这个奇数是合数.这样,至多另4个奇数都是质数。
综上所述,连续九个自然数中至多有4个质数。
例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
解:
∵5=5,7=7,6=2×3,14=2×7,15=3×5,
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14
(=2×7)放在第一组,那么7和6(=2×3)只能放在第二组,继而15(=3×5)只能放在第一组,则5必须放在第二组。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。
例6有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
分析先大概估计一下,30×30×30=27000,远小于42560.40×40×40=64000,远大于42560.因此,要求的三个自然数在30~40之间。
解:
42560=26×5×7×19
=25×(5×7)×(19×2)
=32×35×38(合题意)
要求的三个自然数分别是32、35和38。
例7有3个自然数a、b、c.已知a×b=6,b×c=15,
a×c=10.求a×b×c是多少?
解:
∵6=2×3,15=3×5,10=2×5。
(a×b)×(b×c)×(a×c)
=(2×3)×(3×5)×(2×5)
∴a2×b2×c2=22×32×52
∴(a×b×c)2=(2×3×5)2
a×b×c=2×3×5=30
在例7中有a2=22,b2=32,c2=52,其中22=4,32=9,52=25,像4、9、25这样的数,推及一般情况,我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.12=1,22=4,32=9,42=16,…,112=121,122=144,…其中1,4,9,16,…,121,144,…都叫做完全平方数.
下面让我们观察一下,把一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数有什么特征。
例如:
把下列各完全平方数分解质因数:
9,36,144,1600,275625。
解:
9=3236=22×32144=32×24
1600=26×52275625=32×54×72
可见,一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数均是偶数。
反之,如果把一个自然数分解质因数之后,各个质因数的指数都是偶数,那么这个自然数一定是完全平方数。
如上例中,36=62,144=122,1600=402,275625=5252。
例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。
分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数,
∴乘积分解质因数后,各质因数的指数一定全是偶数。
解:
∵1080×a=23×33×5×a,
又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数,
∴a必含质因数2、3、5,因此a最小为2×3×5。
∴1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。
答:
a的最小值为30,这个完全平方数是32400。
例9问360共有多少个约数?
分析360=23×32×5。
为了求360有多少个约数,我们先来看32×5有多少个约数,然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23,即得到23×32×5(=360)的所有约数.为了求32×5有多少个约数,可以先求出5有多少个约数,然后再把这些约数分别乘以1、3、32,即得到32×5的所有约数。
解:
记5的约数个数为Y1,
32×5的约数个数为Y2,
360(=23×32×5)的约数个数为Y3.由上面的分析可知:
Y3=4×Y2,Y2=3×Y1,
显然Y1=2(5只有1和5两个约数)。
因此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以360共有24个约数。
说明:
Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数,也就是其中2的最大指数加1,也就是360=23×32×5中质因数2的个数加1;Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数,也就是23×32×5中质因数3的个数加1;而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数,即23×32×5中质因数5的个数加1.因此
Y3=(3+1)×(2+1)×(1+1)=24。
对于任何一个合数,用类似于对23×32×5(=360)的约数个数的讨论方式,我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论:
一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。
例10求240的约数的个数。
解:
∵240=24×31×51,
∴240的约数的个数是
(4+1)×(1+1)×(1+1)=20,
∴240有20个约数。
请你列举一下240的所有约数,再数一数,看一看是否是20个?
习题二
1.边长为自然数,面积为105的形状不同的长方形共有多少种?
2.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子?
3.五个相邻自然数的乘积是55440,求这五个自然数。
4.自然数a乘以338,恰好是自然数b的平方.求a的最小值以及b。
5.求10500的约数共有多少个?
习题二解答
1.∵105=3×5×7,
105=1×105=3×35=5×21=7×15,
∴共有4种。
2.分析
每一横行棋子数比每一竖列棋子数多1个。
横行数与竖列数应是两个相邻的自然数.
解:
11112222=3333×3334
答案为3334。
3.7、8、9、10、11。
4.分析
∵自然数a乘以338,恰好是自然数b的平方,
∴a与338的积分解质因数以后,每个质因数的个数之和都是偶数。
解:
∵338=2×13×13,
∴a=2,b=2×13=26。
5.解:
∵10500=22×3×53×7,
又∵(2+1)×(1+1)×(3+1)×(1+1)=48。
∴10500的约数共有48个.
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